黒木玄 Gen Kuroki
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2014年03月01日(土)
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@genkuroki どうもありがとうございます。安心しました。先日、生徒から質問されてその場でやろうとして、六角形の辺または頂点という条件を式にすると、不等式が出てきてややこしくなって、「図で考えれば明瞭だから、それを言葉で表現すればいいんじゃない」とは言ったのですが、
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posted at 22:57:54
そうは云っても、多分小学生でももっと本質的に上手く柔軟に教えられる。自分の経験と娘を見ててですが。 @sekibunnteisuu: #掛算 一般的なことかあるいは今もそうなのか分からないが、ある国立大学では小学校教員免許取得のための算数指導の授業は週一回の１年間だけとのこと。
タグ： 掛算
posted at 22:48:00
@genkuroki ようするに、最初は計算で条件を絞ろうとしたのですが、図で描いたら一目瞭然のことがものすごく複雑になってしまったのです。
こういう問題を、図で描いて、答えるというのでもいいのでしょうか？
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posted at 22:45:25
どんな問題なんやろ？気になる。 @sekibunnteisuu: @genkuroki
質問があります。
この大問６ですが、以下のような答案でもいいのでしょうか？ 設問の六角形をＣ、それをｘ軸方向に＋１平行移動した六角形をＤとする。 Ｐの両隣の頂点で第
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posted at 22:44:38
@genkuroki よって、ｆ（ＯＲ）はＤのどこかの点。
一方、設問よりｆ（ＯＲ）はＣのどこかの点でなくてはならない。
よってＤとＣの共有点であるはず。
よって、 ｆ（ＯＰ）＝ＯＲ または ＯＱ
ここから行列が、
１０
０１
１０
０-1
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posted at 22:43:35
@genkuroki 以下、ＯＲなどは、線分ではなくベクトルを示す。
ｆ（ＯＲ）などは、Ａを作用させて得られるベクトルとする。
ＯＲ＝ＯＰ－ＯＱ だから、
ｆ（ＯＲ）＝ｆ（ＯＰ）－ｆ（ＯＱ）
ｆ（ＯＰ）＝（１，０） ｆ（ＯＱ）はＣのどこかの点
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posted at 22:40:00
@genkuroki
質問があります。
この大問６ですが、以下のような答案でもいいのでしょうか？ 設問の六角形をＣ、それをｘ軸方向に＋１平行移動した六角形をＤとする。 Ｐの両隣の頂点で第１象限にある方をＱ、第４象限にある方をＲとする。
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posted at 22:35:02
#掛算 pic.twitter.com/0buTDDnGkP 足算の順序についてはこんな問題が教科書に載っている場合がある。「女の子の視点からは男の子のケーキの分だけ増えたことになる」という指摘も過去に複数回あった。足算の順序まで強制する気が満々なところが怖い。
タグ： 掛算
posted at 22:20:14
#掛算 某社の教科書指導書には掛算の順序強制についてだけではなく、等号の左辺と右辺についても【y=x×8でも正しいが～文章の流れからいけば、x×8=yを推奨したい】と書いてある。この手のこだわりが教育現場をおかしくしているのだと思う。 pic.twitter.com/mxBd2Pn6K1
タグ： 掛算
posted at 22:11:01
#掛算 twitter.com/sekibunnteisuu... で紹介されている detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_de... の事例がひどい。【｢おんなのこが６にん、おとこのこが９にんいます。みんなでなんにんいますか。｣～式を｢９+６＝15｣～と書いたところ～式が×でした】←？？！
タグ： 掛算
posted at 22:05:41
@genkuroki 解答ありがとうございました。対角化から挫折しましたが、複素平面で2×2行列と同じことはできるというところまでは分かりました。今度時間を取って考えてみて、それでも分からなかったらまた質問させてもらうかもしれません。本当に今日はありがとうございました。
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posted at 21:41:42
ぼくは何の準備も無しにノータイムで証明できるようなことまで詳細に説明してくれなくてもよいという立場。こちらが理解できなくなったら質問します。
"明らか"と言って良い命題には個人差あり。ある人が"明らか"と言うとひどく突っ込まれ、別のある人だとそのまま素通しということがありえる。
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posted at 21:18:44
【半分ネタでも本当の話】ぼくは数学科の学生には「証明で"明らか"と言っていいですよ」と言うことにしている。ただし、街で偶然ぼくと出会ってしまい、いきなり「あのとき"明らか"と言っていたあの証明をいますぐここで説明して！」と要求されたら、ノータイムで答えられないといけない。
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posted at 21:15:02
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@bampaku @aman_GT
合併の問題でバツになった例。
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_de...
増加の問題でバツは今のところ私は把握していないけど、あるのかな？
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posted at 21:02:20
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#掛算 www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sans...
＞２ 式の意味を考える。
※ 増える２台の車の絵をいろいろな方向から動かして，式を考えさせた。
足し算には順序があるけど、時系列の順で、空間的な左右ではないですよ、
ということを時間をかけて教えている。くだらない。
タグ： 掛算
posted at 20:38:26
#掛算 www.nara-edu.ac.jp/CERT/bulletin2...
