黒木玄 Gen Kuroki
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2015年07月27日(月)
@ysmemoirs 「二等辺三角形の底角が等しいことも明らかになっていないのに、なぜ三角形の合同条件が明らかと言えるのか？」という問いに、「三角形の合同条件は自明です（キリッ）」と言い切る論法が採用されている、という理解でよろしいでしょうか？
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posted at 21:27:50
@fuminin2b そう，それが大人の事情で採用されているのです。ただ，「任意の角の二等分線を引けること」の証明に（定理としての）三角形の合同条件を使うため，（三角形の合同条件を公理とする立場をとらないと）循環論法になってしまう，という話。
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posted at 21:22:13
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posted at xx:xx:xx
@ysmemoirs 等しい2辺で作る角の2等分線を引くと、二等辺三角形が合同な2個の直角三角形に分けられる(共通の1辺と二等辺三角形の各1辺で挟んだ角が等しい)。2つの直角三角形は元の二等辺三角形の底角を一つずつ含むので、二等辺三角形の底角は等しい。 …で合ってます？
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posted at 21:16:50
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まあ証明の最初からこれを本格的にネチネチやっちゃうと，どうしても一定層を置き去りにすることになるから，いまの教科書はこれでベターな判断だと思うし，中 2 相手には「大人はこういうつまらん苦労を日々しているのよ。君たちもだんだん分かってきたと思うけどw」くらいでオチをつけるしか。
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posted at 21:01:41
そういえば，「学校数学の中で教えるウソ」の中ではもはや古典の域に達しつつある「二等辺三角形の底角が等しいことの教科書の証明は循環論法である」件について，意外とネット上だとあまり深く論じるものがないみたいですね。私はこういうのをネチネチやるの，わりと好きなんですけど。
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posted at 20:58:51
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@genkuroki #掛算 以上で説明した話は、「0で割った余りとは何か」についてだけではなく、「負の整数を３で割った余りはどうなるか」についても明瞭な解答を与えています。例外を設けることなくすべてを同じ発想で直観的に分かり易く理解しようとするのがいつでも大事なことです。
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posted at 15:19:18
@genkuroki #掛算 以上の話は環論における剰余環の話の入り口（剰余全体に環構造を導入しなかったので入り口でしかない）をできる限り易しく解説したものになっています。大学学部レベルの環論は算数的な発想とはとても相性がよいです。
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posted at 15:17:05
@genkuroki #掛算 たとえば差が3の倍数になる整数を同じ仲間だとみなすと、数直線上の整数全体が3種類に分類される。どれの仲間かを与える操作が3で割った余りを求める演算の正体です。その様子をイメージすることはとても大事。そして、この発想は3を0で置換しても通用する。
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posted at 15:13:47
@genkuroki #掛算 大事なポイントは算数的なことを考えるときには字面に頼った思考は有害だということです。「0で割り切れる」とか「0で割った余り」と書いてあっても「a÷0」を想像する必要は一切ありません。もっと直観的に言葉抜きで理解できることを考えた方がよいです。
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posted at 15:10:29
@genkuroki #掛算 続き。0で割った余りを考える文脈では、整数aにはa自身が印としてつけられるということにしていたので、aを0で割った余りはa自身だということになります。aを0で割った余りはa自身だとみなすことができる。これでおしまい。
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posted at 15:08:31
@genkuroki #掛算 続き。あ、しまった。タグを付け忘れていました。肝腎の部分がタグ無しになってしまいました。興味のある人は返答連鎖をたどって読んで下さい。続く
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posted at 15:06:20
@genkuroki 続き。「先に説明した方法で等間隔bで整数に同じ印を付けて行って整数全体をグループ分けしたときに、aをbで割った余りとはaに付けられた印のことである」と一般的に定義しておけばb=0の場合も含めて「bで割った余り」が適切に定義されます。続く
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posted at 15:04:22
@genkuroki 続き～結局、最初に選んだ整数と同じ印を付けられる他の整数はありません。この手続きを数直線の整数が全部埋まるまで行えば、すべての整数に異なる印がつけられることになります。面倒なので整数aに付けられた印もaと呼ぶことにしましょう。続く
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posted at 14:59:56
@genkuroki 続き。こういう発想をできれば「0で割った余り」も容易に定義できるでしょう。数直線上の整数のどれかに何か印をつけて、左右に等間隔0でジャンプしながら、同じ印を整数に可能な限り付け切ってしまう。等間隔0のジャンプは何も移動しないということなので～続く
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posted at 14:57:59
@genkuroki 続き。通常、3で割った余りは0,1,2のどれかになると約束しますが、それは単なる約束事に過ぎず、必ずしもそれにしたがう必要はありません。たとえば先の数直線の状況を見て「３で割った余りは丸、△、□のどれかになる」と言っても構わないのです。続く
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posted at 14:56:00
@genkuroki 続き。そして、まだ丸でも△でも囲まれていない整数を□で囲んで左右に等間隔3でジャンプしながら可能な限り□で囲い切ってしまうと、数直線上のすべての整数が丸または△または□で囲まれた状態になります。実はこの状況が「3で割った余り」の正体なのです！続く
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posted at 14:53:47
@genkuroki #掛算 続き。まず、数直線上の整数のどれかを丸で囲んで左右に等間隔3でジャンプしながら可能な限り丸で囲い切ってしまう。次に、まだ丸を付けていない整数のどれかを△で囲んで左右に等間隔3でジャンプしながら可能な限り△で囲み切ってしまう。続く
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posted at 14:51:49
@genkuroki #掛算 続き。そして、3で割った余りが同じ数は数直線上に等間隔3で整然と並ぶことになります。この手続きを逆に考えましょう。すなわち、数直線上の整数たちに等間隔3でどんどん丸を付けて行くことを出発点に考えることにしましょう。続く
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posted at 14:47:18
@genkuroki #掛算 まず3で割った余りの話から始めましょう。3で割った余りが0,1,2の数たちをそれぞれ別の数直線上(整数全体でも算数のように0以上の整数全体でもどちらでもよい)にプロットしてみると、数直線上の整数の全体がそれら3通りに分類されることがわかります。続く
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posted at 14:44:56
やっぱり「その辺り」ですよね。何故素朴な発想を阻害するようなチェックや駄目出しがすいしょうされるのか、本当に怖い。夏だから背筋が凍るのは有難いけど。 #掛算 twitter.com/genkuroki/stat...
