黒木玄 Gen Kuroki(@genkuroki)/2016年10月01日

#掛算算数で数直線上の倍数に丸をつけさせるような教え方があることは何となく認識していたので、以前は学生から質問があると「算数でやっていたようなことをやれば大学の数学も色々わかるようになる」と言っていたのだが、最近滅茶苦茶言い難くなった。

タグ：掛算

posted at 18:20:06

#掛算「イデアルって何ですか？」という質問は大学数学科では定番。とても良い質問だと思う。そういう質問はどんどんした方がよい。その代わりに話が長くなることは覚悟しておくべきだ。大学数学科でやっていることは実は算数レベルの話に直結している。

タグ：掛算

posted at 18:15:17

#掛算「整数aそのもの」の代わりに「数直線上のaの倍数にすべて丸をつけたもの」を扱うことにして、約数・倍数の関係や、最小公倍数、最大公約数の概念も「数直線上の丸」で理解するようにすれば、0を例外扱いする必要は消え去ります。この話は大学数学科での環のイデアルの話に直接繋がる。

タグ：掛算

posted at 18:13:49

非公開

タグ：

posted at xx:xx:xx

#数楽私は昨日RStanを入れたばかりで何もいじっていないのでよくわかっていないのですが、WAICとWBICの計算例をすでに持っている人がいるなら、その手順を是非とも公開して欲しいものだと思います。WAICについては www.slideshare.net/simizu706/waic を発見した。

タグ：数楽

posted at 17:51:35

#数楽そのWBICに関する渡辺澄夫さんの論文は jmlr.csail.mit.edu/papers/v14/wat... から誰でも無料でダウンロードできます。渡辺澄夫さん自身による解説は watanabe-www.math.dis.titech.ac.jp/users/swatanab... に色々置いてあります。これって実用的な話なんじゃないか？

タグ：数楽

posted at 17:48:38

#数楽補足続き。(4)自由エネルギー自身の漸近挙動の解析にはb函数を用いて解析接続されたゼータ函数が使われる。「コンピューターでの計算量を減らす」というようなことに純粋数学の花形がまたしても役に立っているのを見ると「やっぱりそういうことなんだよね」と言いたくなります。

タグ：数楽

posted at 17:45:37

#数楽補足続き。(3)自由エネルギーの定義式の中には真の確率分布は含まれておらず、原理的にはサンプルx_kたちから計算可能。しかし、その計算は相当に大変だった。しかし、WBIC_nならば必要な計算量を大幅に減らせる。

タグ：数楽

posted at 17:41:30

#数楽補足。(1)WBIC_nを定義するときに使われる逆温度はβ=1/log n．(2)自由エネルギーの漸近挙動のO(n),O(log n),O(log log n)の項までにはサンプルx_kに依存した量は現われません。だから、自由エネルギー自身が小さな推定法が良い推定法。

タグ：数楽

posted at 17:39:52

#数楽続き。nが大きなとき、自由エネルギーF_n^1はO(n)の漸近挙動を持ち、そのn分の1は次のWBIC_nのn分の1で近似されるようです：
WBIC_n=-Σ_w log(p(x_1|w)…p(x_n|w))φ_n^β(w)．
これはサンプルx_kのみから計算可能。

タグ：数楽

posted at 17:34:15

#数楽続き。なんと、逆温度がβ=1/log nの場合が、
モデルの性能評価のために計算したいβ=1の自由エネルギー
F_n^1(x_1,…,x_n)=-log Z_n^1(x_1,…,x_n)
の近似計算に役に立つのです！→ watanabe-www.math.dis.titech.ac.jp/users/swatanab...

