黒木玄 Gen Kuroki(@genkuroki)/2017年03月27日

#数楽 Kullback-Leibler情報量の定義は

D(p|q)=Σp_i log(p_i/q_i)

です。ここにlogが入っていることから、ボルツマン因子のexpが出て来る仕組みになっています。

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posted at 23:57:54

#数楽続き。Sanovの定理からボルツマン因子が出て来ることの理解はほぼ相対エントロピー(大雑把には確率の対数)とその-1倍であるKullback-Leibler情報量の使い方の１つを学ぶことと同じになります。大した話でなくてかつ応用範囲は広いのにあんまり普及していない感じ。

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posted at 23:54:38

#数楽続き。数学的にボルツマン因子がクリアに出て来る場合があることは、Sanovの定理について学べばわかります。有限集合上の確率分布のケースであれば非常に易しくて、難易度的には大学2年までにやる数学を知っていれば十分。詳しい解説→ www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/...

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posted at 23:50:30

#数楽続き。統計力学では大偏差原理の成立が物理的な仮定になっているので、物理的とは限らないもっと一般の場合に統計力学の方法を適用するためには、必要な大偏差原理がいつ成立しているかを知る必要があり、数学的に様々な研究があります。詳しいことは確率論の専門家に聞いて下さい。続き

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posted at 23:46:41

#数楽続き。統計力学の教科書では等確率の原理を仮定しており、確率と場合の数は定数倍を除いて同じものになります。そして場合の数の対数がある種の漸近挙動を満たすという仮定のもとでボルツマン因子を導出します。数学用語を使えばある種の大偏差原理を仮定するとボルツマン因子が出るという話。

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posted at 23:41:45

OokuboTact　大久保中二病中年 @OokuboTact

#数楽続き。というわけで、以上で述べたようなタイプの条件付き確率分布の極限を理解するためには、

ボルツマン因子e^{-βf_i}がどのような仕組みで出てくるか

を理解すればよいことになります。その辺の仕組みは本質的に統計力学の教科書に書いてあります。続く

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posted at 23:36:43

＃超算数　　備忘録　哲学好きの漫画家のツイート pic.twitter.com/ePeTxqOs1K

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posted at 23:34:22

#数楽続き。確率変数fの経験平均が期待値に近付けないように不等式で制限をかけると、iの目の出る割合がq_iからそれにe^{-βf_i}をかけたものに比例するように変化するわけです。統計力学の用語を借りて、e^{-βf_i}をボルツマン因子と呼び、βを逆温度と呼びましょう。続く

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posted at 23:32:30

#数楽続き。このように、割合(もしくは確率分布)の形が p_i=e^{-βf_i}q_i/Z(β) だとわかってしまえば、Z(β)とβを決める条件は直観的に当然そうなるべき条件なので、直観的に非自明なのは p_i が e^{-βf_i}q_i に比例することだけです。続く

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posted at 23:27:57

＃数楽実際に出た目に関するfの平均(1/N)Σf_{i_ν}が大数の法則によって期待値a_0に近付くことをaで妨げる条件を課したので、大数の法則の力によってNを大きくすると(1/N)Σf_{i_ν}はaに近付きます。それがΣf_i p_i=aという条件の意味です。続く

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posted at 23:21:05

#数楽続き～、Z(β)とβは以下で決めます：

Σp_i=1 すなわち Z(β)=Σe^{-βf_i}q_i、
Σf_i p_i=(1/Z)Σf_i e^{-βf_i}q_i=-(∂/∂β)log Z(β)=a.

Z(β)の定義は割合の総和を1にするための条件です。続く

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posted at 23:16:31

#数楽続き。その力を妨げるように不等式で制限をかけるわけです。(例：指数分布の不平等に近付く力を妨げるためにlog型効用の総和に下限を設ける) その制限のもとでNを大きくすると、iの目の割合は

p_i=e^{-βf_i}q_i/Z(β)

に近付くことを示せます。ここで～続く

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posted at 23:09:01

#数楽続き。実数aを固定し、次の制限をかけます(魔法)。

(1)a≧a_0のとき、(1/N)Σf_{i_ν}≧a
(2)a≦a_0のとき、(1/N)Σf_{i_ν}≦a

制限をかけないと(1/N)Σf_{i_ν}はfの期待値a_0に近付く大数の法則の力が働きます。続く

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posted at 23:02:14

#数楽続き。確率分布q=(q_1,…,q_r) (q_iは非負で総和が1)と任意確率変数f=(f_1,…,f_r)を取り、その平均をa_0=Σf_i q_iと書きます。確率分布qのN回の独立試行で出た1からrの目をi_ν (ν=1,…N)と書きましょう。続く

