黒木玄 Gen Kuroki(@genkuroki)/2018年02月03日

#Julia言語 mp4も作ってみた。

gist.github.com/genkuroki/d651...
nbviewer.jupyter.org/gist/genkuroki... pic.twitter.com/fdnwmywZec

タグ： Julia言語

posted at 23:33:29

こうきょ @hiding_koukyo

@readonly_true juliaコード自体はjulia_scriptsに置いてあります。

必要環境はreadmeに書いておきます。

可視化もjuliaでやりたかったのですが、上手くいかないので一応matplotlibで可視化するコードもnbfiles/pyplot.ipynb内に入れてあります

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posted at 22:55:09

こうきょ @hiding_koukyo

@readonly_true 遅くなりましたがとりあえずカルマン渦発生するcsv吐くjuliaコードGitHubに挙げたのでご自由にお使いください。ただjuliaにしてはめっちゃ遅いのでかなり処理的に効率悪いことをやっている感があります。

github.com/koukyo1994/kar...

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posted at 22:51:53

#Julia言語動画作成時間は約4秒でした。

タグ： Julia言語

posted at 22:39:06

#Julia言語時間発展のルールは何も見ずにコードを打ち込みながら即興で決めました。

タグ： Julia言語

posted at 22:38:01

#Julia言語初期条件はランダムですが、時間発展は決定論です。所謂セルオートマトンとかいうやつ。

タグ： Julia言語

posted at 22:37:30

#Julia言語ツイッターに投稿した動画の画質が悪い。

nbviewer.jupyter.org/gist/genkuroki...

にはもっときれいなやつがあります。

Plotsパッケージ＋GRバックエンド。動画作成に10秒かかりません！

タグ： Julia言語

posted at 22:36:35

#Julia言語

 nbviewer.jupyter.org/gist/genkuroki...
植物・草食動物・肉食動物

1=植物は周囲に草食動物が存在すると草食動物に置換.
2=草食動物は周囲に肉食動物が2匹以上いると肉食動物に置換.
2=草食動物は周囲に植物が1つもないと植物に置換.
3=肉食動物は周囲に草食動物が5匹以上いないと植物に置換. pic.twitter.com/ebtwZh45Q9

タグ： Julia言語

posted at 22:34:39

goropikari @goropikari_

ちょっと前の #julialang v0.7 から Pkg.update() が depwarn になった。
リリースノートにはまだ書いていないっぽい。
v1.0 で初めに出会う depwarn はきっとこいつだな。 pic.twitter.com/m3MIa10sU3

タグ： julialang

posted at 22:21:28

Juliaさん少しずつ分かってきた。module, export, using, importあたりとpush!(LOAD_PATH, “.”)で自作モジュールは管理できるのね。代数も直感的にコーディングできそうなんでちょっと楽しみになってきた。

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posted at 21:56:42

Juliaの精度保証ライブラリが充実して精度保証が普及する未来

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posted at 21:56:38

#Julia言語人間は確率現象をなかなか直観的に理解できないので、「よくわからないから試してみること」は結構大事だと思います。

タグ： Julia言語

posted at 19:32:55

#Julia言語のような道具を使えば、

　　なんかよくわかんないから1億回サイコロをふって確認してみよう

というようなことを瞬時にできます。たった数行のコードで。

タグ： Julia言語

posted at 19:31:45

#Julia言語ランダムウォークで遊んでみることは、とても「教育的」だと思います。

タグ： Julia言語

posted at 19:30:36

#Julia言語トータルで最も勝っていた時刻がギャンブルを始めた直後だということは、最初にちょっとだけ勝ったけど、その後負け続けてマイナスに沈んでずっと浮かび上がれなかったことを意味します。そういう確率が結構高い。www

タグ： Julia言語

posted at 19:29:40

#Julia言語最後に勝ち負けがひっくり変える時刻の分布

添付画像を見ればわかるように6行で数値的に確認可能。 pic.twitter.com/1fYL5kHmuO

タグ： Julia言語

posted at 19:27:23

#Julia言語トータルで最も勝っていた時刻の分布を5行で確認

using Plots
N, Niters = 10^4, 10^4
X = [findmax(cumsum(randn(N)))[2] for i in 1:Niters]/N
histogram(X, normed=true, bins=100, alpha=0.5, legend=false)
plot!(x -> 1/(π*sqrt(x*(1-x))), 0.003, 0.997, lw=3, color="red") pic.twitter.com/eZpDQDdN3A