p64② 具体物の配置や操作が統一されていく様相
＞教師が「お話のとおり、 ブロックを置くことが大切です。そうしないと、Ｃ３ さんの言うとおり、かえるさんが海に落ちてしまいま すね。」と、確認を図った。
タグ： 掛算
posted at 20:34:44
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いや、あの、まあ、騙しているなんて人聞きの悪い♬ @genkuroki: 続き。高校の数学の先生や予備校の数学の先生なんかが、「受験に役に立つから」と高校生を「騙して」普遍的に重要な数学を教えてくれるのはとても素晴らしいことだと思います。
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posted at 20:06:18
続き。高校の数学の先生や予備校の数学の先生なんかが、「受験に役に立つから」と高校生を「騙して」普遍的に重要な数学を教えてくれるのはとても素晴らしいことだと思います。
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posted at 20:01:35
続く。受験勉強で2×2行列Aのn乗A^nを求める方法(CH定理やら固有値やら固有ベクトルやら)を勉強してしまった人はラッキーだったと思った方がよいです。そこで使われてる方法は概念的にも応用的にも重要でかつ基本的です。一生役に立ちます。
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posted at 19:58:41
続き。以上で説明したようなことを大学入学前に9割以上理解していしまうような数学的力があれば、大学入学後に数学の授業で困ることはないと思います。複素数を使う必然性が薄い話をあえてネタとしてやってみせただけであることに注意。これあくまでもネタです。
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posted at 19:54:42
続き。e^{iθ} に対応する平面上の点の原点からの距離は常に1です(絶対値が1)。iをかける操作は90°の回転なので、e^{iθ}とie^{iθ}は「直交」しています。これで実2×2対称行列の固有値はすべて実数であり、回転行列による相似変換で対角化できることも証明されました。
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posted at 19:51:38
Daisuke Watanabe @DaisukeWatanabe
それと数Iでデータの分析が追加され、平均や標準偏差、相関係数までが対象になるんですね！ これはよい変化と思いつつ、教員がその意味や有用性をしっかり教えないと、ますます統計をキライになって大学に入ってきそうなところが怖い。うまく対応しないと
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posted at 19:48:52
続き。αが実数のとき f に対応する一次変換の固有値は実数α±|β|であり、それぞれに対する固有ベクトル(に対応する複素数)としてe^{iθ}、ie^{iθ}が取れる(ただしβ=|β|e^{2iθ})。続く
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posted at 19:47:52
Daisuke Watanabe @DaisukeWatanabe
今頃知ったのですが、高校数学で行列をやらなくなるんですね。複素数平面が復活するのはよいことですが、行列と複素数平面を両方やることで線形台数の理解が深まると思うので残念。。。。今後の統計の講義で、行列の知識をまったく前提にできないのはつらいなぁ（ま、今もほぼ前提にしてませんが）
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posted at 19:46:50
（続き）憲法問題の議論でこの半紙を出すのは、全く無意味です。ゲーデルの話を出さなければいけない必然性は全くありません。ですので、こういうどうでもいい話はやめて、憲法の問題そのものに集中して頂きたいと思います。
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posted at 19:45:27
続き。αは実数であるとします。βをβ=|β|e^{2iθ} (θは実数)とおくと、f(e^{iθ})=(α+|β|)e^{iθ}、f(ie^{iθ})=(α-|β|)ie^{iθ} となることが簡単な計算でわかります。一時変換 f が瞬殺で対角化されました。続く
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posted at 19:44:35
（続き）
②この話が何故広まったかというと、「ゲーデルさん空気読めねぇー」（国籍審査の場でそんな素人理論振り回すな）という学者バカ逸話であって、決して「ゲーデルさん慧眼」とか言う話ではないのです。「ゲーデル」という名前がつけば神秘的に見える「ゲーデルマジック」のなせる技。（続）
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posted at 19:44:07
（続き）というのも
①ゲーデルはたいしたことを言っていない；「日本国憲法でも、国会議員の大部分と国民の半分が賛成すれば独裁が可能なように憲法を変えられる」というのと同レベルな話です
ytb-logic.blogspot.jp/2012/08/blog-p...
（続）
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posted at 19:42:24
続き。しかし実2×2の対称行列の場合すなわち
[a b]
[c d]
でa,b,c,dがすべて実数でb=cの場合の対角化であれば複素平面での定式化でも非常に簡単になります。先の記号でb=-q+s、c=q+sなのでb=cとq=0は同値です。すなわちαが実数であることと同値。
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posted at 19:40:43
【インテリの皆様へのお願い】
憲法問題というと「ゲーデルがアメリカ憲法は独裁を許容することを示した」という話を枕になにかインテリで奥深げな話をする誘惑に駆られやすいモノです
twitter.com/tyk97/status/4...
しかしこれは全く無意味な話であり、ぜひやめて頂きたい（続）
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posted at 19:40:14
続き。受験数学に限らず、普遍的な手法として、行列のn乗を求めるときには行列を対角化できれば楽になります。行列の対角化は固有値・固有ベクトルを求めることと本質的に同じ。実固有値であれば複素平面の場合に容易に翻訳可能です。しかし、一般の場合にはあんまりメリットがない。続く
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posted at 19:36:55
続き。ぼくが見た高３の教科書には2×2のケーリー・ハミルトン(CH)の定理が載っていました。CH定理を以上の記号のもとで書き直すと f(f(z))-(α+α^*)f(z)+(|α|^2-|β|^2)z = 0 となります。|α|=√(p^2+q^2)です(複素数の絶対値)。
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posted at 19:33:49
続き。逆に実数a,b,c,dを与えたとき、p,q,r,s,について逆に解けます。たとえばp=(a+d)/2などなど。これで実2×2行列Aによる一次変換は複素数に関する変換f(z)=αz+βz^*と本質的に同じものであることがわかりました。続く
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posted at 19:30:52
続き～ f(z)=(p+r)x-(q-s)y + i((q+s)x+(p-r)y) となる。だから、a=p+r、b=-(q-s)、c=q+s、d=p-r とおけば、fは次の行列に対応してることがわかります：
[a b]
[c d]
これと
[x]
[y]
の積と比較。
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posted at 19:28:06
続き。答は複素数α、βで定まる複素数(=複素平面の点)の変換 f(z)=αz+βz^* の形で複素平面の実一次変換のすべてを表現できます。α＝p+qi、β=r+si、z=x+yi (p,q,r,s,x,yは実数)のとき、f(z)を計算すると結果は～続く
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posted at 19:24:57
