黒木玄 Gen Kuroki
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2016年06月13日(月)
@genkuroki #数楽 この件に定期的に触れているのは、大学の数学の先生達の中には無用に「循環論法」という説を拡散して誤解を広めている人達がいるから。
今回は具体的な名前は出さないですが、ツイッターの過去ログを見れば名前を出してそれはまずいんじゃないかと言っています。
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posted at 22:39:23
@genkuroki #数楽 高校数学っぽく、円弧の長さ(積分で定義できる)で角度を定義して三角函数を導入するスタイルでは、逆函数の微分法によって三角函数の導函数は定義から簡単に計算できる。少なくとも、教える側にとっては当然の常識でなければ困ると思う。
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posted at 22:36:37
@genkuroki #数楽 あとググると、三角函数の「循環論法に陥らない導入法」の説明が、cosとsinを天下り的にべき級数で定義する流儀が非常に目立つような気がする。高校数学っぽく、円弧の長さで角度を定義して三角函数を定義しても全然困らないことも知っておかないとまずいです。
タグ： 数楽
posted at 22:31:10
@genkuroki @PhlebotomeH @syoiti (x,y)=(√(1-t^2),t)の速さの積分とか、x^2+y^2=1とy=txの交点の片方をtで表して速さの積分を計算するという問題はちょうど高校数学IIIレベルの問題であり、大学レベルの数学ではないです。
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posted at 22:20:59
渋谷凛の『横歩取り斎藤流』考察 - 神崎蘭子さんの将棋グリモワール yaminomabot.hatenadiary.jp/entry/2016/06/... こういうのこそ、将棋連盟がやるべきだと思うんだけどなあ。将棋雑誌買えは、小学生にはしんどいし、大人にもしんどいよ。
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posted at 21:40:49
非公開
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posted at xx:xx:xx
つまりはライターの個人的感想に過ぎないものが広まったってことだな。こんなものマナーとして広められては大迷惑。 ＞ 「了解しました」より「承知しました」が適切とされる理由と、その普及過程について | 株式会社LIG liginc.co.jp/246919
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posted at 20:35:47
@genkuroki #数楽 単に試験を通過するためだけに数学の勉強をしようとしても「これ、自分の人生に何の役に立つの？」となってモチベーションは下がりがちだと思います。そして、文系学部に進んで、統計学が必要になったり、経済学を理解する必要が出て来たときに後悔することになる。
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posted at 20:34:11
@genkuroki #数楽 数学の筆記試験が必要な大学を受験するということは、数学の試験を通過できるだけではなく、道具として数学をある程度使いこなせないと困る場所に行くということです。最初からそこを目標にして勉強した方が本物の知識が身につくので効率が良いと思います。
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posted at 20:28:34
@genkuroki #数楽 個人的な希望としては、高校生くらいになったら「問題の解答を書く」というスタイルはきちんとゴミ箱に捨てて、自分の考え方をきちんとわかりやすく説明しようと努力する姿勢を身に付けて欲しい。数学を使うときには「問題の解答を書く」というスタイルにならないです。
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posted at 20:25:33
@genkuroki #数楽 そうそう、ロピタルの定理を使うと減点されるとかなんとかは全てくだらない話。以上で説明したような事柄を理解していることが大事。そして大学入試なんかでは自分がきちんと理解していることがわかるように書くことが大事。理解していてかつ説明できることが大事。
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posted at 20:20:33
確かに，ラジアンが何かは幾何学的に明快なのに何故わざわざ積分を持ち出すのかというところか。sin,cosを逆関数として扱う事でその微分を捉えたいからか。角度を持ち込まない積分と微分で角度の関数が角度で微分できる面白さかな。 twitter.com/genkuroki/stat...
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posted at 20:19:16
@genkuroki #数楽 第1種楕円積分は∫0^z dt/√((1-t^2)(1-k^2t^2))という形なので、k^2=0,1の特別な場合として、arc sin と arc tanh を含んでいます。
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posted at 20:06:19
@genkuroki その循環論法式で微分を計算している教科書しか見た事がありません。これで導入してから (sin x)/xの話もすればいいのに何故ですかね? 歴史的な経緯が有るのかな?
