黒木玄 Gen Kuroki(@genkuroki)/2016年09月16日

#掛算
正直にいって掛算の順序に関しては
考えれば考えるほど数学的問題とか教え方というより教育の仕方の問題だと思うようになってきた……

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posted at 23:28:29

【SYNODOS】あなたの思う福島はどんな福島ですか？――ニセ科学とデマの検証に向けて／林智裕 / フリーランスライター synodos.jp/fukkou/17814

この記事の執筆にはかなりの精神力が消費されたのではないかと思いました。デマ屋のリストになっている。

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posted at 23:14:40

@sekibunnteisuu
#掛算
そしてここからは想像ですが、
順序の固定を無くした場合には今度は少なからず割算、引算における理解の弊害が生まれると思います。
ここまで来ると総じて教職側の都合というのも挟まって来ざるを得ませんが。

タグ：掛算

posted at 22:54:49

#数楽 Poisson分布やら多項分布とKL情報量、中心極限定理などの計算については解説ノート www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/... の第1.9節を見てください。

タグ：数楽

posted at 22:54:31

@sekibunnteisuu
#掛算
小学校における算数教育の変遷というのは自分にはわからないので明言はしませんが、
前提としてその程度は考えずに掛算、足算において順序を固定することによる弊害がありますが、引算、割算の理解の助けになっている部分はあると思います。

タグ：掛算

posted at 22:51:40

@tebasakitoriri @paul4seigi #掛算　順序が教えられているのは、理解のための道具としてではなくて、「一方の順序のみが正しい」という理由からです。十分理解して問題を解くことが出来ても「順序が逆だから理解していない」と見なされて執拗に順序が指導されます。

タグ：掛算

posted at 22:44:55

@shu1023soa #掛算　引き算や割り算は順序が重要なのは事実ですが、そうであれば「足し算・掛け算の順序はどっちでもいいけど引き算・割り算はそうではない」と教えれば済む話です。実際は順序はどっちでもいい足し算・掛け算にまで順序を強要することで混乱が生じています。

タグ：掛算

posted at 22:41:33

@shu1023soa #掛算　小学校算数で掛け算の順序が強要されていることに関して、「こういう事情があるからではないか」と推測する人が多いのですが、算数教育を担っている当事者はそのようなことではなく、素で「掛け算には正しい順序があるからそれを教えているだけ」という認識です。

タグ：掛算

posted at 22:39:35

@sekibunnteisuu
続き)自由度の高い演算において(通例)のように特殊な状況に設定することで割算、引算の特殊性を受け入れやすくしているのではないかと(割算においても最初は整数÷整数＝整数から始めたような気がいたしますし)

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posted at 22:30:43

非公開

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posted at xx:xx:xx

@sekibunnteisuu
#掛算
専門ではありませんがこの掛算や足算における''通例''には後々教える引算や割算のことも影響してるのでは、と思います。
掛算は交換法則が成り立つ自由度の高い演算ですが、引算、割算では成り立たない。ので(続く

タグ：掛算

posted at 22:28:01

#数楽多項分布はPoisson分布の積の制限になっているので、Poisson分布の中心極限定理と完全に同様の計算で多項分布の中心極限定理も得られる。この事実はピアソンのカイ二乗検定の基礎になる。分割表の場合も同様。

タグ：数楽

posted at 22:15:28

黒影 @blackshadow0

良記事。デマ屋のリストでもある。 / “あなたの思う福島はどんな福島ですか？――ニセ科学とデマの検証に向けて / 林智裕 / フリーランスライター | SYNODOS -シノドス-” htn.to/rEQ14z

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posted at 22:13:11

#数楽 (訂正。少し上の方でlog√(2πnp)の前を負号にする)

続き。x=(k-λ)/√λとおくと、λ→∞で、

log(Poisson分布での確率×√λ)
→-x^2/2-log√(2π).

