黒木玄 Gen Kuroki
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2016年07月20日(水)
@genkuroki #数楽 Laplaceの方法の最も易しい例は、λ→∞で
(1/λ)log(Σ e^{λs_i})→max{s_i}.
λ→∞で最大エントロピーmax{s_i}しか効いてこない。
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posted at 23:52:57
@genkuroki #数楽 「log(確率)=λs+o(λ) as λ→∞」の型の設定(大偏差原理)におけるsが(相対)エントロピー(密度)。-sはrateと呼ばれているらしい。大偏差原理が成立していれば、Laplaceの方法が使えて、色々な結論を出せる。
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posted at 23:47:25
@genkuroki #数楽 大偏差原理という用語が妙に権威的に響かないように補足。大偏差原理は「Laplaceの方法が使える設定」の一種に過ぎません。具体的には「log(確率)=λs+o(λ) as λ→∞」の型の設定を大偏差原理と呼んでいるようです。面白い話がたくさんある。
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posted at 23:41:39
@genkuroki #数楽 「熱浴」が「独立同分布の設定」の場合の大偏差原理は、熱浴のサイズ=独立試行の回数のSanovの定理(もしくはCramerの定理)として、(仮定ではなく)証明されているというわけです。
やっと、何となく理解できた気分になれた。
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posted at 23:33:07
@genkuroki #数楽 そして、Taylor展開の2次以上の項は熱浴のサイズV→∞で消える。
こういうストーリーならば、ボルツマン因子による確率分布q_iの変形(確率分布のエッシャー変換)が(独立同分布のような強い仮定抜きに)普遍的に出て来る理由もよくわかります。
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posted at 23:28:22
@genkuroki #数楽 続き。要するに、ボルツマン因子exp(−β(u)E_i)は、熱浴のエネルギーがU以下である確率がサイズV→∞で大偏差原理を満たしていることとおよびエネルギー保存則+αの仮定から、エントロピーのTaylor展開の一次の項から出て来る。続く
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posted at 23:24:54
@genkuroki #数楽 かくして、
(熱浴に接している注目する系がエネルギーE_iの状態である確率)∝q_i exp(-β(u)E_i + o(1))、
ここでo(1)はV→∞で0になる量
という形の欲しい結果が得られます。続く
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posted at 23:20:29
@genkuroki #数楽 続き。(熱浴のエネルギーがU-E_iとなる確率)=exp(S(U-E_i,V))は、V→∞での大偏差原理の仮定から、u=U/V、β(u)=s'(u)とおくと、exp(S(U)-β(u)E_i+o(1))の形になります。続く
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posted at 23:15:13
@genkuroki #数楽 続き。「熱浴と無関係に注目する系のエネルギーがE_iである確率」は、等重率の原理を仮定している場合にはすべての状態iで等しいと仮定することになるのですが、我々はそう仮定していないのでその確率をq_iと書くことにしましょう。
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posted at 23:09:18
@genkuroki #数楽 以下、熱浴と注目する系を合わせた全体のエネルギーはU以下だと仮定。さらに、(熱浴に接している注目する系のエネルギーがE_iである確率)=(熱浴と無関係に注目する系のエネルギーがE_iである確率)×(熱浴のエネルギーがU-E_i以下である確率)と仮定。
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posted at 23:06:36
@genkuroki #数楽 続き。その仮定は熱浴のサイズをVと書くとき、S(U,V)=log(熱浴のエネルギーがU以下の確率)=Vs(U/V)+o(V)という典型的な大偏差原理の仮定です。S(U,V)は(相対)エントロピーで、s(u)は(相対)エントロピー密度。続く
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posted at 23:00:37
@genkuroki #数楽 続き。熱浴についてはできる限り仮定を少なくします。独立同分布のような仮定はおかない。しかし何も仮定しないと先に進めないので、熱浴の確率分布について、熱浴のサイズ→∞での漸近挙動に関する仮定(ある種の大偏差原理の仮定)をおきます。続く
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posted at 22:55:31
@genkuroki #数楽 続き。熱浴に注目する系が接しており、熱浴と注目する系を合わせた全体でエネルギー保存則が成立していると仮定。(ボルツマン因子を出すためには等重率の原理の仮定は必要ないので、以下では仮定しないことにします。) そして、熱浴のサイズ→∞の様子を見る。続く
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posted at 22:51:25
@genkuroki #数楽 続き。注意深く書かれた統計力学の教科書(代表格は田崎さんが書いた教科書)では、熱浴が独立同分布の状況でなくても、ボルツマン因子が普遍的に出て来る理由が書いてあります。カノニカル分布=確率分布のエッシャー変換の普遍性を理解するとめには大事だと思う。続く
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posted at 22:46:18
@genkuroki #数楽 続き。統計力学の話に戻る。初歩的な確率論でよく出て来る「独立同分布」の設定(サイコロを何度もふる話だと思っておけば間違いない)では、熱浴の役目を果たすのは「独立同分布の試行を大量に繰り返すこと」になります。試行回数n→∞での様子を見る話。続く