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posted at 20:04:35
@genkuroki #数楽 以上のやり方は楕円函数論を含む代数曲線上の微分形式の積分や周期などの極めて重要で基本的な数学的アイデアに直接的に繋がっています。
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posted at 19:52:20
@genkuroki #数楽 積分で角度を表わしておいてその逆函数で三角函数を定義することは、ラジアンの意味での角度で三角函数を定義する高校数学のやり方をきちんと説明しているとみなせます。この考え方が普及していないので「循環論法」とか言う困った人達が出て来るのだと思う。
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posted at 19:48:49
@genkuroki #数楽 続き〜、θ(t)=∫_0^t ds/(1+s^2) となり、これは傾き0からsまでの角度になります。θ=θ(t)の逆函数は高1で習うt=tan θの定義に一致します。これを使うとtan θの導函数が1+tan^2
θになることも直ちにわかる。
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posted at 19:41:22
@genkuroki #数楽 単位円周のシンプルなパラメトライズの方法は他にもあります。x^2+x^2=1とy=sxの交点をsでパラメトライズすると、x=1√/(1+s^2)、y=s/√(1+s^2)なので、円弧の長さをsによる積分であらわすと、〜続く
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posted at 19:34:30
@genkuroki #数楽 私の経験では三角函数について「循環論法になる」というようなことを言う人は自分できちんと三角函数論を展開したことがなくて、自信がない人達なのではないかと思われます。自信があればデマに騙されたり、影響されずに済んでいるはず。
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posted at 19:29:32
@genkuroki #数楽 続き。高校生は以上の事柄について高校の数学の先生に聞いた方がよいかもしれません。当たり前のことだという反応が返って来ない場合にはその先生は三角函数論を理解していないとみなされます。大学の数学の先生の中にも循環論法になると誤解している人達がいるかも。
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posted at 19:27:38
@genkuroki #数楽 続き。以上の話は真に高校数学の範囲内の話です。lim_{θ→0}(sin θ)/θ=1を使わずにsinを微分し放題なことが高校数学の範囲内でわかるので、lim_{θ→0}(sin θ)/θの計算でもロピタルの定理を使っても循環論法になりません。続く
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posted at 19:25:38
@genkuroki #数楽 続き。だから、θ=θ(s)の逆函数は高1で習うs=sin θの定義に一致しています。逆函数の微分の計算の仕方もわかっているので、sin θも簡単に微分できます。sinを微分するためにlim_{θ→0}(sin θ)/θ=1はいらない。続く
タグ： 数楽
posted at 19:23:02
@genkuroki #数楽 単位円周をx=√(1-t^2)、y=tとパラメトライズするとき、θ(s)=∫0^s√(x'(t)^2+y'(t)^2)dt=∫_0^s dt/√(1-t^2)は単位円周上の(1,0)から(√(1-s^2),s)までの角度。続く
タグ： 数楽
posted at 19:18:58
@genkuroki #数楽 高校数学IIIで習う公式(曲線の長さ)=∫_a^b √(x'(t)^2+y'(t)^2)dtを使えば単位円周上の弧の長さを積分で書くことができます。だから単位円周上の弧の長さで定義されるラジアンの意味での角度が明瞭に定義されます。続く
タグ： 数楽
posted at 19:12:58
学生のミスで大発見！ 赤字にあえぐ植物工場を救う“幸運の光”（nikkei BPnet） - Yahoo!ニュース zasshi.news.yahoo.co.jp/article?a=2016... #Yahooニュース
発見もすごいけど「執行正義教授」って本名なの
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posted at 18:31:41
@sekibunnteisuu これを踏まえて、比例式ではa/bとb/aのどちらを比の値としても、等号の両辺で一貫してれば良い。だから「良いんじゃない？」と結論。しかし、比例式から左辺だけ切出し、「a:bの比の値をb/a」とされるのは「困る」ともツッコミを入れました。
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posted at 18:24:30
@sekibunnteisuu 私の解釈は次の２通りです。①a:bも比、b:aも比。よって、a:bの比の値a/bも比の値、b:aの比の値b/aも比の値。②そもそもa:bを１つの実数で表すならば、比の値はa/bでもb/aでも（敢えて言うなら2a/bとかでも良い）
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posted at 18:20:24
【金曜日】