右辺は標準正規分布の確率密度函数の対数。

タグ：数楽

posted at 22:12:08

@tebasakitoriri #掛算　了解しましたが、よろしければ息子さんにこういう事実があると言うことをお伝えしていただけるとありがたいです。「教育現場の事情を知らない数学者がいちゃもんつけている」というような話ではないのです。算数教育のあり方としておかしいと言うことです。

タグ：掛算

posted at 22:11:34

@tebasakitoriri #掛算　教わったとおりに「1つ分×いくつ分」にすると、4人に3個ずつ蜜柑を配る場合は、４×３となってしまいバツになってしまいます。
　算数教育という観点からして、そもそも何の意味もないどころか、むしろ理解の妨げになっているのです。

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posted at 22:09:50

須賀原洋行『うああな人々』『ゴキちゃん』 @tebasakitoriri

@tebasakitoriri #掛算　この件を追求して発言している人には数学者もいる、というだけのことでそこは本質的なことではありません。
この質問主の娘さんは、兄妹でお菓子などを分けるときに各自に1個ずつ配るので、
komachi.yomiuri.co.jp/t/2011/1210/46...

タグ：掛算

posted at 22:07:25

@sekibunnteisuu いやもう、議論したくないので、そのまとめを読む気はありません。

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posted at 22:06:18

@tebasakitoriri #掛算　この件に関して10年ぐらい調べていますが、「文章題とかけ算の順番の教え方は有意義」というエビデンスは提示されたことは一つもありません。
↓こういうのはご存じでしょうか？
togetter.com/li/901635

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posted at 22:03:42

#数楽

 #数楽続き。k=np、λ=nqのとき、

log(Poisson分布での確率)
=-n(p log(p/q)+p-q)+O(log n).

これはPoisson分布の大偏差原理。

Poisson分布の中心極限定理も上の計算から得られる。続く

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posted at 22:02:18

#数楽続き。k=np、λ=nqのとき、

log(Poisson分布での確率)
≈-n(p log(p/q)+p-q)+log√(2πnp).

KL情報量を構成する項が単独で出て来た。多項分布はPoisson分布の積の制限で得られるので多項分布の場合も同様に計算できる。

タグ：数楽

posted at 21:59:42

須賀原洋行『うああな人々』『ゴキちゃん』 @tebasakitoriri

#数楽以上の計算の基本はPoisson分布の確率の対数の計算です。Stirlingの公式を使うと

e^{-λ}λ^k/k!
≈(k/λ)^{-k}e^{k-λ}/√(2πk).

ゆえに

log(左辺)
≈-k log(k/λ)+k-λ-log√(2πk).

タグ：数楽

posted at 21:54:59

>RT)数学オリンピックＡランクのうちの三男の意見。「算数が本当に苦手で、かけ算を理解できるかできないかぎりぎりの人もいるから、文章題とかけ算の順番の教え方は有意義。本当に数学ができる人は自分で数学の抽象化に気づく。数学者が小学校算数に口出ししても仕方ない」

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posted at 21:51:48

菊田裕樹 @Hiroki_Kikuta

石川啄木は正真正銘の人間のクズで、その人生の全てにおいて碌なことをせず、他人に迷惑をかけまくって死んだ傲慢で恩知らずな人非人なのだが、金に困って原稿料のために書いた短歌がことごとく傑作で、世人の心を捉え短歌の歴史に名を残した、人格と才能が無関係であることの代表格の人物である。

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posted at 21:50:48

#数楽訂正。
twitter.com/genkuroki/stat...
負号をつけるのを忘れた。よくある。読者は証明して訂正して下さい。Σk_i=n、k_i/n=p_iのとき、

log(n!/Πk_i!)
=-nΣp_i log p_i +O(log n).