タグ： Julia言語

posted at 19:24:09

#Julia言語

* 最後にトータルでの勝ち負けが変化する時刻は、ギャンブルを始めた直後またはギャンブルが終わる直前になる確率が高くなる。

タグ： Julia言語

posted at 19:20:55

#Julia言語そのとき、それらの正規化された時刻は0から1のあいだに分布するのですが、どちらも逆正弦分布に従います。

* トータルで最も勝っていた時刻はギャンブルを始めた直後もしくはギャンブルをやめた時刻の近くになる確率が高くなる。

続く

タグ： Julia言語

posted at 19:20:03

#Julia言語それ以外にも少なくとも2種類の逆正弦法則があります。

* 公平なギャンブルにおいてトータルで最も勝っていた時刻

* 「トータルで勝ちから負け」もしくは「トータルで負けから勝ち」に最後に変化した時刻

どちらも最小最大時刻がそれぞれ0,1になるように正規化しておきます。

タグ： Julia言語

posted at 19:18:07

#Julia言語 twitter.com/genkuroki/stat...
で逆正弦法則を5行のコードで数値的に確認できることを説明しました。

そこで扱った逆正弦法則は「公平なギャンブルにおいてトータルで得した状態になっている時間の割合が逆正弦分布に従う」というタイプの逆正弦法則です。続く

タグ： Julia言語

posted at 19:14:39

ʇɥƃıluooɯ ǝıʇɐs @tsatie

@genkuroki なるほどというか開発途上でめっちゃ都合上等主義で期待バンバンなんで当然だとは思うのですが、情報としては「Diff...の4.0」はまだ実用にはヤバいことが判明したので「目的があって使いたい人」はアップデートやPkg.addはしないのが吉という情報を端的に流して欲しいと。そのあとで様々な経験を語る

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posted at 19:00:12

いしたー @sonicair

住んでるところは八王子なので都心いけます

すきな言語 Python, Julia
使える言語 D, C, Java

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posted at 19:00:08

#Julia言語いやあ、すごいなあ。

DifferentialEquationsパッケージは超巨大パッケージで他のパッケージもこれに依存していたりするのですが、それでも、えいやっとbreaking changesをやってしまうんですね。

Julia本体のバージョンアップも楽しみ。

相当に「すごいこと」が起こりまくるはず。

タグ： Julia言語

posted at 18:55:43

#Julia言語というわけで、我々しろうと衆はしばらくのあいだ

Pkg.pin("DifferentialEquations",v"3.1.0")

としておいた方が無難なようです。そして頃合いを見て、

Pkg.free("DifferentialEquations")

する。

タグ： Julia言語

posted at 18:54:00

#Julia言語

DifferentialEquations.jl v3.1.0での実行結果
nbviewer.jupyter.org/gist/genkuroki...

v4.0.0での実行結果
nbviewer.jupyter.org/gist/genkuroki...

後者はかなり変です。仮に私のソース変更が足りないことが原因であっても、色々面倒なので一つ前のバージョンに戻るのが正解な感じ。

タグ： Julia言語

posted at 18:47:23

#Julia言語続き～、色々面倒なので、

juliadiffeq.org/2018/01/24/Par...

に書いてある通り、

Pkg.pin("DifferentialEquations",v"3.1.0")

を実行して、一つ前のバージョンを使うようにしたいと思います。

4.0.0での実行結果は
nbviewer.jupyter.org/gist/genkuroki...
で公開してあります。

タグ： Julia言語

posted at 18:44:20

#Julia言語～、まともに微分方程式が解けている場合もあるが、大部分の場合にうまく解けていない。何が悪いのかよくわからない。全部ダメならハミルトニアン以外にも変更が必要なことを意味しますが、うまく解けている場合もある。

この辺、たぶん、私の調査が足りないことが原因でしょうが～続く

タグ： Julia言語

posted at 18:42:35

#Julia言語 DIfferentialEquations.jl 4.0.0 を試したくて、こんなことをしてみたわけですが、よくわからない。

nbviewer.jupyter.org/gist/genkuroki...

を4.0.0で実行してみました。ハミルトニアンを H(p,q) から H(p,q,params=Float64[])に変更するだけで動いた。しかし、～続く

タグ： Julia言語

posted at 18:41:05

#Julia言語最近、DifferentialEquationsパッケージは破壊的変更を実行したので、DifferentialEquationsパッケージの一部分に依存している他のパッケージ側も変更を強いられるという状況になっているということでいいのかな。

他のパッケージの変更が終わるまで待たないといけない。

タグ： Julia言語

posted at 17:49:28

こばし　かずひで @_kobashi

Julia言語を使って常微分方程式を解く（捕食者－非捕食者モデル） - システムとモデリング otepipi.hatenablog.com/entry/2018/02/...

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posted at 17:46:24

Otepipi @Otepipipi

はてなブログに投稿しました #はてなブログ, #Julia言語, #モデリング
Julia言語を使って常微分方程式を解く（捕食者－非捕食者モデル） - システムとモデリング
otepipi.hatenablog.com/entry/2018/02/...

タグ： Julia言語はてなブログモデリング

posted at 17:14:49

#Julia言語最新の DifferentialEquations.jl を使いたい人は色々注意が必要なようです。できるだけ最初にPkg.add("DifferentialEquations")して、ダウングレードに気をつける。

以上の記録を誰でも

nbviewer.jupyter.org/gist/genkuroki...