続き。あと正の実数も複素数の一種です。正の実数 r をかける操作は複素平面全体を r 倍に拡大縮小する操作になっています。これで、回転、線対称変換、拡大縮小も複素数で表現できることがわかりました。もっと一般の2×2行列で表現される一次変換は複素数で表現可能か？可能です。続く
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posted at 19:21:07
続き～
[cos 2θ -sin 2θ]
[sin 2θ cos 2θ]
であり、x軸に関する線対称変換を表現する行列は
[1 0]
[0 -1]
です。これらをかけると教科書に書いてある線対称変換行列が出て来る。行列を習っていれば思い当たる節がたくさんあるはず。
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posted at 19:18:50
続き。要するに傾きθの直線に関する線対称変換は複素数に関する z → e^{2iθ} z^* という変換で表現できます。実はこれ高校の教科書に行列の形式ですでにのっています。e^{2iθ}=cos 2θ+i sin 2θ に対応する行列は～続く
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posted at 19:15:04
続き。e^{iθ}(e^{-iθ}z)^*=e^{iθ}e^{iθ}z^*=e^{2iθ}z^* となります。途中で(zw)^*=z^* w^* と (e^{-iθ})^* = e^{iθ} を使いました。複素共役は掛算を保ち、e^{iθ} のθを-1倍します(θは実数)。続く
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posted at 19:12:42
続き。角度θの傾きを持つ直線は角度-θの回転でx軸に一致します。複素数e^{-iθ}をかけると複素平面が角度-θ回転する。次に複素共役をとると上下が反転します。そして複素数e^{iθ}をかけて直線の傾きをもとに戻します。この３つの操作を順番に複素数zにほどこした結果は～続く
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posted at 19:10:05
続き。e^{iθ}をe^{iθ}=cosθ+i sinθで定義しておきます。これは定義だと思ってもよいし、解析接続(これは大学レベルの話)の結果だと思ってもどちらでも構いません。毎回cosとかsinと書くのはつらいので、e^{iθ}を導入しておきます。続く
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posted at 19:07:38
続き。x軸ではない傾いている直線に関する線対称変換は、その傾いている直線を回転させてx軸と一致させてから、x軸に関する線対称変換をして、反対向きの回転で傾いていた直線をもとの場所に戻せば実現できます。だから任意の直線に関する線対称変換も複素数で表現できます。続く
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posted at 19:05:08
続き。複素共役は複素平面で見ると、x軸に関する線対称変換(x,y)→(x,-y)になっています。あと、複素数 cosθ + i sinθ の掛算は複素平面でみると角度θの回転です。複素数でx軸に関する線対称変換と回転を表現できることがわかりました。続く
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posted at 19:02:27
知り合いの娘さん（中高一貫校1年）が、三者面談で、理系か文系か決めるのに、担任に「デザインの仕事に興味ある」と言ったら「じゃあ理系だね」と言われ、「音楽方面に行きたい気もある」と言ったら「やっぱり理系だな」と言われたそうな。
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posted at 19:01:01
実数を成分とする2×2行列で表現される一次変換を複素数だけで表すことについて（半分ネタ）
まず複素数z=x+iy (x,yは実数)の複素共役をz^*=x-iyと定義します。数学者が書いた教科書ではz^*ではなく、zの上に線を引いた表記法で書くことが多いです。続く
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posted at 19:00:04
続き。そして、a=cos θ、b=sin θ、c=cos φ、d=sin φ の場合に行列と複素数で同じ計算をもう一回やってみる。そのときに三角函数の加法定理を使う。2×2行列を知っている受験生は「複素平面」の話を恐れる必要はないです。行列の形式で本質的内容をすでに習っています。
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posted at 18:42:19
twitter.com/genkuroki/stat... のあたりの連ツイの話については、２つの行列
[a -b]
[b a]
[c -d]
[d c]
の積と２つの複素数の積 (a+bi)(c+di) を比較してみるとよいとよいと思う。どちらも「同じ型」になる。続く
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posted at 18:38:52
@genkuroki (続き)また平面の話ではなくなりますが図Ⅱの様な典型的な行列の問題を、Aが回転行列でないとき、複素平面で解くことはできますか？(私の力では無理でした)(終) pic.twitter.com/rSSMviXgCz
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posted at 18:21:23
@genkuroki (続き)例えば点(p,q)を直線y=(tanθ)xに関して対称な点(p',q')に移す操作は図Ⅰ(図は次のツイート)の様に行列なら一発でできますが、複素平面だと(※)の操作の数式化ができません(少なくとも私の力では)。(続く)
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posted at 18:19:52
@genkuroki リプありがとうございます。おまけ以降は理解が追いつきませんでしたが、複素平面での回転は理解できました(たぶん)。さらに質問なんですが、複素平面は回転しかできないんですか？(続く)
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posted at 18:18:41
koji hasegawa @myfavoritescene
数学ですら自己完結できないのに穴がないわけはなくて（そんなことはゲーデルが一番分かっていたはず）、その精神を発揮してみたんだろうけど、周囲の大人の対応がすばらしいｗ まあ法の精神（と言って良いのかしらないが）を根本から認めなければ、いろんなことが法に則って出来てしまうだろう。
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posted at 17:41:42
続き。e^{iy}=cos y + i sin y をどのように確認するかが問題になりますが、よくあるやり方はマクローリン展開 e^z = Σ z^n/n! に z=iy を代入することです。やってみたことがない人はやってみるとよいでしょう。
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posted at 17:41:36
続き。高校生レベルの複素平面の話に戻る。高校で e^x という実数 x の函数について習います。実は解析接続という自然な方法でこれを複素数 z の函数 e^z に拡張でき、実数x,yについて e^{x+iy}=e^x(cos y + i sin y) が成立します。続く
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posted at 17:38:51
続き。実は以上で述べたことも役に立つことがよく知られていて易しい話にすぎないのですが、あとほんのちょっと足を踏み外すだけで「トテモオモシロイセカイ」に突入してしまいます。そういうのに興味がある人は大学院レベル以上の数学を勉強してもらうしかない感じ。
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posted at 17:32:50
続き。大体において数学の話は、算数レベルから高校レベルの易しいことのほんのちょっとわきにそれるだけで、結構複雑で数学者が面白いと思うような世界に突入してしまいます。高校までの数学のカリキュラムは役に立ってかつ易しい部分についてだけ教えるほそ～い道を通らせるようになっている。
