黒木玄 Gen Kuroki(@genkuroki)/2016年06月11日

@genkuroki 続き。適切な条件のもとで、

∫_0^∞ e^{-npx} dU_n(x)=exp(n g(p) + o(n))ならば
U_n(x)=exp(n f(x) + o(n)).
ここで f(x)=inf_{p>0}(g(p)+px).

となるらしい。

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posted at 23:43:05

#数楽続き。適切な条件のもとで

U_n(x)=exp(n f(x) + o(n)) ならば
∫_0^∞ e^{-npx} dU_n(x)=exp(n g(p) + o(n).
ここで g(p)=sup_{x>0}(f(x)-px) (ルジャンドル変換).

となるらしい。

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posted at 23:27:33

#数楽 dlisv03.media.osaka-cu.ac.jp/infolib/user_c...
Kasahara-Kosugi, Remarks on Tauberian theorem of exponential type and Fenchel-Legendre transform (2002)

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posted at 23:12:58

#数楽要するにnの指数函数部分以外を無視するタイプのLaplaceの方法から自然にLegendre変換が出て来ることがあるということ。Legendre変換の必然性は理解し難いことの一つなのですが、Laplaceの方法から勝手に出て来るなら納得し易くなる。

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posted at 22:30:33

#数楽 a_n～b_nを(log a_n)/(log b_n)→1と定義すると、∫exp(nφ(x)+o(n))dx～exp(n sup φ(x))であり、φ(x)=px-f(x)、fは下に凸ならばsup φ(x)=sup(px-f(x))はf(x)のルジャンドル変換になる。

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posted at 22:26:41

#数楽 Newmanさんの証明法はInghamさんによる指数函数部分以外の部分まで求まる精密なTauber型定理の証明に一般化できると思う。

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posted at 21:33:55

#数楽 twitter.com/genkuroki/stat... で引用したNewmanさんによるHardy-Ramanujanの定理の証明(1962)では、p(n)を近似するq(n)を積分表示してLaplaceの方法に持ち込んでGauss積分の計算で精密な結果を出している。

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posted at 21:26:59

#数楽精密な例の典型その2は分割数に関するハーディ・ラマヌジャンの定理 p(n)=exp(π√(2/3) n^{1/2}) (4√3 n)^{-1} (1+o(n)) です。これは指数函数部分が exp(A n^{1/2}) の形をしており、残りの部分は B/n の形。続く

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posted at 21:24:24

#数楽精密な例の典型その1はスターリングの公式 n!=n^n exp(-n) √(2πn) (1+1/(12n)+O(1/n^2)) です。n^n、exp(-n)、√(2πn) で順番に精密な近似公式になる。√(2πn)の部分はGauss積分の計算で確定する。

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posted at 21:20:29

#数楽典型的な漸近挙動が exp(nA) n^B C のような形になることは多いのですが、exp(nA)の部分だけしかいらないなら計算は大幅に簡単になる。n^B や C の部分まで知りたい場合には局所的にGauss積分で近似する必要が出て来る(元来のLaplaceの方法)。続く

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posted at 21:14:56

#数楽同じことの言い直し：n→∞のとき

∫_a^b exp(nS(x)+o(n)) dx = exp(n sup S([a,b]) + o(n)).

nの指数函数部分以外を無視すれば S(x) の最も大きな所しか積分に効いて来ない。これは「Laplaceの方法」。

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posted at 21:10:57

#数楽以上の積分版：n→∞のとき、

n^{-1} log ∫_a^b exp(nS(x)+o(n)) dx → sup S([a,b]).

ここで、S(x)は[a,b]上の上の連続函数(これは強過ぎる仮定)で、o(n)は[a,b]上で一様なo(n).

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posted at 21:07:14

#数楽 twitter.com/genkuroki/stat... の「これの証明は (log n)/n → 0 に帰着」は超凡ミスなので削除。

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posted at 20:57:09

#数楽同じことですが、

Σ exp(nS_i + o(n)) = exp(n max{S_i} + o(n)).

このことから、(iの確率)=exp(nS_i+o(n))のとき、n→∞で最大のS_iを持つiに分布が集中することがわかる。

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posted at 18:49:44

#数楽より一般に n→∞ のとき

n^{-1} log[Σ exp(nS_i + o(n))] → max{S_i}

これの証明は (log n)/n → 0 に帰着。o(n)の部分の自由度は相当に大きい。これも「ラプラスの方法の類似」と言ってよいと思う。

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posted at 18:36:58

#数楽 (確率)=exp(nS+o(1)) の型の漸近挙動が出て来る話で知っていると便利なのはmax-plus代数のmaxへの極限：

n→∞のとき n^{-1} log(Σexp(nS_i)) → max{S_i}

この型の極限もよく使うと思う。

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posted at 18:26:05

#数楽 www.amazon.co.jp/dp/4563024376 田崎晴明著『統計力学I,II』の第2,4,9章を見て「増加減少速度で分類された函数の階層」「テイラー展開」「ラプラスの方法」についてはきちんと教えておかないといけないという結論になった。たったこれだけで相当のことができる。