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posted at 22:42:49
@genkuroki #数楽 続き。等重率の原理を仮定しない場合のカノニカル分布(指数型分布族に含まれる分布)の例もあって、二項分布、多項分布、ポアソン分布などがそうです。ガンマ分布や第1種と第2種ベータ分布は等重率の原理を仮定した場合の指数型分布族の例になっている。続く
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posted at 22:38:06
@genkuroki #数楽 続き。等重率の原理を仮定していない場合のカノニカル分布は、統計学では「指数型分布族」と呼ばれています。
たとえば、正規分布は統計力学でのMB分布として登場するので等重率の原理を仮定した場合のカノニカル分布の例になっています。続く
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posted at 22:29:55
「貧困家庭の子どもたちだけをターゲットに施策を打っているつもりはありません。明石市の対象はあくまで『すべての子どもたち』です。」/「救貧」から「防貧」へ。 / “「子どもの貧困対策をするつもりはない」と 対策先進市・明石市長が言…” htn.to/dfv54DHsho4
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posted at 22:29:35
@genkuroki #数楽 続き。最近知ったのだが、等確率の原理を仮定しない場合のカノニカル分布は、金融方面では「確率分布のエッシャー変換」と呼ばれているらしい。どういう歴史的経緯でそのように呼ばれるようになったかについては何も調べていない。カノニカル分布は極めて普遍的。続く
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posted at 22:25:30
@genkuroki #数楽 続き。注意：私は応用先を統計力学に限定しない数学的な考え方を勉強したいと思って色々調べているので、等確率の原理(等重率の原理)は仮定しないように気をつけている。ボルツマン因子の導出は等確率の原理とは無関係。以前はそのことを理解してなかった。続く
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posted at 22:20:32
@genkuroki #数楽 続き〜、ボルツマン因子e^{-βE}はクリアに出て来る。最小KL情報量の原理(=最大相対エントロピーの原理)がSanovの定理によって数学的に厳密かつクリアに正当化され、ラグランジュの未定乗数法でボルツマン因子が出て来る。続く
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posted at 22:16:57
うん。不安煽りデマによって、不必要に多くの人たちの人生を変えてしまいました。
RT @kobonona @kumikokatase 本来必要のなかった引越しをした人、離婚した人、失職した人、泣き寝入りした人・・・。たくさんの人が振り回されて惑わされて被害に遭ってますよね。
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posted at 21:50:47
@kumikokatase 本来必要のなかった引越しをした人、離婚した人、失職した人、泣き寝入りした人・・・。たくさんの人が振り回されて惑わされて被害に遭ってますよね。
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posted at 21:47:08
大阪大学産婦人科のグループが、子宮頸がん予防ワクチンの接種勧奨の一時中止に伴う影響を、各年度でのワクチン接種率をもとに算出し、HPV感染リスクが生まれ年度によって大きく異なる可能性を明らかにした。
resou.osaka-u.ac.jp/ja/research/20...
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posted at 20:54:14
どこでも似たような状態なんだな。twitter社ええかげんにせえよ…… ／女優のレスリー・ジョーンズは嫌がらせを受けてTwitterを去った | TechCrunch Japan jp.techcrunch.com/2016/07/20/201... @jptechcrunchさんから
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posted at 18:14:12
子宮頸がん検診を受けることで、子宮頸がん死を半分に減らせるとしよう。「検診を受ければ平気という神話はダムを造れば洪水を防げるという神話と一緒でしょｗ」などという検診反対論があったらおかしいでしょ。それと同じ。
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posted at 08:20:08
「HPVワクチンは完璧ではない・HPVの一部しか感染を防げない」という反対論があるが間違っている。100種類あるHPVの2種類しか防げなくてもその2種類が子宮頸がんの50％の原因だったら、完璧ではないにせよ、半分程度の効果は期待できる。
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posted at 08:19:49
田中康夫氏は、「子宮頸がんワクチン オピニオンクロス」にて「HPVの52型、58型がまず子宮頸がんになる場合の50％はこのケースだと言われています。日本は」と仰っていますが誤りです。どちらも数%程度です。
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posted at 08:10:54
単純にプログラミングの記事を書くのに比べて数学の記事を書くのは10倍ぐらい大変というのもある（数値は適当）。この辺はタブレット＋スタイラスが当たり前に普及して手書き文字や図の認識技術にブレイクスルーが起きると一気に変わるのかもしれない。
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posted at 00:08:11
石原都政の間に都立学校での教員の管理が強化され個々の教員が自由に教育する空気が失われたと聞く。国全体の流れとも呼応することだから東京だけで変わるのは容易ではないだろうが教員が個性を生かして教育に携われる体制を是非とも取り戻してほしい。
それが少しでも期待できる候補はやはり一人か。
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posted at 00:02:02