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posted at 17:30:30
続き。面倒なので理解可能な説明をサボってしまいますが、3次元空間の回転を実3×3行列ではなく、複素2×2行列(もしくは一つの四元数)でちょっとややこしく表現することにはメリットがあります。そのメリットについても説明をサボりますが、人工衛星の制御なんかでも使われているらしい。
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posted at 17:26:00
続き。3DCGをやっている人は、3次元空間の回転が実数を成分に持つ3×3行列で表現可能なことを知っているはずです。実は3次元空間の回転は複素数を成分に持つ2×2行列
[ z -w^*]
[ w z^* ]
でも表現可能なのです。ここで、|z|^2+|w|^2=1です。
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posted at 17:22:36
@leeswijzer @shignak 大学に入ってから行列を修得するのはかなり困難ですから、たとえ脱落者続出するとしても理系は高校でやった方がいいと思いますね。
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posted at 17:20:46
続き。複素数と平面の回転の関係は、実は四元数と3次元空間のあいだのちょっと非自明な関係に拡張できます。スピノルという用語が使われることがある。数学科の学生は SU(2) という名前の群を習いますが、実はその話になります。
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posted at 17:20:25
続き。複素数 z と w の虚数単位が j になっていることに注意。q=z+iw に対応する行列を
[ z -w^*]
[ w z^* ]
と定めると色々つじつまが合っていることが容易に計算で確認できます。ここで z^* は複素共役。(a+cj)^*=(a-cj)
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posted at 17:17:52
続き。任意の四元数 q = a+bi+cj+dk (a,b,c,dは実数)は q=z+iwと複素数 z=a+cj, w=b+dj を使って表わされます。i(b+dj)=(b-dj)iに注意。複素数を実数を成分に持つ2×2行列で表現できたのと同じことをできます。続く
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posted at 17:14:35
おまけ。以上の話は四元数への単純な拡張があります。複素数が i^2=-1 で構成されるのと同様に四元数は i^2=j^2=k^2=-1, ij=-ji=k (残りは略してよい)で構成されます。i,j,kたちについては掛算の順序を勝手にひっくり返さないように注意して下さい。続く
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posted at 17:03:47
続く。以上の話を知っていればあとは自分で他にどのような良いことが起こっているかを確認する散歩をするだけです。多くの人が数学の勉強で失敗するのは手間のかかる散歩をさぼるからだと思います。とにかく時間が大量に取られる感じで、上手にナビゲートしてくれる人や本を見付けた人はラッキーかも。
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posted at 16:58:37
続き。I = A(i) は i^2 = -1 をみたす i と「同じもの」とみなせるという話をしているのだからが、当然 I^2 = -E となるべきであり、実際にそうなっているわけです。これで、複素数と実数を成分に持つ2×2行列も繋げることができました。続く
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posted at 16:55:38
たとえば、虚数単位 i に対応する行列 A(i) は
[0 -1]
[1 0]
になります。 I = A(i) とおきましょう。Iの2乗 I^2 を計算してみて下さい。 I^2 は単位行列 E の -1 倍になります。 I^2 = -E です。続く
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posted at 16:53:10
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posted at xx:xx:xx
続き。この「同じもの」とみなす操作は、特殊な複素数 cos θ + i sin θ から、一般の複素数 x + iy まで自然に拡張されます。 z = x + iy に次の行列をさせればよい。
[x -y]
[y x]
この行列を A(z) と書きましょう。続く
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posted at 16:50:53
続き。ぼくが見た高３の教科書には行列 R(θ) は平面の角度θの回転を表現していることがしっかり書かれていました。実はこの行列 R(θ) と複素数 cos θ + i sin θ と「同じもの」だと思えます。どちらも掛算によって平面の角度θの回転の表現になっている。続く
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posted at 16:47:17
続き。さらに、行列の話を知っていれば、複素数の掛算で平面をくるくるまわす話と、行列で回転する話を関係付けることもできます。ぼくが見た高３の教科書には次の行列が書いてありました：
[cos θ - sin θ]
[sin θ cos θ]
これを R(θ) と書きましょう。続く
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posted at 16:43:43
続き。複素数の掛算が複素平面上でのx軸の正方向とのなす角度については足算になるということは、複素数の掛算で複素平面の回転を表現できることを意味しています。平面をくるくるまわす様子を想像できる人は複素数の掛算も直観的に理解できる。これで複素平面の話はおしまい。続く
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posted at 16:40:56
続き。練習問題：上と同様にして z^6=1 を満たす複素数 z をすべて求めよ。
答：α_k = cos(2πk/6)+i sin(2πik/6) (k=0,1,2,3,4,5).
α_kを6乗は平面上の単位円周上をk回転して平面上の点(1,0)に到達する計算になります。
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posted at 16:38:11
続き。これで i の平方根が２つ求まりました。 α=cos 45° + i sin 45° と β=cos 225° + i sin 225° の２つです。地道な計算は一切必要無かったことが大事なポイントです。続く
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posted at 16:32:11
続き。先に述べた問題の結果から角度 θ の2倍は 90° にならなければいけません。より正確にはぐるんと360°余計にまわったり、もしくは右回りにまわって 90° の場所に達するかもしれないので、求めるθは45°と225°の２つになります(360°の違いは無視できる)。続く
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posted at 16:29:22
続き～平面上の点は、原点からの距離の2乗が1になるような点でなければいけません。そのような点への原点からの距離は1になります（あたりまえ）。次に2乗してiになる複素数に対応する点の x 軸の正方向とのなす角度θについて考えましょう。続く
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posted at 16:26:30
続く。たとえば応用として i の平方根を計算に頼らずに図形的な直感だけに基いて求めてみましょう。i に対応する平面上の点は(0,1)です。原点からの距離は1でx軸の正方向から角度90°=π/2まわった方向に位置しています。だから2乗して i になる複素数に対応する～続く
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posted at 16:23:42