おれ「はいでは数学はじめまーす」
JK「えっ」
おれ「ん？どうした？」
JK「数学……するんですか？」
おれ「せやで（あれ？時間割間違えたかな？）」
JK「金曜日……なのに？」
気持ちはよく分かる。
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posted at 18:17:55
@sekibunnteisuu これはYes。元ツイの文脈も比＝比の等式（以後、比例式と呼ぶ）をしていて、以下どの発想でも良い。だから「良いんじゃない？」＝良い、という立場を一番先に示しました。
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posted at 18:16:19
@sekibunnteisuu Yes&Yesになる。ただし、二つ目のYesは、任意の実数の組みa,bに関して、a:bを１つの実数rで表す際、r=a/bとする習慣を把握して無い意味に限定します。比についての他の概念の理解は否定しません。
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posted at 18:09:47
@sekibunnteisuu それも含めて比の概念だから、全く意味が無くはないかと。比と関連する除算でも扱えるように押さえて欲しい訳だ。個々の専門で別々に教えるのが面倒だし、統一するのも面倒で、比でも、比の値でも自由に考えられるようにして欲しい訳です。（必須とは言わないけどね）
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posted at 15:29:51
@sekibunnteisuu 「打率５：２」が普通の表記で、「打率２／５」や「打率４割り」の言い方と同じ意味と主張されますね？（Yes/No）
「５打数２安打」は比の表記ではないので無関係です。
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posted at 15:24:43
@sekibunnteisuu それは間違いとは言いませんが、それが世界標準と思われたら、一定の科学者や技術者とのコミュニケーションに齟齬が生じますね。（片方知ってれば回避できますが）なので、両方を認めねない分野もあることを認識してください。
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posted at 15:18:20
@LimgTW ？？？
www.nier.go.jp/kaihatsu/shido...
p57 【比の値が２／３（３／２）で等しいから】
括弧を見てください。
#掛算 #比の値
posted at 15:15:14
@genkuroki #数楽 出発点の確率密度函数q(x)をどう取ればよいのか。確率分布にするためには∫q(x)d=1が必要なので、q(x)を一様分布には取れない。しかし、q(x)∝e^{-ax^2}の形にしておけば、球面上の一様分布の射影を扱う場合には問題ない。
タグ： 数楽
posted at 14:57:27
@genkuroki #数楽 続き。E(x)=x^2、U=1とすると、p(x)=(δ_{X_1}+…+δ_{X_n})/nのとき、n=nU=n∫E(x)p(x)dx=X_1^2+…+X_n^2で半径の2乗がnの球面が出て来る。
タグ： 数楽
posted at 14:10:47
@LimgTW #掛算 #比の値
佐賀県教育センター
www.saga-ed.jp/kenkyu/kenkyu_...
次の比の値を求めましょう。
(1) ４：５ この比の値を５／４ とするとバツだと思います。
こんな問題やらせることに何の意味がわるのか分かりませんが。
posted at 14:08:10
@genkuroki #数楽 続き。Zとβは∫p(x)dx=1と∫E(x)p(x)dx=Uから決まる。
以上の結果を認めれば、半径の2乗がnのn-1次元球面上の一様分布の1次元部分空間への射影が標準正規分布になることをほとんど計算せずに理解できるように思えます。
タグ： 数楽
posted at 14:05:40
@genkuroki #数楽 続き。ゆえに、n→∞での、条件付き確率の振る舞いは、相対エントロピー汎函数の条件付き最大値問題の解で記述される。条件が∫E(x)p(x)dx=Uの場合の解は、未定乗数法よって、p(x)=exp(-βE(x))q(x)/Zの形になることがわかる。続く
タグ： 数楽
posted at 13:55:30
@genkuroki #数楽 続き。P_nの確率分布の確率密度汎函数はn→∞でexp(nS+o(n))のように振る舞うはず。ここでSは相対エントロピー汎函数S[p(x)]=-∫p(x)log(p(x)/q(x))dxである。続く
タグ： 数楽
posted at 13:49:55
@sekibunnteisuu それで良いんじゃない？
逆に定義される方が困るけどね。2:3≠3:2なので、2:3と3:2を区別して良く、どっちにしても良いなら、習慣的に比の表記で割り算を代用する2:3＝2÷3＝2/3に合わせて良い。
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posted at 13:46:17
@genkuroki #数楽 X_iは独立同分布の連続型確率変数で確率密度函数はq(x)であるとする。R上の確率分布に値を持つ確率変数P_n=(δ_{X_1}+…+δ_{X_n})/n (右辺はデルタ分布の和)のR上の確率分布たちの無限次元空間上の確率分布のn→∞での挙動が問題。
タグ： 数楽
posted at 13:44:45
#掛算 #比の値 TaKuさんが見つけてくれた情報
国立教育政策研究所のサイトから
www.nier.go.jp/kaihatsu/shido...