タグ：数楽

posted at 21:43:08

@kinshati そうなんです。レシートを集めてチェックすると、単価×数量と数量×単価の両方のスタイルがあるんです。順序にこだわっても意味無し有害。 #掛算
 @sekibunnteisuu

タグ：掛算

posted at 21:33:45

キンシャチ @kinshati

@genkuroki 返信ありがとうございます。手元のレシートを見たのですが、ヨークマートは「単価*数量」で、イオンは「数量*単価」でした。
@sekibunnteisuu

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posted at 21:15:02

#数楽続き。モデルを作って真の確率分布のもとでの観測結果をもとにモデルを改良して行くというようなことの基礎としてSanovの定理(１つ前のツイートで紹介した大偏差原理)は必須の教養だと思います。大数の法則や中心極限定理と同様に空気のごとく使われるようになってよいことだと思う。

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posted at 21:12:55

#数楽続き。より具体的には、Σk_i=n、k_i/n=q_i=一定のとき、

log(n!/(Πk_i!)・Πp_i^{k_i})
=-nΣq_i log(q_i/p_i)+O(log n).

です。左辺は多項分布の確率なのでこの式は大偏差原理の成立を意味しています。続く

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posted at 21:09:08

#数楽有限集合上の確率分布の場合に述べると、モデルの確率分布p_iのもとでのn回の独立試行のもとで真の確率分布q_iが得られる確率の対数は-nΣq_i log(q_i/p_i)+o(n)のように振る舞います(Sanovの定理)。Σq_i log(q_i/p_i)がKL情報量。

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posted at 21:03:43

#数楽モデルの確率分布のもとでの独立試行を繰り返すことによって得られる経験分布として真の確率分布が得られる確率が高いほどモデルの精度は高いと考えられます。続く

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posted at 20:57:09

#数楽真の確率分布がわからないときに、真の確率分布を近似していると推測されるモデルの確率分布を用意して代用することが必要になります。そのとき、モデルの確率分布p(x)が真の確率分布q(x)をどのように近似しているかをどのように測るかという問題が生じます。続く

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posted at 20:53:09

#数楽大数の法則、中心極限定理以外に大偏差原理に関係することも「空気」になった方がよい理由に、指数型分布族(カノニカル分布の一般化)の普遍性以外に、「モデルの確率分布が真の確率分布をどれだけ再現しているか」を「KL情報量がどれだけ小さいか」で評価できることがあります。

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posted at 20:49:29

@kinshati @sekibunnteisuu #掛算訂正。他者→他社。算数の教科書出版社が教科書のマニュアル本で教師達にデタラメな教え方をすすめているという問題があります。一般にはほとんど知られていない日本の教育の暗部。光をあてて訂正を迫る必要あり。

タグ：掛算

posted at 20:20:22

@kinshati @sekibunnteisuu #掛算 pic.twitter.com/mxBd2Pn6K1 添付画像を見ればわかるように某教科書出版社によれば、単価x円、数量8の場合に8×xだと単価8円、数量xの意味になるので誤りになるみたいです。他者も似たようなもの。ひどすぎ

タグ：掛算

posted at 19:46:30

キンシャチ @kinshati

@genkuroki @sekibunnteisuu わが社の納品書は、数量*単価の順に印刷されているんですが、これは「掛け算の順番派」が言うところの、間違った順序なんですか?

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posted at 19:25:52

#数楽数学的に典型的な例の中にも、logを取ってからの漸近挙動を見る方が本筋の議論になっているように見えるケースがたくさんある。n!=Γ(n+1)に関するStirling-Binetの公式は典型例だと思う。

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posted at 17:58:53

#数楽こういう話を知る前には、対数を取ってから漸近挙動を調べることにどのような必然性があるのか、ピンと来てなかったのですが、(弱い)ラプラスの方法を使える設定を考えているということを理解してから、対数を取ってからの漸近挙動を調べることは当然だと感じるようになりました。

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posted at 17:51:07

#数楽例：Σk_i=n、k_i/n=p_i=一定の条件のもとで、n→∞とすると、(1/n)log(n!/(k_1!…k_r!))→Σp_i log p_i で一連のツイートに興味を持つ人であればよく知っているはずのシャノン・エントロピーが出て来る。これも大偏差原理の一例。