で閲覧できるようにしておきました。

タグ： Julia言語

posted at 17:11:11

#Julia言語原因はよくわからないのですが、「古いパッケージを入れるとダウングレードが行われる」という現象は以前からよく経験していたことなので、結局、Pkg.rm("Mamba") しました。

タグ： Julia言語

posted at 17:08:18

#Julia言語そこでエラーメッセージの指示に従って、

ENV["JULIA_PKGRESOLVE_ACCURACY"] = "10"
Pkg.add("Mamba")

を入れると、途中でDifferentialEquationsパッケージ関係のダウングレードが大量に実行されて、しかもImagemagickやVideoIOのビルドでエラーが出る。

タグ： Julia言語

posted at 17:04:44

#Julia言語 Julia v0.6.2 に入れていたパッケージを全削除して入れ直しているのですが、

Pkg.add("DifferentialEquations")

した後に

Pkg.add("Mamba")

すると

resolve is unable to satisfy package requirements.

とエラーが出てMambaを入れることができませんね。続く

タグ： Julia言語

posted at 17:02:23

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posted at xx:xx:xx

Kaaz1969 @KaazTech

恒例のjulia言語の解説

#機械学習名古屋

タグ：機械学習名古屋

posted at 15:13:32

kiyo＠超穏健派 @hrs1985

講師の人「Julialangで検索してくださいね。Juliaで止めると業務中にあまり見てはいけないページが上位に来てしまうので」
ぼく「ｹﾞﾗｹﾞﾗ」

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posted at 15:09:41

Yuki Nagai @cometscome_phys

三つくらいの異なる研究テーマがぽしゃりかけているので、趣味のJuliaプログラミングが捗ってしまう

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posted at 14:56:44

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posted at xx:xx:xx

#Julia言語 1:NとかN-1:-1:2は等差数列を意味していて、配列ではないのですが、配列を作るときのセミコロンや空白はこれらにもうまく作用してくれます。たとえば、[1:3 2:4] は

1 2
2 3
3 4

という行列になる。数列は縦に並んでいるとイメージします。

タグ： Julia言語

posted at 14:20:52

#Julia言語では「普通の1次元配列＝ベクトルの成分は縦方向に並んでいる」「コンマで区切ると縦ベクトル＝普通の1次元配列ができる」「セミコロンは(数やベクトルや行列を)縦に並べるためのおまじない」「空白は横に並べるためのおまじない」のように思っておけばそう間違いはないです。

タグ： Julia言語

posted at 14:18:16

#Julia言語私は動画を作るときに、t=1からNまでを1コマずつ作って、さらにt=Nから1まで逆回しで1コマずつ作って、ループするGIF動画をよく作るのですが、そのために

frames=[1:N;N-1:-1:2]

のようなことをよくします。これは1,2,...,N,N-1,...,3,2が縦に並んだベクトル(すなわち通常の1次元配列)。

タグ： Julia言語

posted at 14:15:42

#Julia言語

[[1,2];[3,4]]

だと縦ベクトル[1,2]と縦ベクトル[3,4]を;で縦に並べることになって、4成分の縦ベクトル(普通の長さ4の1次元配列)になります。

[[1,2] [3,4]]

は2つの縦ベクトルを空白で横に並べてできる2×2行列。

タグ： Julia言語

posted at 14:12:27

#Julia言語縦ベクトル

1
2

と縦ベクトル

3
4

を横に並べて2×2行列を作りたいときには

A = [[1,2] [3,4]]

のような書き方ができます。空白は横に並べること。

a = [1,2]
b = [3,4]
A = [a b]

としても同じ。

vcatとhcatのドキュメントはあんまり詳しくない。
docs.julialang.org/en/v0.6.1/stdl...

タグ： Julia言語

posted at 14:09:20

@adhara_mathphys 自分で陽的ルンゲ=クッタ法を実装した時は外部ファイルから読み込むようにしたんですけど、気になってライブラリを見にいったら直書きだったんで、驚きました。直接書くメリットもあるので、こちらの方がいいのかも知れませんが、ちょっとデバックする気がおきないですよね。
twitter.com/ceptree/status...

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posted at 13:50:43

Juliaのコーディング規約とは

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posted at 13:45:25

かずねこ @Sho_Kazune

Julia言語ってCとマセマティカの中間って感じがする気がする

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posted at 13:32:40

あとから何かを追加すればどんなプログラミング言語でもできるのは当たり前のことではあるのですが、ユーザー側がそういう面倒なことをしなくてもできるようになっていることが大事。

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posted at 13:31:18

最初から何の苦労もせずに #Julia言語ソースコードを簡単に読みに行ける仕組みになっているおかげで、数学の勉強にもなってしまっています。

Jupyter notebook から @ which gcd(12,15) (@の後の空白は除く)とすると、gcdのソースコードへのリンクが表示されます。クリックすればすぐに読める。

タグ： Julia言語

posted at 13:28:04

数学好きな私的には #Julia言語の周囲の様子には好印象しかない。

タグ： Julia言語

posted at 13:25:03

「双対空間に住む横ベクトル」のようなものが #Julia言語に出て来ることから、開発者達および開発者立の周囲の人達が普通に抽象線形代数をマスターしている人達であることもわかります。