p57 ２：３の比の値を２／３（３／２）としている。
文科省は比の値を 前／後ろ のみとは定義していない？
posted at 12:38:33
@genkuroki #数楽 続き。以上の議論を正当化するための数学的定理のステートメントと証明が書いてある文献を私は見付けることができないでいます。文献を知っている人がいれば教えて下さい。
タグ： 数楽
posted at 12:37:06
@genkuroki #数楽 続き〜、各y_i^2の平均は1になる。すなわち1/(2β)=1．ゆえにβ=1/2となり、e^{-βy_i^2}/Z=e^{-y_i^2/2}/√(2π)と標準正規分布が得られる。ボルツマン因子による極限分布の記述を使えば計算を大幅に簡略化できる。
タグ： 数楽
posted at 12:10:16
@genkuroki #数楽 その1次元部分空間への射影の分配函数はZ(β)=∫_R e^{-βy_i^2} dy_i=√(π/β)．これから(y_i^2の平均)=-dlog Z(β)/dβ=1/(2β)となる。半径の2乗はn、すなわちy_1^2+…+y_n^2=nなので〜続く
タグ： 数楽
posted at 12:05:02
@genkuroki #数楽 半径の2乗がnのn-1次元球面上(先にn次元と書いたが正しくはn-1次元)の一様分布は、n次元空間上の一様分布(←体積無限大なので本当は要注意)を球面上に制限したものに等しい。そのような条件付きの確率分布はボルツマン因子で記述されるのであった。続く
タグ： 数楽
posted at 11:56:06
@genkuroki #数楽 続き。具体的には添付画像の極限の計算問題。添付画像は例の雑ノート www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/... より。直接的な計算によって「易しく」証明できる。問題はその計算の「本質」。続く pic.twitter.com/EZGaK05seL
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posted at 11:48:23
@genkuroki #数楽 Maxwell-Boltzmann則の数学的に最も易しい特別な場合は「半径の2乗がnであるようなn次元球面上の一様分布の1次元部分空間への射影はn→∞で標準正規分布に収束する」という結果。続く
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posted at 11:45:47
@genkuroki log a_n=(log b_n)(1+o(1)) のとき a_n ¥approx b_n と書く人が（ぼくの周辺の数学よりの人のなかには）多いと思います。
ぼくの本の記法は我流なのか物理流なのか既にわからなくなっていますが覚えやすいのは確かだと思う。
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posted at 07:44:00
大学1回生とき、数学教育学のある教授が学生に「お前、数学好きか？」って聞いて回ってて、殆どの学生は「いえ……」って答えてたんだけど、おれだけ「はい！大好きです！！」って答えた。
そしたら教授、笑って「そうか……頑張れよ！」って言ってくれた。
その教授の講義は、全て単位落とした。
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posted at 02:13:00
OokuboTact 大久保中二病中年 @OokuboTact
『ガリレオ』で湯川先生の講義は女子生徒でいつもいっぱいだけど、理科系の講義でそんなことがあるのだろうか？
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posted at 02:03:11
そう言えば、今回発表されてた先生で
「詳細は学会誌で見てください」
っておっしゃってた方がいて、おおー次の査読まだ先だけど載る自信が有るんだーって思ったけど、今考えてみたら何かおかしくない？
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posted at 02:02:38
「小学校の教師でも微積ぐらいやっとけよ～」
と言うと、それはそれで
「小学校の教師でも近代史ぐらいやっとけよ～」
と言われそうなので何も言えませんが、算数教育の研究する人は微積ぐらいやっとけよ～
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posted at 01:48:08
@OokuboTact 初期値の誤差を無限に小さくすれば、結果の誤差も無限に小さくなると思っている先生にちらほら出会います……もちろんそんなことはないのですが。
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posted at 01:29:40
@OokuboTact ところが、カオスなんかで、コンピューターシミュレーションでは実際の解とはまるっきり違う結果が出るケースがありまして。それは別に良いのですが、コンピューターを用いた教育実践を研究している先生でそれを知らない人も多いです。
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posted at 01:25:14
そういえば今日、ICTのC(コミュニケーション)とか、アクティブラーニングとか、数学に要る！？ってニュアンスのお話をされている先生がいらっしゃって、痛快でした。
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posted at 01:20:16
発表者「t検定の結果、有意差は出ませんでした」