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posted at 17:46:38

#数楽弱いラプラスの方法では、確率そのものではなく、確率の対数を見た方が議論を整理しやすい。大偏差原理も

log(確率)=nS+o(n)

もしくは

lim_{n→∞}(1/n)log(確率)=S

と書いた方が見易い。logを取ることを拒否しないことは結構大事。

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posted at 17:41:48

RussianGoFederation @GoFederationRu

Zen is close to 11-dan on KGS! Hard to believe! pic.twitter.com/MSulXV0m11

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posted at 17:40:32

RussianGoFederation @GoFederationRu

Zen is KGS #1 now: www.gokgs.com/top100.jsp
Will we see the match with top pro soon? Zen vs Lee Sedol match would be fun!

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posted at 17:39:39

#数楽ガウス積分で近似する通常のラプラスの方法とその弱いバージョンの違いは、中心極限定理と大数の法則の違いに似ています。

タグ：数楽

posted at 17:34:23

#数楽弱い意味でのラプラスの方法の最も簡単な例はn→∞で、(1/n)log(Σa_i e^{nb_i})→max{b_i}.

最大のb_iのみが効いてくる。通常のラプラスの方法では、最大値周辺を二次函数で近似してガウス積分で近似するが、弱いバージョンではガウス積分を無視する。

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posted at 17:33:02

#数楽たとえば、n人の人が合計でM円のお金を保有している場合の数はほぼM^{n-1}に比例するので、exp(n log M+o(n))と振る舞い、S=log Mの大偏差原理を満たしている。

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posted at 17:26:56

#数楽大偏差原理が成立しているとは、大雑把に言って、系のサイズ(自由度)を表すあるパラメーターnについて確率(もしくは場合の数)がexp(nS+o(n))のように振る舞うことです。そのとき、Sはエントロピーと呼ばれる。これは弱い意味でのラプラスの方法を使えるための十分条件。

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posted at 17:17:14

#数楽「大偏差原理」というラベルの意味について説明。

成り立つ場合の例を一般的に作るのは数学的に非自明な問題ですが、大偏差原理を仮定することは易しい。その易しさが統計力学におけるカノニカル分布の基礎になっている。続く

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posted at 17:12:59

#数楽以上の例においては、注目する個人がランダムに何かをやりとりする「熱浴」集団は注目する個人を含めて均質である場合を扱いましたが、統計力学の教科書に書いてあるように、ある種の大偏差原理とやりとりする何かに関する保存則を満たしているものなら何でも「熱浴」として採用できます。

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posted at 17:07:19

#数楽例続き。すなわち、e^{-βf(x)}/Z=e^{-x^2/(2U)}/√(2πU)です。

この形の正規分布の出方は中心極限定理とは異なります。ランダムに集団でやりとりするもの(お金やエネルギー)を表す函数がf(x)=x^2の場合には正規分布が出て来るのです。

タグ：数楽

posted at 16:34:06

#数楽例続き。nを大きくすると注目する粒子のエネルギーの確率密度函数はe^{-βx^2}に比例するようになる。ガウス積分の計算を実行すると、β=1/(2U)、Z=√(2πU)となり、確率密度函数は平均0、分散Uの正規分布になります。続く

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posted at 16:09:33

#数楽例：個人ではなく粒子達がエネルギーf(x)=x^2をランダムにやりとりしている場合。n個の粒子全体でエネルギーの総和はnUであるとし、制限を付けないxの分布密度q(x)dxは区間
[-√(nU),√(nU)]
上の一様分布とする。続く