プログラミング言語は純粋な技術ではなく、文化の側面も持っているので、こういう点に注目することは大事。

タグ： Julia言語

posted at 13:24:18

この辺の #Julia言語のスタイルはmatlabに近いです。

双対空間に住む横ベクトルという型がある点はちょっと違う。

a = [1,2,3] (縦ベクトル)に対する a.' は双対空間に住む横ベクトルという扱いになり、a.'a は内積の数になります(1×1行列にならない)。

タグ： Julia言語

posted at 13:22:19

@adhara_mathphys わかりきってるのに間違えるやつですね。笑
それはそうとこの実装みると面白いと思いますよ。シンプレクティック法ではないですが、陽的ルンゲ＝クッタの実装みたらお世辞にも綺麗とは言えないコードでした。

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posted at 13:17:06

#Julia言語まとめ

* 空白は横に並べることを意味する(行列の書き方の通常の習慣と同じ)。
* セミコロンは改行と同じ意味で縦方向の移動。
* コンマは縦ベクトルを作るときの書き方。

線形代数の教科書とは「ベクトルとは縦ベクトルのことである」というスタイルにした方が相性がよい。

タグ： Julia言語

posted at 13:16:54

#Julia言語文字数の都合でよくない説明があった。

横の並びを区切るとは、行列の異なる行(＝横の並び)を区切ることを意味しているつもりでした。

例： A = [1 2; 3 4] は

1 2
3 4

という行列になる。

A = [
1 2
3 4
]

としても同じ。

タグ： Julia言語

posted at 13:14:18

陽解法の間違いです。

タグ：

posted at 13:14:06

@ceptree がっつり間違えましたね〜
陽解法と言うつもりでした〜

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posted at 13:13:26

非公開

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posted at xx:xx:xx

あと、#Julia言語で3×3の2次元配列=行列 A の成分はメモリー上では

A[1,1], A[2,1], A[3,1], A[1,2], A[2,2], A[3,2]

の順序に並んでいます。縦ベクトルを主体とする線形代数とは計算効率的に(キャッシュ的に)相性がよいです。

タグ： Julia言語

posted at 13:11:37

行列は横ベクトルを並べたものである、というスタイルは普通の線形代数の教科書とは相性が悪いと思う。

普通のスタイルは「行列は a_{ij} という成分 (i,jは1から始まる)を持つ」。

#Julia言語のスタイル: 二次元配列 a がそのまま行列扱いになり、a[i,j]のi,jは1から始まる。

タグ： Julia言語

posted at 13:08:47

@adhara_mathphys 陽解法ですかね

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posted at 13:06:53

@genkuroki (型を気にせずに)[1,2,3]のコマンドが通ったので、[1,2,3;4,5,6]は二次元配列になるだろうという予想が外れたので少し驚きました。

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posted at 13:06:12

線形写像 T のベクトル v への作用を Tv と書き、線形写像 T の行列表現 A のベクトル x への作用を Ax と書きたければ、x は縦ベクトルでなければいけない。

#Julia言語のスタイル: [1, 2, 3]とコンマで区切って作った配列は縦ベクトル扱いになる。

これも数学と相性がよいです。

タグ： Julia言語

posted at 13:05:51

Julia DifferentialEquations.jl のシンプレクティック法は全て陰解法ですね。

docs.juliadiffeq.org/latest/solvers... pic.twitter.com/esj6CETGC3

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posted at 13:04:23

数学の通常のスタイル: 行列の成分は横方向にはスペースで区切り、横の並びは改行で区切る。

#Julia言語のスタイル: 行列の成分は横方向にはスペースで区切り、横の並びは改行またはセミコロンで区切る。

プログラミング言語の世界でセミコロンは改行と同じ意味になることが多いので自然。

タグ： Julia言語

posted at 13:03:24

@genkuroki おそらくMATLAB由来でしょうね

jp.mathworks.com/help/matlab/le...

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posted at 13:01:55

twitter.com/Dsuke_KATO/sta...

#Julia言語数学の教科書などでは行列を書くときにはコンマを使わずにスペースで区切って書く習慣になっています。Juliaはそれと同じです。

たぶん、Juliaは数学を理解している人にとって違和感がないスタイルを採用しているのだと思います。

タグ： Julia言語

posted at 13:00:09

最も簡単なシンプレクティック陰解法はシンプレクティック・オイラー法でしょう。 pic.twitter.com/ebnSwHsdHc

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posted at 12:58:31

シンプレクティック陰解法ならば変数分離は気にしなくて良いので実装はできると思います。

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posted at 12:54:04

精度保証付き数値計算のライブラリはまだJuliaには実装されていない模様。誰かやっちくり〜（使うかは不明）

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posted at 12:52:19

いや、ハミルトン方程式にはできた気がしますね。
その後、シンプレクティック陽解法で必要な、dp/dt=qの関数、dq/dt=pの関数のような変数分離ができていなかったことが障害だった気がします。

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posted at 12:47:24

[1,2,3]はVectorで[1 2 3]はMatrixになるの・・・すまないが、キモいぞ。

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posted at 12:47:08

ふぁ！？juliaさん[1,2,3]と[1 2 3]って意味が違うの？？？(´・ω・｀)

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posted at 12:45:02

拘束条件つきのハミルトン系ということです。
剛体に対するラグランジアンからオイラー・ラグランジュ方程式は書けますが、これをハミルトン方程式に変えるのは厄介です。
ぜひ教えていただきたいところです。