続き。複素数の計算は i^2=-1 というルールさえ覚えておけばできるのですが、複素平面を通して視覚的に解釈してやると、複素数の掛算は「原点からの距離をかけて、x軸の正方向との角度を足す」という幾何学的に分かり易い操作であることがわかるのです。大事なので繰り返した。続く
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posted at 16:20:56
高校数学から行列が消えるのが話題になっている。レベルが高い（笑）。それ以前に、世の中には、いくら関数（＆写像＆変換）の概念を説明しても、どうしても分かってくれない人が、相当数いる。なんとかしてくれ。
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posted at 16:20:39
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続き。これで、複素数の掛算を複素平面で解釈してやると、複素数の掛算は「原点からの距離を掛け合わせ、x軸の正の方向とのなす角度については足し合わせる操作」であることがわかってしまいました。続く
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posted at 16:17:56
続き。複素数zw=rs(cos(θ+φ) + i sin(θ+φ))に対応する平面上の点は(rs cos(θ+φ), rs sin(θ+φ))です。原点からこの点までの距離は rs でx軸の正方向から角度 θ+φ 反時計まわりにまわった方向にこの点はあります！続く
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posted at 16:15:13
続き。
練習問題：以上の状況で、
zw=rs(cos(θ+φ) + i sin(θ+φ))
が成立することを示せ。
略解：三角函数の加法定理を使えばよい。がんばって計算してみて下さい。
解説：実は上の練習問題の公式の幾何学的意味がものすごく重要。ここが最重要点。続く
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posted at 16:12:23
続き。r=√(x^2+y^2)、s=√(u^2+v^2)です。x軸の正方向と原点から(x,y)へのベクトルのなす角度をθと書き、同様に(u,v)に関する角度をφと書くことにします。以上の状況を適当に図に描いた方がわかりやすいと思います。続く
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posted at 16:06:01
続き。面白いのは複素数の掛算と三角函数の加法定理の関係です。以下、z=x+iy, w=u+iv (x,y,u,vは実数)とおき、対応する平面上の点(x,y),(u,v)を考えることにします。原点から(x,y)までの距離をrと、原点から(u,v)までの距離をsと書きます。続く
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posted at 16:03:39
続き。たとえば複素数1+i√3は平面上の点(1,√3)の別の書き方だと思うことにするわけです。もっと露骨に書けば1+i√3=(1,√3)だとみなすわけです。1+i0=(1,0)、0+i1=(0,1)になる。しかし、こういう露骨な書き方をすると混同しやすいので以下では控えます。続く
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posted at 16:00:38
ツイッターで複素平面について講義。複素数と三角函数の加法定理と座標平面については知っていることを仮定。複素数 z=x+iy (x,yは実数)と平面上の点(x,y)を同一視すると、平面は複素数全体で構成されていると思えます。そのときその平面を複素平面と呼びます。続く
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posted at 15:55:40
@genkuroki 突然すみません。現高3で来年度から浪人しそうな者です。2015年の春に大学に入った人は皆、大学で複素平面は習わずに、行列(線形代数？)を初歩から習うのでしょうか？要は移行措置に甘えて複素平面を勉強しなかったら、私は一生複素平面を習わないのか？ということです。
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posted at 15:40:55
@genkuroki もう、今後はそれはそれで正解でも良いような気が…と世間に負けつつあります。2変数多項式程度でも、グラフ見てるだけだとわかりにくい例もあったような記憶がありますので、そういう例を出していくしかないのかもしれません。
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posted at 15:40:47
@Paul_Painleve ぼくが出した問題にはある具体的に与えられた2変数函数のグラフが(x,y)=(0,0)の近くでおわん型、馬のくら型、ひっくり返ったおわん型のどれになるかという問題があるのですが、WolframAlphaはグラフも表示しちゃうので瞬殺されちゃいます。
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posted at 15:19:44
@Paul_Painleve ぼくの最近の解析学B(新入生向け多変数の微積分)の試験問題は8割以上WolframAlphaで解けちゃいました。スマホはマジに要注意です。
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posted at 15:13:59
穴があったら入りたい気持ち
".@genkuroki 某試験問題の1番の行列Aについてはこんな感じ。WolframAlphaへの入力は {{0,1,√2},{1,√2,1},{√2,1,0}} だけ。結果は添付画像の通り。 pic.twitter.com/5PpA0nvjcJ"
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posted at 15:06:03
続き。WolframAlphaですが、微積分の計算問題も非常によくやってくれます。気楽に入力できるので数式処理ソフトよりも気軽に使えて便利です。（実は自分で作った試験問題のチェックに結構使っていることは秘密だ。）
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posted at 14:58:18
続き。問題3番についてはこんな感じ。ポイントはまじめに数式処理のための入力をしなくても、適当に関連の式情報を入力すればその式関連の情報を色々教えてくれること。 pic.twitter.com/2o2dodtx29
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posted at 14:55:05
続き。たとえば某試験問題の1番の行列Aについてはこんな感じ。WolframAlphaへの入力は {{0,1,√2},{1,√2,1},{√2,1,0}} だけ。結果は添付画像の通り。 pic.twitter.com/pbmXxvnOCv
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posted at 14:52:37
.@genkuroki 「複素数平面」はナウなヤングな用語だと思います！
昭和35年指導要領「複素平面」www.nier.go.jp/guideline/s35h...
この後、S48年、S57年指導要領では複素平面消えて、
平成６年指導要領「複素数平面」www.nier.go.jp/guideline/h01h...
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posted at 14:51:04
@paulerdosh @tsatie @genkuroki たぶん、日本語話者での使用者人口は、「複素平面」＞「ガウス平面」＞「複素数平面」でしょうね。
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posted at 14:35:03
全然別の話。「数学の試験問題をスマホを使って解く」ということに関しては www.wolframalpha.com のスマホアプリ(有料)がとても便利です。数式処理ソフトと違って適当に入力すれば適当な答えが返って来る。
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posted at 14:32:59
ソウル・フラワー・ユニオン @soulflowerunion
出来過ぎ。RT @kwskkzzmm 逆から読んではいけない twitter.com/kwskkzzmm/stat...
