黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 ガンマ分布に中心極限定理を適用することによってStirlingの公式を導く話の雑なノートを公開しました→ www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/... → www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/...

細かい誤りなどは後で修正する予定。

タグ： 数楽

posted at 20:54:43

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ʇɥƃıluooɯ ǝıʇɐs @tsatie

16年5月1日

（だから #掛算 なんやろな、とは書かない） #書いとるやないか

タグ： 掛算 書いとるやないか

posted at 20:40:59

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H. Miyoshi (ALC Japa @metaphusika

16年5月1日

なるほど極めてK理論的な視点なのですね。lax等をstrictにすることは圏論でも普通によく考えるのですが，複体だと出来ることでも一般の圏だと大抵困難につきまとわれます。その点でquasi圏は両方のいいとこ取りになっているのですね。 twitter.com/atomotheart/st...

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posted at 20:27:09

OokuboTact　大久保中二病中年 @OokuboTact

16年5月1日

@OokuboTact 　アメリカの小学校の掛算教育の歴史を調べてみる　files.eric.ed.gov/fulltext/ED247...　　＃掛算

タグ： 掛算

posted at 20:13:03

OokuboTact　大久保中二病中年 @OokuboTact

16年5月1日

@OokuboTact ＃掛算　　小学校の掛算教育の歴史が・・・　　www.mathematicalbrain.com/pdf/MULTI.PDF pic.twitter.com/7STMbUIjJA

タグ： 掛算

posted at 17:21:58

道草 @econdays

16年5月1日

ラルス・クリステンセン「リスクの過大評価、疑心暗鬼を生む」（2016年3月30日） econ101.jp/%e3%83%a9%e3%8... (経済学101)

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posted at 16:54:54

WIRED.jp @wired_jp

16年5月1日

トイレの「ジェットドライヤー」はウイルスを大量に拡散する：調査結果 wired.jp/2016/05/01/mor... #最新記事

タグ： 最新記事

posted at 16:03:29

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 もっと気楽に考え直せば、ガンマ分布の中心極限定理の話はガンマ函数の被積分函数 e^{-x}x^{n-1} をガウス分布で近似する話に他なりません。そういうわけで twilog.org/genkuroki/date... でグラフを描いた話に戻るわけです。

タグ： 数楽

posted at 11:02:35

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 中心極限定理をブラックボックスのように使いたくなければ、ガンマ分布を特性函数のフーリエ変換で表わしておいて極限を直接的に計算すれば(本質的に中心極限定理の証明のやり直し)よいということになります。

タグ： 数楽

posted at 10:56:55

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 中心極限定理より、各テスト函数φ(x)についてn→∞でΓ(n)^{-1}∫_0^∞φ((x-n)/√n)e^{-x}x^{n-1}dx→(√(2π))^{-1}∫_{-∞}^∞φ(t)e^{-t^2/2}dt．φをδ函数に近付ければスターリングの公式が得られる。

タグ： 数楽

posted at 10:53:53

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 続き。そして、ガンマ分布をその特性函数のフーリエ変換で表す公式から直接的に(中心極限定理を経由せずに)Stirlingの公式を導くこともできます。様々な極限や漸近挙動が確率論的な解釈を持つことは頻繁にあると思う。Stirlingの公式も中心極限定理の特別な場合。

タグ： 数楽

posted at 10:45:09

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 続き。Stirlingの公式n!～e^{-n}n^n√(2πn)はガンマ分布f_{n,1}(x)=e^{-x}x^{n-1}/Γ(n)のn→∞での中心極限定理の直接的帰結になっています。中心極限定理は確率分布函数を特性函数のフーリエ変換で表示することで証明されます。続く

タグ： 数楽

posted at 10:41:27

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 ガンマ分布の確率密度函数は f_{a,b}(x)=(e^{-x/b}x^{a-1})/(Γ(a)b^a) (x>0)なので、特にf_{n,1}(n)=e^{-n}n^{n-1}/Γ(n)=e^{-n}n^n//Γ(n+1)．Stirlingの公式はこれを評価する問題。続く

タグ： 数楽

posted at 10:37:21

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 過去ツイ 2. twitter.com/genkuroki/stat...
これはガンマ分布を特性函数のフーリエ変換で表示した途端にスターリングの公式がほぼ自明に見えて来るという話の紹介。

タグ： 数楽

posted at 10:29:24

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 統計で使う様々な確率分布とグラフを無料の統計ソフト R で扱うことへの入門ついては奥村さんのサイト oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/stat/ がよいと思う。

タグ： 数楽

posted at 10:25:43

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 以上のようにかなり色々なことを考えて、scilabで x^n e^{-x} と n^n e^{-n} exp(-(x-n)^2/(2n)) のグラフを比較する話を紹介していたりする→ twilog.org/genkuroki/date...