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posted at 12:40:48

@SING_A_WELL ww

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posted at 12:38:29

シンプレクティックやりてえ、Juliaはじめたのもタイムラインでシンプレクティック積分が流れてたのがきっかけだったりする

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posted at 12:33:34

juliaさん、numpyよりもmatlabにシンタックスが近いんだね。

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posted at 12:33:10

そもそも剛体でやっていないのでその時点で真の振り子とは違いますが、それは触れないでくださいすみませんですね。
剛体でシンプレクティック法を入れるのは難儀だと思います。

タグ：

posted at 12:32:22

シンプレクティック法のおかげでエネルギーの変化が抑えられている、というのは本当です。
twitter.com/adhara_mathphy...

タグ：

posted at 12:27:50

真の解との誤差の拡大の仕方の目安にはなると考えています。
真の解とのズレはもっと大きいと思いますが拡大の仕方は近いのではないでしょうか。（1step後の誤差が大きいので上に平行移動した感じになると思われます）

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posted at 12:25:27

@ceptree やはりC++でしたか・・・Juliaに期待して待ちますww

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posted at 12:25:01

精度保証ではないので誤差を見積もったことにはなりませんが、初期状態が近いものについての差（確かこれは先っぽの位置についてだと思います）の拡大はこんな具合でした。

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posted at 12:21:07

私は以前、象の方（tkmtsoさん）とおそらく同じ方法（6次のシンプレクティック陽解法、とても硬いバネで棒を表す、200桁くらいの多倍長精度計算）で三重振り子をときました。

twitter.com/adhara_mathphy...

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posted at 12:19:14

Dolphin7473 @Dolphin7473

ごまふあざらし(GomahuAzaras @MathSorcerer

こんな記事がホットエントリに上がってくるのがすごい/いま組んでるプログラムも全部倍精度で定義すればええやろ！って乱暴にもほどがある実装してるので，この辺きちんとやらないと / “二重振り子の精度保証付き数値計算 - kashiの…” htn.to/P1cgzF

タグ：

posted at 12:17:03

なるほどー　verifiedby.me/adiary/0113

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posted at 12:06:08

ずっと伸びとるなーと思ってたら「二重振り子の精度保証付き数値計算 - kashiの日記」がホッテントリに入ってました

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posted at 12:05:15

このメンションがきっかけ twitter.com/math153arcligh...

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posted at 12:02:33

#数楽 sinのべきの定積分を使うウォリス積の公式の証明は、一般的に成立している

lim_{n→∞} B(s,n+b)/B(s,n+a) = 1

の s=1/2, a=1, b=1/2 に関する特別な場合に過ぎないという注意をしておく程度のサービスはあってしかるべきだと思っています。こういうことまで考え出すと色々大変になる。

タグ：数楽

posted at 12:00:57

AXION @AXION_CAVOK

初期値で10^-12の摂動を与えているが、このルンゲ・クッタ法が6桁の精度なので、最初からルンゲ・クッタ法の誤差の方が支配的ではないのかという記事。
初期値鋭敏性と計算方式そのものの誤差拡大の切り分けをきっちりしないと、何を計算しているか分からなくなるという話。
verifiedby.me/adiary/0113

タグ：

posted at 11:53:25

#数楽大学新入生レベルの数学の証明(テイラーの定理や上で例に出したウォリス積の公式の証明などなど)の多くが、自分で再構成していない人たちによるコピペの拡散になっているのはとても嘆かわしいことだと思います。数学の教科書を書く人たちが伝統的なやり方のコピペに満足するのはとてもまずい。

タグ：数楽

posted at 11:52:54

#数楽 sinのべきの定積分を扱うというよく見るスタイルのコピペが大量に出回っていますが、本当はそういうよく見るコピペを拡散するだけだとまずくて、より現代的なスタイルで、せめてベータ函数やガンマ函数に触れるスタイルで、きちんと説明しておくことも大事なことだと思います。

タグ：数楽

posted at 11:51:10

#数楽

(5) ゆえに次が成立する:

Π_{k=1}^∞[((2k)(2k))/((2k-1)(2k+1))] = π/2.

(6) 上の(3)の公式をsinのべきの積分で書き直せば、よく見るウォリス積の公式の証明の背景がわかる。

タグ：数楽

posted at 11:49:10

#数楽

(3) ベータ函数をガンマ函数で表す公式とΓ(1/2)=√π などより

B(1/2,n+1)=(1/2)(3 5 … (2n+1))/(2 4…(2n)),
B(1/2,n+1/2)=(1/π)(2 4 … (2n))/(1 3 … (2n-1)).

(4) これらの比は(2)よりn→∞で1に収束するので

(2/π)(2 4 … (2n))^2/((1 3 … (2n-1))(3 5 … (2n+1))) → 1.