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posted at 14:28:21
pic.twitter.com/KgIKkpWZFP
t.co/JtGLyAT9CI
の合わせ技は完全なトンデモ。これはかなりひどい例。掛算を足算より先に計算するのは単にそういうルールのもとでそうするだけのことで、「掛算の意味から必然的に」そうなっているわけではないです。
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posted at 14:22:48
@paulerdosh @tsatie 現在の日本語圏数学ユーザーの多数派は「複素平面」と言います。でも高校の学習指導要領を決めた人達はなぜか「複素数平面」という用語を採用しました。現時点で理由は不明。学習指導要領の決め方は全然透明じゃない感じ。
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posted at 14:21:22
一つ前のツイの画像中のp.124は正しくはp.154だろう。学習指導要領解説には「2×4は一つの数なので3+2×4では2×4を先に計算することが必然となる」と解釈されかねない曖昧で意味不明な説明があり、実際に算数の教え方を現場の先生に指南する人がそう解釈しているということです！
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posted at 14:15:57
AKIYAMA@広島防災情報チャンネル @plantarum
長男の高校卒業式の後で本屋で時間潰しついでに高校数学問題集チェック。脱ゆとりで消えた行列はなかったし、追加された複素数平面はあった。データ解析や統計の前倒しも特徴だがこれらの項目はほぼガン無視状態だった。
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posted at 14:14:18
一つ前のツイの内容と www.edu-ctr.pref.okayama.jp/chousa/study/i... の平成18年度275号から抜粋した添付画像を比較すると大変なことになっていることがわかります。何が起こっているか、わかりますか？ pic.twitter.com/KgIKkpWZFP
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posted at 14:10:50
いやもうね、教えててあれ、どっちが標準だっけ？って要らん事で悩んだりして頭が交錯して困ります。 @genkuroki: なぜか高校では「複素平面」ではなく「複素数平面」という古臭い言い方で教えることにしてしまったことも不思議。用語は数学的本質そのものではないのだから、普及して、、
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posted at 14:10:07
学習指導要領解説算数編には【一つの数量を表すのに（）を用いることや乗法、除法を用いて表された式が一つの数量を表したりすることを確実に理解できるようにする】と意味不明の説明がある！ pic.twitter.com/JtGLyAT9CI
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posted at 14:08:41
純粋な用語レベルでの非標準的なこだわりですんでいれば大した問題はないのだが、「これは、あかん！」と言いたくなる理屈レベルでのおかしなこだわりを発見することもある。たとえば何度も話題にしている小学校算数での学習指導要領解説における演算の優先順位に関するおかしな説明。
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posted at 14:07:18
「複素数平面」が個人的な感覚で古臭い言い方に聞こえる理由は竹内端三『函数概論』（共立出版）とか高木貞治『代数学講義』（共立出版）のような昔出版された名著に「複素数平面」と書いてあるから。どちらも読んだ。 mathsci.blog41.fc2.com/blog-entry-60....
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posted at 13:59:26
実際に使う数学を勉強するときには、「整式」なんて用語に出会うことはないと思う。「多項式」という用語が普及している。普及している意味での「多項式」は項が0個と1個の場合(ゼロと単項式)を含む。高校の学習指導要領解説の用語法は非標準的である。
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posted at 13:54:03
@genkuroki 「複素平面」よりも「複素数平面」のほうが二次元ユニタリ空間と誤解される危険が小さくなります。 #そういう問題ではない
タグ： そういう問題ではない
posted at 13:52:40
ようやっと行列の掛け算慣れてきたな(-｡-)y━･~~
高校で2次の正方行列ばっかり取り扱ってた意味もわかった(-ε-)計算だるい＆平面の点しか取り扱わない、ということなんだな、意識化したことなかった
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posted at 13:52:26
数学的能力が高ければ用語法が非標準的であっても大して困らない。用語に頼らずに数学的概念そのもので考えることができるからだ。しかし、平均的数学ユーザーにとっては普及している用語を知っていることは重要だと思う。だから教育課程では普及している用語を教えるべきだと思う。
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posted at 13:49:40
koji hasegawa @myfavoritescene
文科省が時間を読み違えた理由が知りたいがそこまでは情報がない。教科調査官に誰か聞いて欲しい。
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posted at 13:47:01
非公開
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posted at xx:xx:xx
なぜか高校では「複素平面」ではなく「複素数平面」という古臭い言い方で教えることにしてしまったことも不思議。用語は数学的本質そのものではないのだから、普及している用語をそのまま教えた方が良いと思われるのに、わざわざ古臭い用語を導入。合理的理由が一つも思い浮かばない。
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posted at 13:46:08
ただもう教育界全体が無駄で不毛な範囲主義？に毒されてるようで子供達に余計な事には関わらない姿勢が蔓延？ @genkuroki: @tsatie 【複素平面は勝手に知ってた】そうなんです。複素平面は複素数と平面上の点を同一視するだけのことなので導入自体は自明。、、、書き直しに、、。
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posted at 13:38:16
あと、高校のカリキュラムに初等整数論が入った経緯も知りたいところです。ユークリッドの互除法は入れたくなる気持ちがわからないでもないが、３進法での0.1とか、部屋割り論法とか入れる必要あったのかな？（学習指導用慮解説p.48を参照 www.mext.go.jp/a_menu/shotou/... ）
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posted at 13:28:27
僕らの世代は教科書には複素平面がなく、行列が入って先生方は生き生きと教えてはった初期の段階。複素平面は勝手に知ってたなぁ。 @genkuroki: 出たり入ったりしていたのは複素平面と一次変換。不思議なのは複素平面自体は自明過ぎて大した概念でもないのに出たり入ったりしていること。
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posted at 13:26:40
悩みの種 @genkuroki: 複素平面大好きな数学者たちが複素平面の問題を大学入試で本気で出しまくったら、滅茶苦茶大変なことになりそうだよなあ。みんな本当に好きだし、道具として使いまくっている人も多いからね。行列にしておけば万人にとって役に立つ普遍的な道具の範囲を超えずに、、
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posted at 13:24:02
ぼくの感覚で、複素平面の導入は自明で、極表示の応用は三角函数を使った極座標と三角函数の加法公式の応用の書き直しに過ぎないので、複素平面にわざわざカリキュラムの一項目を割く必要はないという感じ。きちんと行列を入れたままにするべきだった。
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posted at 13:23:03
法学部の教授に、うちは数学なんて関係ない、いらないから、と言われた。あんなに適当な左辺と右辺をイコールで結び、何で今これ？みたいな公式使うような雑な思考する学生たちが司法試験に受かるわけがない。何年かに1人くらいしか受からなくて当然。
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posted at 13:20:33