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posted at 22:56:49

羽海野 @CHICAUMINO

将棋を描けば3姉妹がいなくてつまらない。3姉妹を描けば将棋シーンじゃなきゃ読む気無い。青年誌に描けば女性は買いにくいと言われ、原画展をすれば男は行きにくいと言われ。零ちゃんと一緒に叫ぶ夜ですよ
もう帰り道なんて見えないけどね pic.twitter.com/KBdZFKtWEO

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posted at 22:53:58

響野夏菜 @HibikinoKana

今日の夕飯は「おばあちゃんハンバーグ」
大正10年生まれのハンバーグを知らなかった祖母が、娘(私の母)のために「挽き肉、卵、玉ねぎ」で作った苦心の料理なのが名前の由来
子どものころ、母が時々懐かしそうに「おばあちゃんのハンバーグよ」と作ってくれて、
いまはうちの食卓に登場してる pic.twitter.com/Z0mSdQIAQj

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posted at 22:50:53

#数楽続き。以上はコイン投げ+魔法の話を、一般の場合に通用する形で言い直したものになっています。もとの確率分布qと函数fは任意に取れるので大幅に適用可能な状況が広くなっています。続く

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posted at 22:48:02

#数楽続き。βは

Z:=e^{-βf(表)}q(表)+e^{-βf(裏)}q(裏)、
(1/Z)(e^{-βf(表)}q(表)f(表)+f(裏)e^{-βf(裏)}q(裏))=a

で決めます。すなわちe^{-β}=a/(1-a)で、表：裏はa：(1-a)に近付く。続く

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posted at 22:44:53

#数楽続き、N→無限大で(表の出る割合)：(裏の出る割合)は

e^{-βf(表)}q(表)：e^{-βf(裏)}q(裏)

に近付きます。続く

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posted at 22:38:41

#数楽コイン投げの確率分布q(表)=1/2、q(裏)=1/2と函数f(表)=1、f(裏)=0を考え、コインをN回投げて函数fの値の平均がa以上になる場合に制限するとき、続く

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posted at 22:35:21

#数楽続き。表の割合を1/2に近付ける統計的な力が働いているところに、表の割合をa以上にする制限(魔法)をかけたので、結果的に表の割合がa以上からaに近付ける統計的な力が働いているように周囲の人たちには見えるわけです。

以上の直観的に納得し易い話は大幅に拡張されます。続く

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posted at 22:25:16

#数楽続き。任意のε>0に対して、Nを大きくすると、表の出た割合がa以上になるという条件の下での、表の割合がa+ε以上になる条件付き確率は0に近付きます。Nを大きくすると、まるで「表の割合を1/2に近付ける統計的な力」が働いているように見えるわけです。続く

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posted at 22:20:30

#数楽続き。その力をねじ曲げるために次のような魔法を使えるとしましょう。

a>1/2とし、N回コインを投げて表の出た割合がa未満なら時間を巻き戻してやり直して表の割合がa以上になるまで繰り返す。

この魔法を使われてしまうと、周囲の人達にはどのように見えるでしょうか?続く

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posted at 22:09:26

#数楽「大数の法則は統計的な力だ」という解釈の話の続き。

コイン投げの例：表と裏に同じ割合でなるコイン投げをたくさん繰り返すと実際に出た表と裏の割合は1:1に近付きます。続く

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posted at 22:06:33

アルミニ @cygnusgm

@franoma @genkuroki 米国は個人が年間9000ドル以上、つまり医療費はトップなんです。ですが平均寿命は伸びてない。一方、ヨーロッパを含む他の国々は特に個人医療費がかさんでいないのに平均寿命は伸びている。
これは米国だけがあまりに医療費が高すぎるということです。

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posted at 20:13:54

アルミニ @cygnusgm

@franoma @genkuroki チェルノブイリ原子力発電所の事故は1986年でした。ご説ならヨーロッパの非常に広い範囲に事故の影響が広がったのでフランス・オーストリア・イタリアなども医療費が非常に高くなって短命になっていなければならないが、グラフはそうなっていません。