こういう話は講義ではやりにくい。

タグ： 数楽

posted at 10:21:30

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 数学は使ってみないと理解できないのですが、使うためにはある程度の理解が必要です。ところが、そのある程度の理解は使わないと手に入らないものだったりする。堂々巡りになることがよくある。今だと各種ソフトを安価に利用できるので「使ってみる」は昔よりずっとやりやすいと思う。

タグ： 数楽

posted at 10:18:34

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 数学の勉強では「数年前に初めて見たが現在になってやっと目が慣れて来て理解できそうな気分になって来ている」というようなことがよくある。統計のブラックボックスとして〇〇分布を扱うのは危険なので可能なら避けるべきなのですが、目が慣れて来てから勉強し直すというのでもよいと思う。

タグ： 数楽

posted at 10:10:15

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 ガウス積分は「正規分布」を扱うために必要になるし、ガンマ函数やベータ函数は「カイ2乗分布」「t分布」「F分布」を利用する人達(ものすごくたくさんいるはず)にとって必要になる知識でもあるので、できるだけ早く触れて目を慣らしておいた方が得だと思う。高校でやれれば超ラッキー。

タグ： 数楽

posted at 10:06:51

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 Γ(p)Γ(q)=B(p,q)Γ(p+q)からガウス積分も計算できる。B(1/2,1/2)=2∫_0^{π/2}dθ=π, Γ(1)=∫_0^∞e^{-x}dx=1なのでΓ(1/2)^2=πとなり、∫_{-∞}^∞e^{-t^2}dt=Γ(1/2)=√π.

タグ： 数楽

posted at 10:02:10

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 以上の説明を理解できる人であれば、ほぼ高校レベルの範囲内の説明でベータ函数とガンマ函数のあいだの関係の証明を説明できるはず。(ただし所謂「広義積分」と「定積分の順序の交換」の部分は適切に誤魔化して説明する。健全な誤魔化し方を私はむしろ好ましいと思います。)

タグ： 数楽

posted at 09:53:22

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 続き～、1変数の置換積分しか使わずにすみます。ただし、定積分の順序の交換∫_0^∞(∫_0^∞f(x,y)dx)dy=∫_0^∞(∫_0^∞f(x,y)dy)dxは必要。その部分は「左辺と右辺がどちらも同じ体積を表しているので等しい」という説明でごまかしてよいと思う。

タグ： 数楽

posted at 09:50:05

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 ベータ函数について説明するとどうしてもΓ(p)Γ(q)=B(p,q)Γ(p+q)についても説明したくなるのですが、Γ(s)=∫_0^∞ e^{-x}x^{s-1}dxを左辺に代入して、右辺に変形するためにはヤコビアンを使う積分の変数変換の公式は必要なくて、～続く

タグ： 数楽

posted at 09:44:57

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 続き～ cos θと sin θの任意の多項式の0からπ/2までの積分の計算もベータ函数に帰着します。どちらも頻出の積分なのでベータ函数を知っていると気分的に極めて楽になる。個人的には受験生に教えた方がよいと思う。スターリングの公式の話からかなり脱線したけど、まあいいや。

タグ： 数楽

posted at 09:41:14

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 ベータ函数とはB(p,q)=∫_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx=2∫_0^{π/2} (sin θ)^{2p-1}(cos θ)^{2q-1}dθ=…です。∫_a^b (x-a)^m(b-x)^n dx の形の積分はベータ函数に帰着するし、～続く

タグ： 数楽

posted at 09:36:13

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 あと積分区間の端で発散しているような積分も扱ってよいと思う。

受験でも有利になる普遍的な数学の知識として「ベータ函数とその応用」があると思う。「1/6公式」のようなくだらないことに時間をかける暇があるならベータ函数とその応用についてやっておけば一生役に立つ知識になる。

タグ： 数楽

posted at 09:31:08

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 補正。面積や体積と積分の関係は高校でやっている。しかし高校数学の教科書を最近になってチェックするようになったのですが、-∞から∞の積分や0から∞の積分は扱っていないんですね。ε-δを使わない方針なんだから、無限区間の積分もさらりとやっていいと思うのだが。もったいない。

タグ： 数楽

posted at 09:24:05

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 まずyを固定してe^{-(x^2+y^2)}をxで積分すると固定されたz=e^{-(x^2+y^2)}とz=0に挟まれた部分のyにおける断面積が求まる。断面積をyで積分すれば全体の体積が求まる。高校数学IIIの範囲で理解できるはずの事柄。

タグ： 数楽

posted at 09:21:38

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 そのような説明にした理由は、積分で面積や体積が計算できることを高校で習っているので、受け入れ易いのではないかなと思ったことと、log z の不定積分を知っていると思ったからです(知らなくても部分積分で簡単に求まる)。

タグ： 数楽

posted at 09:15:33

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 私は理学部2年生向けの授業で、∫∫_{R^2} e^{-(x^2+y^2)}dx dyはz=e^{-(x^2+y^2)}とz=0で挟まれた「小山の部分」の体積だと解釈できることを説明し、z軸方向の積分∫_0^1(-π log z)dzに書き直して計算してみせました。

タグ： 数楽

posted at 09:13:34

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 Gauss積分の公式∫_{-∞}^∞ e^{-x^2/a}dx=√(aπ)はa=1の場合を示しておけば十分。a≠1の場合は置換積分。Gauss積分の公式の様々な証明が www.math.unl.edu/~sdunbar1/Prob... にある。二重積分を使わないと余計に難しくなる。続く