複素平面の話に戻ると、複素数 z=x+iy を導入するときに平面上の点 (x,y) との対応を付けておいて、あとは三角函数による極座標表示や加法公式をやるついでに「複素数を使って書きなおすと～」やればいいだけだと思うんだけど、ぼくは何か誤解している？
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posted at 13:20:00
@kzaukzaufu 続き。(q,q')は２つの変数を意味したり、時間の函数とその導函数の組(q(t),q'(t))を意味したりします。単なる２つの変数なら∂q'/∂q=0は自明。q'をvと書けば混同が減ります。この辺の記号法の習慣は混同を招き易いので要注意だと思います。
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posted at 13:14:17
@kzaukzaufu 「速度を座標で微分」の話とはオイラー・ラグランジュ方程式 d(∂L/∂q')/dt-dL/dq=0の q, q' について ∂q'/∂q=0 となることですか？これは q, q' が二通りの意味で使われているだけのことで、実は数学的にはつまらない話。続く
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posted at 13:11:44
教養、私の講義に学生が集まり過ぎて、他のに来ないので、私を教養から外せと言い出した方とそれに賛同する方がおられたそうな。あなた方の講義を学生が取らないのは私のせいですか？あと、変に情熱あって、学生にも人気がある教員は、時として大学改革の邪魔になるとも。はい、はい。
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posted at 13:08:10
続き。「実際に必要になる数学は学習指導要領やらに書いてあるか否かと無関係に決まっている」という事実は知っておいた方がよいかも。そして学習指導要領に制限された数学で役に立たない分野は皆無。(中学校以下の数学と算数の学習指導要領解説には無駄で有害なこだわりが一部含まれているが。)
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posted at 12:57:27
ご返事ありがとうございます、やってみたら、瞬殺でした、ただラグラジアンは複雑で、どう対称性を見つけるのか難しい、疑問2は速度を座標で微分すると、速度は時間の関数だから、0になるのが、理解できた、関数は変数を理解することが大切なことが分かった、 "@genkuroki: @
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posted at 12:52:38
続き。その公式の右辺の三角函数の外の掛算と足算の組み合わせは複素数の掛算や行列の掛算できれいに書け、さらに平面を回転させる話と関係があって、それら全体がとても基本的な数学の話になっています。高校で教わっているか否かとは無関係に基本的な数学は仕事（や趣味）で使われることになります。
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posted at 12:36:15
三角函数の加法公式とは cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b と sin(a+b) = cos a sin b + sin a cos b という三角函数の中の足算を三角函数の外の掛算と足算に変換する公式のことです。続く
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posted at 12:32:25
複素平面話の続き。平面の極座標表示と回転と三角関数の加法公式の関係という三角函数を理解したと言えるためには本質的な事柄をすでに既習ならば、高校学習指導要領における複素平面の話は「自明な導入」＋「複素数を使った単なる書き換えの練習問題」で尽きているんじゃないの？
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posted at 12:24:46
@genkuroki こんにちは。いつもtwを興味深く拝見しています。現在高校一年の息子が二年から理系クラスに進む予定です。行列が実質ないと知ってショックです。知人のお子さんは工業高校から工業大学に進学して、行列の知識がない為に授業についてゆけず留年したという話でした。
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posted at 12:22:26
訂正。上で「行列が数Cに追いやられて、将来数表を扱う必要のある高校理系クラスでは実質的に行列を教えないことになった」の「高校理系クラス」は正しくは「高校文系クラス」です。
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posted at 12:22:08
続き。平面の極座標表示と回転と三角関数の加法公式の関係は複素数(とも行列)とも無関係に重要。これらの複素数と無関係に重要なことがらは、複素数を使って書きなおすことができる。それが複素平面と極表示と複素数の乗法の幾何学的意味の関係の話。
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posted at 12:20:32
続き。平面上の点を(r cos θ, r sin θ) と極座標表示することはものすごく重要。そしてθをθ+φに変えて角度φだけ回転させる話をすると自然に三角関数の加法公式が関係して来る。三角函数に関するこういう形での理解は複素平面とは無関係に重要です。続く
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posted at 12:16:54
複素平面の話に戻る。不思議なのは学習指導要領から複素平面のような容易な概念が出たり入ったりしていること。複素平面の導入自体は簡単で単に複素数z=x+iyと平面上の点(x,y)を同一視するだけ。たとえば平面上の点(1,2)に1+2iと複素数を書き込んだりするだけの話。続く
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posted at 12:14:11
koji hasegawa @myfavoritescene
@genkuroki ameblo.jp/21vertex/entry... 「コアとオプション」の掛け声で123ABCになったので、94年ということでしょう。
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posted at 12:14:08
大学のような教育機関に勤めていれば、数年前から高校理系クラスでも行列について一切触れなくなるという事実を知っていたはず。当然、そのための準備はずっと前から始まっている。あんまり仕事のことをツイッターに書きたくなかったのだが、そういうことになっています。
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posted at 12:11:34
行列が数Cに追いやられて、将来数表を扱う必要のある高校理系クラスでは実質的に行列を教えないことになったのはいつからだったかな。現在ではついに理系クラスでも行列を教えないことになってしまった。仕事で行列を使っている人達はこれから数年間このショックへの対応を検討しておくべき。
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posted at 12:08:37
現在の高２以下の学習指導要領では実質的に行列は教えないということになったが、それ以前は複素数も行列も一応両方入っていて、出たり入ったりしていたのは複素平面と一次変換。不思議なのは複素平面自体は自明過ぎて大した概念でもないのに出たり入ったりしていること。
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posted at 12:06:48
個人的な意見では、行列と複素平面を比較するのは比較相手が間違っている。行列と比較するなら複素数そのものの方だろう。行列を教えないことは、複素数を教えないことに似ている。複素平面と似ているのは、行列による一次変換の表示の方。
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posted at 12:04:41
複素平面大好きな数学者たちが複素平面の問題を大学入試で本気で出しまくったら、滅茶苦茶大変なことになりそうだよなあ。みんな本当に好きだし、道具として使いまくっている人も多いからね。行列にしておけば万人にとって役に立つ普遍的な道具の範囲を超えずにすんでいたのに。
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posted at 12:01:59
scilabでの等高線の描き方
help.scilab.org/docs/5.4.0/ja_...
たとえば先のツイートの入力の続きで
contour2d(x,y,vy,21);
とかすればいいのか。最後の21は等高線の本数。
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posted at 11:56:21
以上のscilabで複素函数のベクトル場をプロットする話のまとめ読みは
twilog.org/genkuroki/date...