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posted at 19:58:49

アルミニ @cygnusgm

@franoma @genkuroki その程度のごく狭い範囲の事故で米国全体の平均寿命の伸びが停滞しようはずはありません。
米国の医療費は個人負担割合がとても高いために医者に掛からないから全体的には短いという仮説があり、説得力を感じます。

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posted at 18:17:51

@sekibunnteisuu 問題の解き方を理解していることと教えたとおりの解き方で解くことができることとは一致しないばかりか、いずれか一方が他方の包含関係にすらないということを理解していない人はいそうですね。

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posted at 17:01:43

@croce1 こういう人が朝日小学生新聞や書籍で算数勉強法を指南していたわけで、頭が痛いです。

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posted at 16:42:09

@croce1 教えた方法と異なるしかもシンプルな方法で正解に行き着いたのなら、理解していると考えるが普通で、教えた方法で解いた子の方が理解していないで単に教わったとおりに手を動かしただけの可能性が高いわけだけど、このブログ主はそうは考えない。

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posted at 16:41:20

乗数・被乗数という用語があるくらいだから掛算順序は大事だ、という人もいますが、一般的にa×bは可換ではないという話を抜きにしても、2項演算子である乗算記号の第1引数と第2引数に固有名があることと算数の授業でそれらを区別する必要があるかどうかは別の問題です。 #掛算

タグ：掛算

posted at 14:56:03

「掛算の順序が逆でもいい……一つ分といくつ分の区別がつかなくてもいい……！！　やっと理解した掛算問題なんだ！！」という意見なら強く主張したいです twitter.com/sparta_cc/stat...

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posted at 14:51:54

@sekibunnteisuu このブログを見てもやはり、「算数・数学の問題は解き方の指定がない限り、その人にとって解きやすいと思う方法で解くべき」といいたくなります。掛算で一つ分といくつ分の区別を無理につけなくても割り算を正しくできる生徒は大勢いると思っています。

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posted at 14:46:45

@croce1 selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-476...　水道方式や遠山啓を賞賛している人のブログ。こういう人に算数・数学を教えてほしくない。

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posted at 14:41:17

@sekibunnteisuu 正にそうです。「学問の習得度合いが高い人はどの分野においても常に理解度が高い」と一律に思われていると、「掛算交換法則は自発的に気づいたけど算数全般は苦手」という子が算数を好きになるきっかけを逃すことになりかねません。

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posted at 14:40:18

@croce1 全体の60％は21人。全体は？

これを21÷3＝7　7×5＝35　と求めた児童は、「算数が苦手な子」だったという報告がある。

これに対して「間違った求め方だ、21÷0.6が正しい」というような教師は辞表を出して欲しい。

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posted at 14:38:07

@croce1 「出来ない子」が「交換法則に気づく」という状況も想定していない。その子は自分なりに考えて正しい結論に至ったのにバツをつけられて混乱する、なんてことは想定していないのでしょうね。

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posted at 14:35:17

@croce1 で「逆にする子は頭がいい。だから、教師の意図も忖度できる」という理屈を言う人もいます。

でもこういう人は、算数・数学の能力があることと、早熟でおませであることが必ずしも一致しない、ということが分かっていない。

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posted at 14:33:44

@croce1 「逆にする子は分かっていない」「逆にする子は頭がいい子」、どちらも順序擁護派から聞こえてくるのがなんですが、「高度な数学では積は一般に可換ではない」「算数と数学は違う」、「子供は等分除と包含除を同じ割り算には思えない」「子供は等分除と包含除を混同しがち」同様ですね

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posted at 14:32:08

非公開

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posted at xx:xx:xx

@sekibunnteisuu 固定派からは「勉強できる生徒は例外」のような話も聞きますが、「できるから順序不要」と「できないから順序不要」の両者が存在すること、両者とも順序不要にマルをつけるだけで解決することが伝わらないようですね。

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posted at 12:58:52

@sekibunnteisuu 固定派の中からは「交換法則などを学ぶ前の段階の話だから、順序がないと指導できないのに自由派はそれを分かってない」という声も聞こえてきます。しかし、「既に交換法則を体得している生徒」や「一つ分・いくつ分の区別が不要だと気づいている生徒」は対象外。