おれ「結果のp値を教えて下さい」
発表者「t値は○○です」
おれ「あ、t値じゃなくてp値です」
発表者「？」
おれ「限界値に近いですよね。t分布さすがに覚えてないので…」
司会「先生、スライドにt値は出てます」
おれ「いや、p値を」
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posted at 01:12:55
OokuboTact 大久保中二病中年 @OokuboTact
大学レベルの高度な数学を小学校教師に必要とは言わないけど、行列と微積は知っとかないヤバい気がする。行列と微積の計算がよくできる必要はないと思うけど、算数との繋がりを意識した方が良いわけで
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posted at 01:11:01
@OokuboTact 私立文系の人もかなり居ますが、どうやら問題視されているのは推薦とかみたいです。ちなみに僕が滑り止めで受けた私立文系の学部は数I・Aのみで、算数教育の研究室にもいけるようです。
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posted at 01:08:01
これに関しては思う部分があって「高校で数学を習っていない」という人でも算数教育の研究しても良いとは思う。そうしないと、高認で大学進学した人はどうなるんだって話になるので。ただもちろん、数学をきちんと自分で勉強した上で研究して欲しい。
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posted at 01:02:30
@sekibunnteisuu 「専門は『学び合い』です」とか、「アクティブラーニングについて研究しています」とかいう盾を作れる業界なので。本当に恥ずかしいことだと思いますが……
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posted at 00:58:56
@OokuboTact その話も出ました。ベテラン先生が「高校で数I・Aのみを履修して、あとは面接と小論文で大学進学し、微積を勉強しないまま卒業する算数教育の学生もいる」と指摘したのに対し、別の先生が「うちは数Iだけで受験できます……」って返答されてました。すごい雰囲気でした。
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posted at 00:56:59
@sekibunnteisuu 数IIIレベルの微積や、旧数Cレベルの行列すらできない現職教員の算数教育研究者は多いと感じます。数I・Aレベルが精一杯というのは言い過ぎな気もしますが……
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posted at 00:47:31
@sekibunnteisuu 別の先生が「実際は算数教育で修士課程に進む学生には、数I・Aをきちんと教えるのが精一杯ですよね……」って返答されていました。
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posted at 00:43:48
@sekibunnteisuu 今日、ベテランの先生が「算数教育を専門にするなら、せめて数IIIレベルの積分は理解していて欲しい……問題は解けなくても良いから、せめて理論を勉強して欲しい。理想論だけど……」っておっしゃっていました。これが理想論になるレベルの現状だと思います。
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posted at 00:42:06
「教養学部の統計学の講義で測度やるぞゴルァ！！」って先生の発表があったけど、良かった。ご本人は「まあ測度には触れません」って言ってたけど、普通に触れてた。
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posted at 00:36:38
@sekibunnteisuu 履修しない方です。僕の出身校のカリキュラムを詳しく言うと、線型代数、微積（1変数・多変数）、集合・位相、統計が必修で、微分方程式、複素関数、代数系、微分幾何、トポロジーあたりは選択です。これで修士課程にいけます。
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posted at 00:33:56
@sekibunnteisuu 曖昧というか、根本的に知らない人も居ます……「分数とは有理数のことだ」って平気で言う人もいる現状です。
代数系とか、それこそ群の定義すら大学で学ばずに数学教育の研究をしている人はゴロゴロいます。
微分方程式を全く見たことのない研究者も居ます。
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posted at 00:29:28
@sekibunnteisuu いえ、環や分数体のことを全く、本当に全く知らずに、
「分数とは整数を整数で割ったものです」
「じゃあ√2/3は分数ではないのですか？」
「え……」
みたいな人です。今回の発表で分数のことが有ったわけではないのですが、こういう人は過去に見ました。
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posted at 00:15:23
僕が質疑応答で明らかにおかしい部分を指摘した発表者、お昼にエレベーターで一緒になったから挨拶したら、苦笑いしつつそのエレベーターからそそくさ出て行ったから、僕嫌われてるな。
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posted at 00:05:16