タグ：数楽

posted at 11:47:06

#数楽

(2) n^s B(s,n+1) = ∫_0^1 (nx)^s (1-x)^n dx/x で x=y/n とおき、n→∞とすると

n^s B(s,n+1) = ∫_0^n y^{s-1} (1-y/n)^n dy → ∫_0^∞ y^{s-1} e^{-y} dy = Γ(s).

nは整数でなくてもよい。(左辺のベータ函数をガンマ函数で表すと右辺のガンマ函数の無限積表示が得られる。)

タグ：数楽

posted at 11:41:50

#数楽 ∫_0^{π/2} sin^n θ dθ のnが偶数と奇数の場合の比較からウォリス積の公式を出す話は、ベータ函数の極限でガンマ函数が得られることの特別な場合とみなせます。以下はその計算の概略。

(1) ∫_0^{π/2} sin^a θ dθ = (1/2)B(1/2,(a+1)/2) なのでベータ函数 B(p,q) を扱えば十分。

続く

タグ：数楽

posted at 11:30:49

春 @sunbluesome

numpyからアドレス渡してポインタでうけると分担できて良い。
けど、そんな事するならJuliaでいいじゃん？てのが最近。

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posted at 11:09:01

GR、さすが中性子散乱の研究所で作られてるだけあって二次元スピン配列の三次元画像を作るdrawspins関数がある pic.twitter.com/fYgVwZxKQX

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posted at 10:51:38

残り58件のツイートを見る

Wallis積の証明は∫_0^{π/2} sin^n x dx（これもWallis積分と呼ばれる）を求めて、nが偶数と奇数の場合から挟み込めばすぐ出る。前掲Dickinsonを参照。非自明な極限の例として微分の定義に必要な lim[x→0]sin x/x=1, lim[n→∞](1+1/n)^n=eの次に習うWallis積は汎用性が高く、微積分の華の一つ（終

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posted at 10:33:25

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posted at xx:xx:xx

∫_0^{π/2} sin^n x dx の計算のような素朴な事柄はガチ本物の数学の世界の入り口の一つであり、高校の数学の教科書を見るとそういう計算が大量に載っている。しかし、その計算のどこがどう面白いかに関する説明は皆無。

数学で最も重要なのは「何がどう面白いか」の部分だと思う。

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posted at 10:25:47

ここまで教科書に載せることに成功したなら、ウォリスの公式の証明に使えるとか、ウォリスの公式はランダムウォークの逆正弦法則の証明に使えるとか、∫_0^{π/2} sin^n x dx の公式はベータ函数の特殊値になっているとか、……についてもついでに紹介してしまえばいいのに！

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posted at 10:23:46

twitter.com/Paul_Painleve/...
に補足。以下のリンク先で実教出版の高校数学IIIの教科書でどのように

∫_0^{π/2} sin^n x dx

を扱っているかの写真があります。

twitter.com/genkuroki/stat...

教科書の著者達の意図は明らか。意図をくんだ教え方がされると素晴らしいと思う。

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posted at 10:21:45

Arithmetica Infinitorumの頃は「π」もまだ使われてなかったし、微積分もNewton以前なので読みにくい。Wallisの原典の解読は
GA.Dickinson, Wallis's Product for π/2 参照
www.jstor.org/stable/3607585
Wallisの本自体の英訳が出版されている
www.springer.com/gp/book/978038...

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posted at 10:18:28

Wallis積は「偶数全部の積の二乗÷奇数全部の積の二乗＝半円周の長さ」
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A6...
と覚えやすい。スターリングの公式、Γ(1/2)、ζ'(0)もWallis積がキーになって計算できる基本的な極限。原典は
John Wallis, Arithmetica Infinitorum 1656
archive.org/stream/Arithme...

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posted at 10:14:21

#Julia言語ニュース

twitter.com/search?f=tweet...

ValidatedNumerics.jlの作者のJuliaおじさんが大人気。

github.com/JuliaIntervals...

タグ： Julia言語

posted at 10:12:09

里旬 @wisteria0410ss

@mso_ut Juliaはいいぞ

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posted at 10:10:20

非公開

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posted at xx:xx:xx

Julianになれるように頑張る。そしていつの日かJuliaおじさんに。

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posted at 10:00:38

Hakky(´･∀･) @St_Hakky

はてなブログに投稿しました #はてなブログ
Julia入門 - Strings - St_Hakky’s blog
st-hakky.hatenablog.com/entry/2018/02/...

タグ：はてなブログ

posted at 10:00:23

高校数学の教科書は、数研（大島利雄ほかツイッタラー）・東京書籍（俣野博・河野俊丈ほか）のシェアが高く、あと実教（岡本和夫ほか）を含めた3社で寡占だったはず。難度の違う数種類が出てるが、各社最高難度の高校の教科書の内容を理解しておれば、大学1年の微積分の期末試験はもっとできたはずだ

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posted at 09:45:04

バーゼル問題は2003年日本女子大の自己推薦入試で出たのも有名
examist.jp/legendexam/200...
バーゼル問題でウォリス使う証明は定番だが、sin^n xの定積分は、数研、東書の数3教科書の発展などの項目に紹介されている（ウォリスまではやってない）。高校の教科書の「発展」項目まで理解していると大学で楽