タグ：数楽

posted at 17:20:57

MASUDA Kooiti @masuda_ko_1

ブログ記事(2011-09-03) 広瀬隆氏と武田邦彦氏をもてはやさないでほしいd.hatena.ne.jp/masudako/20110... 出版の自由もあると思って「彼らの著作が信頼されすぎないように注意して売っていただきたいと思う」と書いた。当時わたしはTwitterはやっていなかった。

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posted at 17:16:07

#数楽続き。この「遊び」でまだ不明のこと。確率q_iでE_iペリカもらえる(E_iが負なら支払う)ゲームを繰り返す話で"β"はどういう意味を持っているのか？n回のゲーム(nは巨大)で得た総額をEペリカと書く。U=E/nはβの単調減少函数。Uは1/βの単調増加函数。

タグ：数楽

posted at 12:23:19

Iwao KIMURA @iwaokimura

「凄ワザ！」でボール減速機という機構を知って感心していた。論文は
doi.org/10.2493/jjspe....

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posted at 11:35:58

ʇɥƃıluooɯ ǝıʇɐs @tsatie

@tsatie 誰か早う

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posted at 10:30:10

ʇɥƃıluooɯ ǝıʇɐs @tsatie

@tsatie #LuaTeX で #luamplib 仕込んで #MetaPost でpathを手描き風に歪めて？描くマクロを仕込んでみると図は手描き風に見せ掛ける事ができる。それ自体はもう随分前に迷路描くのに作った覚えがあって簡単だった。あとは数式フォントだけ。無いのかなぁ？

タグ： luamplib LuaTeX MetaPost

posted at 10:29:53

ʇɥƃıluooɯ ǝıʇɐs @tsatie

今週は #LuaTeX だと色んなフォントが楽に使えるってことを知って様々試していた。特に日本語の手描き風フォントは面白かった。数式用のフォントも沢山あったがうまくまとまったページは少なかった。数式フォントの手描き風のやつって無いものか？ #緩募

タグ： LuaTeX 緩募

posted at 10:27:08

math_jin @math_jin

Yang-Mills Theory and the ABC Conjecture
Yang-Hui He, Zhi Hu, Malte Probst, James Read
(Submitted on 4 Feb 2016)
arxiv.org/abs/1602.01780

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posted at 10:16:12

@genkuroki #数楽逆に言えば、確率の対数は場合の数の対数の一般化になっているわけです。

以上の話を読めば、(確率)=exp(nS+o(n)) におけるSは「場合の数の対数の一般化」という意味で常に「エントロピー」と呼びたくなる量になることもわかるとも思います。

タグ：数楽

posted at 09:44:29

原啓介 @kshara2009

「ζ」氏の謎はさておき、本日発売の「数学セミナー」7月号(日本評論社)の特集「中心極限定理から広がる確率論」に小文を書かせていただきました。本人はとても楽しんで書けましたが、御笑覧いただけるとなお感謝感激です。
www.nippyo.co.jp/shop/magazines...

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posted at 09:43:58

@genkuroki #数楽そして、(確率)=exp(nS+o(n)) と S=n^{-1} log(確率) + o(1) は同値なので、Sは大雑把には確率の対数(割るn)。さらに一様分布なら確率は場合の数に比例するので、Sは本質的に場合の数の対数(割るn)になるわけです。続く

タグ：数楽

posted at 09:41:04

@genkuroki #数楽以下Nをnと書く。

確率の漸近挙動が exp(nS+o(n)) の形になることがわかれば(これを「大偏差原理が成立している」と言うらしい)、n→∞での様子をSを用いたLaplaceの方法で解析することが可能になります。

タグ：数楽

posted at 09:32:14

@genkuroki #数楽確率の漸近挙動が exp(NS+O(log N))の形のとき、Sの値がほんの少しでも違うと、確率の比はN→∞で指数函数的に0または∞になってしまいます。だから条件の範囲内でSが最大になるところに条件付き確率の分布が集中する。これが条件付き大数の法則。

タグ：数楽

posted at 09:26:01

@genkuroki #数楽真面目に証明を書き下すと色々複雑になってしまいますが、本質は、多項分布の確率のN→∞での漸近挙動がexp(NS+O(log N))の形になり、Sが相対エントロピーで記述されることです。Nが巨大なら、条件の範囲内でSが最大になる所しか効いて来なくなる。

タグ：数楽

posted at 09:17:36

@genkuroki #数楽以上の議論で使った「相対エントロピーを使って記述される条件付き大数の法則」の素朴な証明が書いてある論文を mobile.twitter.com/genkuroki/stat... で紹介してあります。