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posted at 14:44:31
@genkuroki #掛算 それでは「aをbで割った余り」の概念をb=0の場合も含めて適切に定義するにはどのように考えればよいのか？それは現実に行われている算数の授業にもヒントがあります。算数の授業では数直線上のある種の数たちによく丸を付けさせます。続く
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posted at 14:41:18
@genkuroki #掛算 b=0の場合も含めた「aをbで割った余り」の話もまた「a÷0」とは一切無関係の話題であることに注意して下さい。字面で「割る」という言葉が出て来ていても「a÷0」の話だと誤解しないような思考法を身に付けないと算数と数学の理解はどんどん苦しくなります。
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posted at 14:38:59
@genkuroki #掛算 b=0の場合も含めて例外なく「aはbの倍数」「bはaの約数」「aはbで割り切れる」と「aをbで割った余りは0」がすべて論理的に同値になるようにできます。例外が一切ないので例外事項について一切暗記する必要がなくなります。
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posted at 14:33:47
@genkuroki #掛算 ちなみに、a÷0を考えることなく、aを0で割った余りを含むようにaをbで割った余りを定義できます。（この話は剰余環の概念を知っていれば自明。）そのようにうまく「余り」の概念を定義しておけば～続く
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posted at 14:31:18
@genkuroki #掛算 おそらく「0が0で割り切れる」という言い方の中に「割る」という言葉が入っているので「0÷0」を思い浮かべてしまったのでしょう。しかし、算数や数学では単純に字面通りに解釈するとダメだということになっています。ダメなことをやるからおかしなことになる。
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posted at 14:26:53
@genkuroki #掛算 積分定数さんが説明したように、私は「aはbの倍数」「bはaの約数」「aはbで割り切れる」は全部「a=bcをみたすcが存在する」と同じ意味だと定義しています。どこにも商を求める割算が含まれていないので0÷0を思い浮かべること自体がナンセンスです。
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posted at 14:24:57
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posted at xx:xx:xx
@genkuroki #掛算 メタメタさんから寄せられた質問は「0は0の倍数なので、0は0の約数であり、0は0で割り切れる」と言うとき、「0÷0の式を許しているのでしょうか？」です。答えは「0÷0はこの話題には関係ない」です。なぜならば商を求める必要が一切ない話だからです。続く
タグ： 掛算
posted at 14:19:48
@metameta007 @sekibunnteisuu #掛算 続き。すでに積分定数さんが答えを説明してしまっているので、背景にある数学的な話をします。続けての連続ツイートは長くなる可能性があるので、メンションを外して #掛算 タグだけを付けます。続く
タグ： 掛算
posted at 14:17:07
#掛算
twitter.com/gishigaku/stat...
次は算数教科書・算数指導指南書にがんばってほしい。
広島大学附属小授業
ir.lib.hiroshima-u.ac.jp/files/public/3...
数教協系の兎の絵
8254.teacup.com/kakezannojunjo...
トンデモとして恥ずかしくない出来栄え
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posted at 14:15:17
@metameta007 @sekibunnteisuu #掛算 ポイントは「剰余」の意味での割算(商を求める必要はなく、余りだけを求めればよい割算のこと)と商を求める通常の割算をきちんと区別することです。「倍数」「約数」「割り切れる」の概念を定義するときには「剰余」が基本。続く
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posted at 14:12:31
そうです（厳密には教科書ではなく教材ですが）。一般市場では目につきにくいですし、教科書に関する社会問題が世間で話題になってもネタとしては受けがとりにくかったですし
@hirosuke2010
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posted at 12:19:15
江戸しぐさですか？ RT @gishigaku: 7月25日開催「トンデモ本大賞2015」投票総数76（推定投票率60％前後）で過半数の47票を集め『私たちの道徳 小学五・六年生』が見事大賞を受賞しました。
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posted at 12:09:41
7月25日開催「トンデモ本大賞2015」投票総数76（推定投票率60％前後）で過半数の47票を集め『私たちの道徳 小学五・六年生』が見事大賞を受賞しました。著作権者の文部科学省ならびに下村博文文部科学大臣様、おめでとうございます（すみません、また誤字訂正の上再ツィート；）
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posted at 11:57:13
リクルート「景気の回復傾向を背景に、企業の人手不足感と時給の高止まりは、当面続くのではないか」◆これじゃ当分野党に勝ち目無いですね。
⇒アルバイト・パートの時給 過去最高に nhk.jp/N4KR4GV4 #seiji pic.twitter.com/UdVYWLWpiY
タグ： seiji
posted at 08:47:33