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posted at 09:38:12

こうきょ @hiding_koukyo

@readonly_true もう少しかかりそうなので出来たら送りまっせ

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posted at 09:32:44

@ktrst GRというフレームワークを使うと、全面書き直しをくりかえしても非常に速いです。

JuliaではPlotsパッケージ経由でGRをバックエンドとして便利に利用できます。PythonでもGRを利用できるようですが、まだGRのPythonでの使い方の情報が広まっていない。未知数。

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posted at 09:31:29

goropikari @goropikari_

夜中に出したプルリクがあっさりマージされた。バグ修正のつもりで出したが若干の機能追加と認められたっぽい。
Julian としての経験値が少し上がった。

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posted at 09:26:53

#Julia言語小ネタ

3次元ランダムウォークのプロットもこんな感じで簡単

using Plots; pyplot()
w = cumsum(randn(10000,3))
plot(w[:,1], w[:,2], w[:,3], legend=false, size=(500,500), lw=0.5) pic.twitter.com/nImrJVwfue

タグ： Julia言語

posted at 09:25:07

#Julia言語小ネタ

2次元ランダムウォークのプロットもこんな感じで簡単

using Plots
w = cumsum(randn(10000,2))
plot(w[:,1], w[:,2], legend=false, size=(400,400), lw=0.5) pic.twitter.com/cF8I6nCkk1

タグ： Julia言語

posted at 09:23:16

@SING_A_WELL 記事中にもありますがライブラリの場所はこちらです
verifiedby.me/kv/

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posted at 08:58:07

@ceptree PDEも中尾理論周辺をやっているようです。他にもブレイクスルーがあれば良いのですが。Python、Juliaあたりで正しさを確認するまでもなく認められているライブラリが欲しいところです。そうでないとコードを全て把握していることが求められてしまうので...
ところでどんなライブラリですか？

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posted at 08:39:02

@SING_A_WELL PDEに関しては今後のブレイクスルー次第ということですかね。昨日精度保証の研究者に伺ったところによると、ODEは現在は多様な手法のライブラリが混在しているような状況だと仰ってました。そこからデファクトスタンダードが生まれてくれると使いやすいんですがね。

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posted at 08:33:34

@ceptree 中尾理論を用いたPDEの解の存在証明の計算を見たことがあるのですが、特殊なことをやっているからか、非常に時間がかかっていました。n^3オーダーの計算量が問題らしいです。ODEは計算結果が出せていましたが、実用に耐えうるのかは分かりません。それは工学の人の方が詳しそうです。

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posted at 08:28:14

@SING_A_WELL なるほど、PDEだと計算量的にも、数値計算の正当性を示すというよりは、数値的に解の存在を示すことが目的ということですね。一方でODEの場合は、前者の使い方を現実的に出来る程度には高速化しているということですかね。

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posted at 08:21:09

数学的にはODEはやり尽くされていて、これからはPDEになるという話を聞いたことがあるが、実際今どうなっているのか定かではない。
実装力雑魚勢としては、触れたくないものの一つではある。優秀で正しいと認められているライブラリが存在していればあるいは・・・

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posted at 08:17:11

@ceptree 数学科内の話にはなりますが、精度保証付き数値計算は数学の証明のためのものに感じます。PDEだと、中尾理論とそれに準じる結果しか知りませんが、その計算量は、本当に膨大です。実装面も大変ですし、あと２〜３回ブレイクスルーがあれば使えるようになるかもという話を聞いたことがあります。

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posted at 08:09:35

確かhistの更新はめんどくさかったはず

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posted at 08:06:36

@genkuroki 先にglobalで宣言しておいたfig, axesを使って直前のコマの長方形と線を消してhist&plotメソッドで毎回書き直す方針のままOO方式で書き換えてみましたが70秒から60秒になっただけでした。

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posted at 08:05:25

himaginary @himaginary_

潜在GDPのリアルタイム推計：FRBは本当にブレーキを踏むべきなのか？ d.hatena.ne.jp/himaginary/201...

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posted at 07:55:51

@genkuroki ただ、ヒストグラムの更新が爆速になってもせいぜい2、30秒程度の短縮にしかならないと思うのでGRには到底及びそうもないですね…

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posted at 07:53:47

@genkuroki Artistをピンポイントで更新していくにはplt.***で済ませる方式ではきついのでオブジェクト指向方式にしたほうがいいです。ax.plotやhistなどが作ったArtistオブジェクトはAxesが持つ”箱”に入っています。cf. qiita.com/skotaro/items/...

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posted at 07:51:38

@genkuroki アニメーションは全然使わないのであまり詳しくはないのですが、おそらくFuncAnimationに渡す関数の中では各コマで更新したい部分をピンポイントでいじるのがコツなんだと思います。sinカーブを伸ばす例だとset_dataでLine2Dの点を一つずつ増やしていくアレです。

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posted at 07:45:15

@genkuroki matplotlibでヒストグラムのアニメーション作成時間を短くするには、histメソッドを使わずにPatchesと呼ばれる長方形を直接描画するかなり面倒な方法を使うようです。 matplotlib.org/gallery/animat...