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posted at 12:55:30

@sekibunnteisuu 掛算導入時に「これが一つ分で、これがいくつ分。一つ分×いくつ分で総数が求まるよ」という教え方はまあありだと思ってます。しかし、一つ分といくつ分を明確に理解していなくてもそれらを掛けて求まると気づいた生徒にこれらの区別を強いる意味が分かりません。

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posted at 12:52:29

@sekibunnteisuu 私は「掛算を初めて教えるときに（とりあえず）乗数と被乗数の意味をはっきり割り当てて教える」という部分に関してはそれほど反対していないのですが、各生徒の理解度や理解の仕方の違いによる「順序違い」を間違いだと指導することが問題だと思ってます。

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posted at 12:50:16

@croce1 さらに「そもそも一方の順序が正しい」のか「本来は順序はどっちでもいいが、教える上で便宜的に『一方のみが正しい』としている」のかも曖昧。もともと無理な主張だからそれを正当化するためには無茶苦茶な論理にならざるを得ない。

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posted at 12:40:19

@croce1 固定擁護派は、２年生で交換法則も学び九九も終了して、それでもなお３年以降もずっと掛け算順序に拘った採点がなされることがある、ということを理解していないですね。

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posted at 12:38:29

@sekibunnteisuu 私たちは掛算を初めて習うときに「既に学力差のある生徒たち」にどう教えてどう採点すべきかという議論をしていて、その結果が掛算順序自由派だと思っているのですが、固定派には生徒全員が「掛算を学ぶ前に掛算のことは知らないはず」と考えたい人がいるようです。

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posted at 12:28:34

Shigeya @shigeyas

やはり、激烈に高いUS... 医療費払えないとかだろうなぁ。。 twitter.com/genkuroki/stat...

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posted at 11:57:53

添付画像は twitter.com/Kelangdbn/stat... より。
1980年代以降米国だけが脱落するのですが、何があったんですかね？
いずれにせよ、医療について現状の米国のまねをするのは危険過ぎ。
pic.twitter.com/X8nH4z2a9m

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posted at 11:53:31

#数楽ヒトは正確に論理的推論をすることが苦手。苦手を克服するためには努力と時間が必要になる。その過程で重要なことはヒトにとって易しいスタイルは労力を大幅に減らすということの認識。中高生ときに分かり易い「絵」(文字通りの「絵」とは限らない)を描く能力を身に付けた人は楽をできる。

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posted at 11:35:30

#数楽私なんかよりも、中学校や高校の数学の先生の方がわかりやすい図を描くテクニックは優れていると思う。そういう技術を中高生の時代に盗んでおくと後で非常に役に立つ。中高の数学と大学の数学のあいだに断絶があるかのような説明をしがちな大学の数学の先生は教育的に有害行為をしている。

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posted at 11:25:27

#数楽続き。もしくは f(x+dx)=f(x)+df+(dxより高次の誤差)。この考え方と表式はx=(x_1,…,x_n)と多変数の場合もそのままうまく行く。2変数なら接線を接平面に置き換えればよい。直観レベルでは完全に中学生レベルの話。難しく感じていた人達は全員誤解している。

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posted at 11:05:07

#数楽近似される側Fと近似する側Aに分けてF=A+(誤差)と考えることは普遍的に有用。添付図では近似される側はf(x+dx)-f(x)で近似する側は接線を記述するdfです。f(x+dx)-f(x)=df+(dxより高次の誤差)。 pic.twitter.com/faoOzIKzsK

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posted at 11:00:18

#数楽 df/dx=df÷dx (誤差無しに等しい)と考えてよいことはものすごく単純な話(添付図)。接線の概念を「直観的に明らか」とすれば中学生でも理解可能。この図を見れば、微分形式としての外微分dfの定義を自力で作ることも可能。 pic.twitter.com/faoOzIKzsK

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posted at 10:56:18

須賀原洋行氏がまた何か言っている8254.teacup.com/kakezannojunjo...

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posted at 10:16:40

Shuuji Kajita @s_kajita

同人誌即売会、スーパーマーケットの品ぞろえにみる「すそ野」の重要性。研究開発マネージメントにも通じる話。
twitter.com/kancore_0kenzo...

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posted at 08:46:42

Higumitsu @higu_chem