タグ： 数楽

posted at 09:07:27

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 続。不一致の大部分はlog(x^n e^{-x})=n log x - xのx=nでのTaylor展開の3次の項に由来している。そのことを示すグラフとそのscilab(無料の数値計算ソフト)での描き方の説明が twilog.org/genkuroki/date... にある。

タグ： 数楽

posted at 09:01:43

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 再掲。Stirlingの公式は∫_0^∞x^n e^{-x}dx～∫_{-∞}^∞n^n e^{-n} exp(-(x-n)^2/(2n))dxと書き直せて、しかもn=10で誤差が1%未満なのだが、被積分函数のグラフを比較するとあまり一致していない。これはなぜか？続く

タグ： 数楽

posted at 08:58:34

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 n!の√(2πn) n^n e^{-n}による近似の誤差はnが大きくなるほど小さくなるのだが、n=10ですでに誤差は1%を切っている。しかし、n=10でx^n e^{-x}とn^n e^{-n} exp(-(x-n)^2/(2n))を比較するとあまり一致しない。続く

タグ： 数楽

posted at 08:56:13

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 Stirlingの公式n!～√(2πn) n^n e^{-n}に関する過去ツイの紹介

1. x^n e^{-x} の n^n e^{-n} exp(-(x-n)^2/(2n)) による近似の様子のグラフ→ twilog.org/genkuroki/date...

タグ： 数楽

posted at 08:54:19

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 私が説明する場合にはGauss積分∫_{-∞}^∞ e^{-x^2/a}dx=√(aπ)について説明した後にΓ函数の積分表示をGauss積分で近似するという方法をでかなり手を抜いて説明しています。この方法ならどこから√(2π)の因子が出て来るかが明らか。続く

タグ： 数楽

posted at 08:48:00

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年5月1日

#数楽 大学新入生向けの数学の授業をしている人達はどれくらいの割合でスターリング(Stirling)の公式について教えているんだろうか？私は学生時代に授業で導出の概略さえ授業で教わった記憶がない。授業でやらないけど「当然知っていること」扱いされる結果の典型例だと思っています。

タグ： 数楽

posted at 08:36:38

小菅 信子 Nobuko M KOSUG @nobuko_kosuge

16年5月1日

大手全国紙が堕落するのは、発行部数を一部でも減らしたくないからですｗ

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posted at 07:57:47

小菅 信子 Nobuko M KOSUG @nobuko_kosuge

16年5月1日

なんで石橋湛山が自由にものを言い続けられたか。理由の一つは、当時の東洋経済新報という媒体の発行部数の少なさｗ

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posted at 07:56:36

小菅 信子 Nobuko M KOSUG @nobuko_kosuge

16年5月1日

すばらしいことなんです、個人が情報・オピニオン発信することができる、それを受信することができる。1930年代にはツールがなかったんです。
なお、ツイッターを例にとるなら、フォロワーの数はあまり問題ではありません。少ないほうが、むしろ自由にものがいえます。目をつけられにくい。

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posted at 07:55:22

小菅 信子 Nobuko M KOSUG @nobuko_kosuge

16年5月1日

しかし、いわゆるマスコミ信用失墜問題に的をしぼるなら（ここ強調）、それを声にすることができること自体、いまの時代のほうがましです。

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posted at 07:32:06

小菅 信子 Nobuko M KOSUG @nobuko_kosuge

16年5月1日

マスコミ（新聞）への信用失墜。大正デモクラシーの終焉期にみられた集合心性のひとつです。

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posted at 07:29:37

OokuboTact　大久保中二病中年 @OokuboTact

16年5月1日

＃掛算　推測：アメリカの第二次大戦前の小学校算数の掛算教育では、生徒が交換法則を習得するのに時間がかかるという話なのかもしれない。例えば２×３と３×２は別からスタートして、交換法則を習得させる。これは「文章題から式を作らせて順序が逆だから間違い」という話ではない・・と思う。

タグ： 掛算

posted at 04:53:47

OokuboTact　大久保中二病中年 @OokuboTact

16年5月1日

＃掛算　William Arthur Brownell　はアメリカの算数教育に大きな影響を与えていて、その影響が戦後の日本に来たのでは？　と推測

タグ： 掛算

posted at 03:49:14

OokuboTact　大久保中二病中年 @OokuboTact

16年5月1日

＃掛算　同じ著者の本で１９３５年発行　『Psychological Considerations in
the Learning and the Teaching of Arithmetic.』William Arthur Brownell

タグ： 掛算

posted at 03:47:46

OokuboTact　大久保中二病中年 @OokuboTact

16年5月1日

＃掛算　アメリカの掛算教育の歴史。読んだことない本。１９４３年発行　『Learning the Multiplication Combinations』William Arthur Brownell, Doris Viola Carper

タグ： 掛算

posted at 03:43:46

nagashima m. @_nagashimam

16年5月1日

(メモ)画像ファイルからグラフの数値を読み取る PlotDigitizer X www.surf.nuqe.nagoya-u.ac.jp/%7Enakahara/So...

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posted at 02:24:32