でできます。添付の画像は f(z)=z です。
pic.twitter.com/ZOu03SBYy2
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posted at 11:33:12
続き
clf(); champ1(x,y,vx,vy)
でベクトルの長さが色で表示されたベクトル場が表示される。色を使わない場合にはchampを使う。たったこれだけです。
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posted at 11:26:17
続き
for i=1:xc, for j=1:yc, z=complex(x(i),y(j)); if z==0 then v=0; else v=1/z; end;, vx(i,j)=real(v);, vy(i,j)=-imag(v); end;, end;
と入力
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posted at 11:25:09
続き。scilabの使い方。(1)scilabを使えるようにする。無料。ググれ。(2)scilabに
clear; x=[-1:.1:1]; y=[-1:.1:1]; [xr xc]=size(x); [yr yc]=size(y);
と入力。xとyは-1から1まで.1刻み。
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posted at 11:23:38
続き。よくある質問【f(z)=u-ivとしていますが、どうしてすなおにf(z) =u+ivとしないのですか？】への回答。虚部を-1倍しているのはコーシー・リーマンの方程式と体積(面積)保存で渦無しという条件が同値になるようにするためです。実際に流れをプロットすればわかる。
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posted at 11:18:33
続き。以上では簡単な複素函数の流れのみをプロットしてみた。もっと複雑な有理型函数であっても、零点と極の情報さえ得られれば、その近所の流れを全体で適当に繋げれば全体の流れの図が得られる。ただし、体積保存と渦無しという性質に注意する。
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posted at 11:14:56
続き。複素函数 f(z) を実数値函数u, vでf(z) =u-ivと表示し、ベクトル場(u,v)を複素平面にプロットした。描かれる流れの図が体積(面積)保存かつ渦無しになることとf(z)が正則函数になることは数学的に同値。正則函数は体積保存で渦無しの流れと同じ。
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posted at 11:12:39
続き。+2の電荷を持つ粒子が一つと-1の電荷を持つ粒子が二つ近くにある様子。
これは f(z) = 2/(z-.4)-1/(z+.1+.6i)-1/(z+.3-.4i) です。 pic.twitter.com/diBHcAmH8G
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posted at 11:10:29
続き。回転する渦を見たければ f(z)=i/z の様子をプロットしてみればよい。ベクトルの長さを色で表示しているのでわかりにくいが、原点では無限大の速さで回転している。これも原点以外では体積(面積)保存で渦無しの流れになっている。 pic.twitter.com/BqNA8qP9JT
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posted at 11:06:00
RT @shingokatou: Word文書が消えてやる気をなくした方へ ―消えたWord文書の回復法 csms-seo.cocolog-nifty.com/blog/2011/09/w... これは存じ上げませんでした。もんのすごい救われました。記して感謝申し上げます。
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posted at 11:04:24
続き。f(z)=1/(z-0.2) - 1/(z+0.2) は正電荷粒子がz=0.2に負電荷粒子がz=-0.2にある様子。1/z^2の様子に近い。 pic.twitter.com/uYylpUO9uj
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posted at 11:03:50
続き。ベクトルの長さを色で表示しているところがちょっと分かり難い。極(特異点)以外では体積保存で渦無しの流れ。
f(z)=1/z^2 です。これは正電荷粒子と負電荷粒子がくっついている様子になる。 pic.twitter.com/ADpkvHT8i1
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posted at 11:01:24
続き。これは f(z)= -1/z です。一つ前の奴の-1倍。これは吸い込み口または負電荷粒子に見える。極でる原点以外では体積保存で渦無しの流れ。原点の極に流体または電気力線が吸い込まれている。 pic.twitter.com/hlfY3ZgW9J
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posted at 10:59:13
続き。xとyを-1から1まで0.1刻みで動かす。z=x+iyとおいて、f(z)の(実部)と－(虚部)を成分とするベクトルをプロット。ただしベクトルの長さは色で区別。
f(z)=1/z です。湧き出しまたは正電荷に見える。 pic.twitter.com/t7ZQi7DA5X
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posted at 10:56:03
続き。champ1はベクトルの長さを色で表示、長さの通りにベクトルを表示させたい場合はchampを使う。
添付の画像は f(z)=z^3 です。体積(面積)保存で渦なしの流れ。 pic.twitter.com/NlSBXoH8hx
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posted at 10:52:37
続き。電卓代わりにいつも使っているのがscilabです。添付の図はscilabのchamp1函数によるプロット。
添付の画像は f(z)=z^2 です。 pic.twitter.com/H0QIGRfCbc
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posted at 10:50:38
なんだってー！！ "@genkuroki: ぼくがびっくりしているのは（実質的に）高校で行列を教えなくなるという情報が思ったより広まっていなかったこと。この情報は広めないととてもまずいです。広めないと「被害」がより大きくなる。"
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posted at 10:12:44
非公開
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posted at xx:xx:xx
@genkuroki 数学は誰が見てもすぐ分かるというわけにはいかないけれど, 教育学は誰が見ても分かる(間違いも分かってしまう)から?
(勿論冗談ですが)
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posted at 08:42:02
非公開
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posted at xx:xx:xx
お猿さん＠轟驫麤（車馬鹿三乗） @mamachari3_Jpn
@kafji_abe @genkuroki 大学の負担が増える一方ですね。。。 @ 高校数学から行列消滅
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posted at 07:10:12
Minaka Nobuhiro 〈みなか @leeswijzer
@leeswijzer （承前）教養時代の線形代数はもちろん，専門に進んでからの線形統計学でも「ベクトル・行列」は “日常言語” なので，複素平面よりもはるかに応用範囲の広いツール．
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posted at 06:56:48
Minaka Nobuhiro 〈みなか @leeswijzer
［欹耳袋］Togetter -「行列のできない大学1年生 ～ 高校数学から行列が消えた…」 togetter.com/li/320030 ※記憶が正しければ，ワタクシが高校に入った1973年が高校数学でのベクトル・行列の最初の年だった．代わりに前年度までの「複素平面」が消えた．
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posted at 06:11:47
@shanghai_ii このグラフは注目すべき。当初は被災地の経済は全国平均を上回ったが、３年後には震災前水準に落ち、その後は長期低迷期に入ってる。震災前水準に戻ったのは震災１０年後。 pic.twitter.com/yZIECv1mKM
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posted at 02:36:21
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tabuchi takayoshi @tab2_takayoshi
4*3でも3+3+3+3でもいいじゃないか。＞ "@genkuroki: #掛算 続き。それどころか、掛順強制に強くこだわる先生による小３のクラスでの調査では、掛順を逆に書いた子供のほぼ全員が文章題の内容を正しく絵で描けた… pic.twitter.com/4FuO5x6MRI"
タグ： 掛算
posted at 00:00:08