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posted at 07:36:12

@genkuroki 気になって色々試してみたんですが意外とsubplotは大したことなくてhistに200msかかってます。確かに128本の長方形をAxesに追加するための細々した設定を含めて毎回やってれば遅くなりそうです。

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posted at 07:31:12

Dr. Chris Rackauckas @ChrisRackauckas

@ktrst おお！詳しい人が！教えて下さってどうもありがとうございます。ヒントが得られたので試行錯誤してみます。

subplotで軸は固定したまま中身だけを書き直す手段があれば速くなるはずと。「中身」は私の場合はヒストグラムとpcolormeshであることが多いです。

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posted at 07:15:34

非公開

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posted at xx:xx:xx

™ (blueskyに同アカウント名で避 @tmaehara

I accepted an applied mathematics instructorship @MIT. I will continue to work on methods for efficiently solving differential equations and estimating dynamical models from biological/pharmaceutical data in #julialang. Thank you #julialang community for your support.

タグ： julialang

posted at 06:22:05

™ (blueskyに同アカウント名で避 @tmaehara

精度保証のほうが計算速度が早くなるタイプの問題もあります。計算幾何の問題で適当にやると幾何的に破綻してしまう問題について、ふつうは厳密計算法と呼ばれる任意桁演算（結構重い）をするところを精度保証（任意桁よりは軽い）で済ますテクニックがあります www.eng.nus.edu.sg/civil/REC2010/... twitter.com/jaialkdanel/st...

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posted at 06:05:47

™ (blueskyに同アカウント名で避 @tmaehara

精度保証付き数値計算の最も有名な利用例は「ローレンツ方程式はストレンジアトラクタを解にもつか」というSmalの14th問題のTuckerによる解決 mathworld.wolfram.com/news/2002-02-1... だと思います。「21世紀の数学の難問」が「数値計算を使う計算機支援証明」で解決されるのは良いストーリーですね。

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posted at 05:52:05

数値的存在証明です。ある方程式が解をもつかの判定を数値計算を使いつつ「数学的に厳密に」行なえます。 twitter.com/jaialkdanel/st...

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posted at 05:41:38

凄いね、まだ伸びてる。 twitter.com/ceptree/status...

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posted at 02:16:45

@genkuroki おそらくPyPlot_plot_Assetの中でsubplotを使って毎回Axesオブジェクトを新規作成してるのがボトルネックです。matplotlib 2.2で修正されるかもしれませんがAxes作成には数100ms無駄に時間がかかります。figと同時にaxを作ってフレーム毎の内容の更新もclfを使わなければだいぶマシになるかと。

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posted at 02:04:40

JuliaのPkg.addってのはJulia専用のcondaでいろいろやってるってことかな？

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posted at 01:15:25

アニメーションはよく作るので短縮されるのはかなり嬉しいんだけど、なぜだ...

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posted at 01:04:30

ちなみにpyenv使ってるからなのか、MacOSXだからなのか、このやり方でできなかった。

gr-framework.org/tutorials/matp...

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posted at 00:52:40

でもアニメーションやインタラクティブプロットにいいらしい

Starting with version 0.6.0 of the GR framework Matplotlib’s capabilities can be greatly expanded, especially for dynamic or interactive plots.

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posted at 00:48:09

あ〜る菊池誠(反緊縮)公式 @kikumaco

matplotlibでもgr使えそうだけど、通常のmatplobliのバックエンドを変えるやり方とは違ってめんどそう。

gr-framework.org/tutorials/matp...
gr-framework.org/tutorials/mpl_...

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posted at 00:47:04

「ニセ科学」と呼ばれているものはどれもあからさまに非科学なので、科学と非科学の境界問題とかそういう微妙な話を持ち出す必要はありません。そういうのは科学哲学の仕事。ニセ科学はもっとずっと簡単な話。むしろ、「なぜそんなあからさまな非科学が広まるのか」という問題だと思ってもらえば

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posted at 00:44:58

春 @sunbluesome

確かMakieとか言う爆速プロットパッケージがあったような…

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posted at 00:32:43

@genkuroki matplotlibのbackendをgrにできるんですかね。見てみます。

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posted at 00:32:27

twitter.com/ceptree/status...

Plotsが速いのではなく、GRバックエンドが速い。
Python側でもGRバックエンドを使えれば速いはず。

gr-framework.org/python.html#

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posted at 00:30:09

Juliaでプロットは、

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posted at 00:29:34

若葉めるる@微分コンサル @wkbme

@genkuroki GRコマンドは知りませんでした。ありがとうございます！！

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posted at 00:25:08

Plotsの方がはやいんだ twitter.com/genkuroki/stat...

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posted at 00:18:07

#Julia言語でPlotsパッケージ+GRバックエンドを使えばmatplotlib.animationよりもずっと高速にGIF動画を作れます。

nbviewer.jupyter.org/gist/genkuroki...

の1.7.5節を見て下さい。

matplotlib.animationで70秒以上かかった動画作成が10秒で終わっています！

タグ： Julia言語

posted at 00:16:18

#Julia言語最近の動画の例は

twitter.com/genkuroki/stat...

ソースコードもそちらのスレッドで公開済み。

タグ： Julia言語

posted at 00:12:04