タグ：数楽

posted at 09:08:42

@genkuroki #数楽そのN回のゲームの記録からランダムに1回分のゲームを抽出すると、その結果がiである確率はほぼ exp(−βE_i)q_i/Z になる。N回のゲーム結果から小さな一部分をランダムに抽出した結果がカノニカルアンサンブルだという理解で良いのかな？

タグ：数楽

posted at 09:00:10

A級３班国民 @kankichi573

@sekibunnteisuu ほんでこの人には田の字は有効なんだろうか。
togetter.com/li/948140
【高卒社会人一年生（もうすぐ二年生）に「重さ」と「面積」と「体積」とは何かを教えている。】

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posted at 08:55:21

@genkuroki #数楽続き。ここで、Z=Σ exp(−βE_i)q_i で、βは-∂(log Z)/∂β=Σ E_i exp(−βE_i)q_i/Z=Uという条件で決まる。ボルツマン因子exp(−βE_i)はこういう筋道で出て来る。続く

タグ：数楽

posted at 08:52:53

A級３班国民 @kankichi573

@sekibunnteisuu URL中「文章題が苦手」って、田の字で解ける文章題は「100円につき10000円の払い戻しのある的中券を700円分取りましたがいくらもらえますか。」の形式だからレース場に出入りするうぞーむぞーでもできることができひんってことだがそうなんかｗ

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posted at 08:48:24

@genkuroki #数楽ゲームの回数Nは巨大であるとする。N回のゲームの結果のトータルでの収支がEペリカであるとし、U=E/Nとおく。相対エントロピーで記述される条件付き大数の法則より、N回のゲーム中で結果がiの回数の割合はほぼ exp(−βE_i)q_i/Z になる。

タグ：数楽

posted at 08:45:06

@genkuroki #数楽布団から出て本棚まで行って調べるべきか。

「E円もらう、支払う」とか言うと博打をすすめているように読めて危険なので、「Eゴールドもらう、支払う」とかの方が良いかな？「Eペリカもらう、支払う」だとあの漫画の話になってしまう。

タグ：数楽

posted at 08:36:29

@genkuroki #数楽そのゲームをN回行なってトータルでE円のお金をもらえた(Eが負なら支払った)。このときのN回のゲー全体の記録がミクロカノニカルアンサンブルで、そこからn回分をランダムに抽出したものがカノニカルアンサンブルという理解で良いのかな？

タグ：数楽

posted at 08:33:15

@genkuroki #数楽ミクロカノニカルアンサンブルとカノニカルアンサンブルを理解していないのですが、例の博打の場合にはこう考えればよいのかな？

1回の勝負で確率q_iでお金をE_i円もらえるゲーム(博打)を考える。E_iが負の場合はお金を支払う。続く

タグ：数楽

posted at 08:25:53

A級３班国民 @kankichi573

@sekibunnteisuu tableならその活用範囲はもっと広いぜ。大学どころか社会人になっても使えるｗ

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posted at 08:11:47

selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-253...
selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-197...
selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-693...

ブログ主は「はじき」との違いを強調しているが、よく分からん。

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posted at 04:16:59

でも、「田の字」を使わないで普通に濃度を理解しても、濃度の問題が解けるようになるのではないか？

「田の字を使って解く方法を教えたら田の字を使って解けるようになった」というのは、「田の字」の有効性の証拠にはならない。

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posted at 04:12:55

例えば、

中和と体積、濃度の問題は次の田の字表で
selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-368...

こんな具合（といいつつ面倒くさいのでどんな具合なのか詳細は見ていないが）に教えれば「田の字」を使って濃度の問題を解けるようにはなるだろう。

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posted at 04:10:13

私はこのブログ主から出禁を宣言されているので、直接たずねるわけには行かないが、おそらく「現実に田の字で教えていて、生徒は解けるようになった」と反論されるのだと思う。

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posted at 04:08:05

項目ごとにこんな具合に「田の字の使い方」を覚えるのって大変じゃないのかな？そんなことするぐらいなら「田の字」など意識しないで、それぞれを直接理解すればいいだけだと思うが。

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posted at 04:06:11

方程式において、田の字表を使った式の作り方
selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-362...

仕事の原理は３段の田の字表で
selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-367...

中和と体積、濃度の問題は次の田の字表で
selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-368...

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posted at 04:04:35

selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-993...
＞「田の字」がこんなに応用範囲が広いんだよ，というのを示すために，「もくじ」を掲載します。
　高校の範囲まで広げたらもっともっとになります。「モル」の計算なんかこれで楽々！！

比例・反比例が使えるものを列挙してあるだけな気がする

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posted at 04:01:32

2つの量が比例していて、4つの量のうち1つが未知であるときに、その数値を求めるための手法

なのか？

だとしたら、問題ごとに「これとこれは比例している」ということがわからないとならない。「田の字」が使えるかどうかの判断は「田の字」を使っても出てこないだろう。

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posted at 03:57:23