タグ：数楽

posted at 16:03:58

#数楽積分範囲が0から∞になっているのは、q(x)として[0,nM]区間上の一様分布を選び、nを大きくしたときの様子を見ているから。

タグ：数楽

posted at 15:43:06

#数楽例続き。このとき、Z=∫_0^∞ e^{-βx}dx=1/β、β∫_0^∞ x e^{-βx}dx=1/β=Uなので、β=1/Uとなり、平均Uの指数分布の密度函数e^{-x/U}/Uが得られる。

指数分布が普遍的に現れて来る様子がわかります。

タグ：数楽

posted at 15:40:49

#数楽例：総量nUのお金をn人でランダムにやりとりする場合にはM≧Uに対する[0,nM]区間上の一様分布を個人の制限なしの保有するお金xの分布密度と考えます。そして、f(x)=(注目する個人が保有するお金)=x. 結果的に得られる確率分布の密度函数はe^{-βx}に比例。

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posted at 15:33:53

#数楽ただし、U≦∫f(x)q(x)dxであるとき、β>0は、Z=∫e^{-βf(x)}q(x)dx、(1/Z)∫f(x)e^{-βf(x)}q(x)dx=Uという条件で決まる。

タグ：数楽

posted at 15:27:09

#数楽基本定理：ベースになる個人の制限がない場合の分布密度をq(x)とするとき、個人が函数f(x)で表される量をサイズn-1の集団とランダムにやりとりするとき、全体でのf(x)の合計がnUのとき、n→∞で分布密度はe^{-βf(x)}q(x)に比例するようになる。

タグ：数楽

posted at 15:20:07

#数楽続き。たったこれだけの条件から、個人がやりとりする集団のサイズを大きくする極限でどのような確率分布(指数型分布族に含まれる確率分布になる)に収束するかがわかる。大数の法則や中心極限定理よりも分布の収束先がずっと広く、使用可能なための条件もシンプルでわかり易い。

タグ：数楽

posted at 15:04:06

#数楽注目する個人(もしくはより一般に注目する系)が集団(熱浴)とやりとりするものはお金である必要はなく、なんでもよい。ただし、指数型分布族を出すためには、注目する個人と集団の全体でやりとりするものの総量は一定でなければいけない。たったれだけの条件から〜続く

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posted at 14:59:28

#数楽総量一定(より正確には1人あたりの量の平均値一定)のお金をたくさんの人たちの間でランダムにやりとりするケースでは、注目する個人意外の人たちが「熱浴」の役目を果たします。奥村さんの新著でも紹介されていたようにこの例は基本的で分かりやすいと思う。

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posted at 14:55:50

@genkuroki それで、(1+1/n)^(n+1/2)－ｅを調べようと思いました。
これは、分母が2次以上となるので、無限和は収束するとなりました。

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posted at 14:31:38

#数楽大偏差原理の取り扱いを知っていれば、統計力学における熱浴のアイデアで、所謂指数型分布族(統計力学におけるカノニカル分布の一般化、正規分布や指数分布を含む)がどのような場合に普遍的に出て来るかがわかります。これも空気のごとくみんなが使えるようになると素晴らしいと思う。

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posted at 14:31:11

@genkuroki で、それを対数を経由しないで示すことは出来ないかと思って、

１に収束する数列ａnの無限積が０以外の値に収束する必要十分条件はａn－１の無限和が収束することだと考えました。これは、十分検証していませんが、

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posted at 14:29:31

#数楽大数の法則と中心極限定理はすでに実用的な統計学を習得した人たちにとって空気のようなものになっているのですが、大偏差原理から出て来る話(先の総量が一定のお金のランダムなやりとりで指数分布が自動的に出て来たりする話がその最も簡単な例)についてはそうではないと思う。

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posted at 14:27:17

@genkuroki 　今回の件は、↓のスターリングの公式の証明を読んでいたのが発端です。www.math.s.chiba-u.ac.jp/~tanemura/pdf/...
p3のlog{(n+1)/n}を変形しないでそのままテイラー展開しても、dnの総和の収束性は示せるのではないかと思いました。

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posted at 14:14:57