タグ：数楽

posted at 17:29:08

#数楽続き。逆温度βを含む一般化された事後分布は
φ_n^β(w)=p(x_1|w)^β…p(x_n|w)^β φ(w)/Z_n^β(x_1,…,x_n)．
統計力学の計算をちょっとでもしたことがある人ならば本当に誰にでも思い付く式。問題は統計学的に意味があるか。続く

タグ：数楽

posted at 17:24:21

#数楽ベイズ統計における分配函数の話に戻る。統計力学における分配函数の話を知っていれば、それを逆温度βを入れた形に一般化することは誰でも思い付きます: Z_n^β(x_1,…,x_n)=Σ_w p(x_1|w)^β…p(x_n|w)^β φ(w)．事後分布も一般化される。

タグ：数楽

posted at 17:20:49

#掛算「aの倍数とbの倍数の和と差になっているような数全体の様子を想像しろ」といきなり言われても大変なのですが、実は「aとbの最大公約数の倍数全体を想像すればよい」というのが最大公約数に関する驚くべき法則。aとbを具体的に与えれば数直線上で確認できる。

タグ：掛算

posted at 16:27:00

#掛算 0が含まれると倍数・約数に不安になる人はこのツイートの返答連鎖をたどって数直線上に丸をつける遊びをしばらくやってみるとよいと思います。数学を理解するこつは「子供がやりそうなこと」に時間をかけることだと思う。最大公約数の結果は答えを知っていても実際にやると感動します。

タグ：掛算

posted at 16:22:06

#掛算算数や数学でたぶん一番大事なことは「幾つか具体例をチェックしてみると偶然そうなったとは考えることが不可能な特別に綺麗な法則が見えて来ることがある」という事実だと思う。その綺麗な法則をどう呼ぶかは二次的な問題。綺麗な法則に気付いた途端に記憶するべき項目がすべて消え去る。

タグ：掛算

posted at 16:04:55

#掛算続き。「子供達に数直線上にどんどんマルをつけさせて何かを発見させることができれば面白い算数の授業ができそうじゃないか？」と私は思うのですが、0を含む数直線で2の倍数として0に丸をつけるとバツにされるような日本の算数教科書ワールドではそういう授業は不可能だと思う。

タグ：掛算

posted at 15:59:09

#掛算続き。答え：aの倍数とbの倍数の和または差になっている数全体はaとbの最大公約数の倍数全体と一致している！

これはユークリッドの互除法で可能。各具体例ごとのチェックは小学校レベルです。この結果は符号理論や暗号理論では空気のごとく使われます。役に立つ数学の典型例の一つ。

タグ：掛算

posted at 15:57:02

#掛算最大公約数を理解するには負の数もまとめて扱った方が多分楽。負の数を含む数直線上のaの倍数とbの倍数のすべてに丸を付ける。aの倍数とbの倍数の和(または差)になっている数にもどんどんマルをつける。このときマルをつけられてしまう数の全体はどうなっているでしょうか？続く

タグ：掛算

posted at 15:54:12

学生が、希薄溶液でのみ成り立つ近似を「基本法則」だとか「真実」だと思い込んでいて溶液論を教える時に悩まれるなんて事があった。化学平衡について教え始めるときに濃厚溶液で起きる事は面倒だから置いておくというのはアリだろうけど、教えた範囲の事が一般的な真実だと思い込まれてると困る。

タグ：

posted at 15:53:01

#掛算「aとbの最小公倍数の倍数全体」と「aの倍数全体とbの倍数全体の共通部分」は一致する。たとえば、数直線上の4の倍数と6の倍数に印をつけて両方の印がついた数全体がどうなっているかを見ると、4と6の最小公倍数12の倍数全体になっている。もっと面白いのは最大公約数。

タグ：掛算

posted at 15:51:42

#掛算 aがbの約数であることと、bがaの倍数であることは、aの倍数全体がbの倍数全体を含んでいることは同値になります。むしろこれを約数・倍数の定義として採用するべきと言いたくなるくらい。0はあらゆる数の倍数であり、あらゆる数は0の約数であることもわかる。

タグ：掛算

posted at 15:46:21

#掛算倍数・約数には色々な考え方があって面白いのですが、一つの考え方は数直線上にaの倍数全体がどのように分布しているかに注目すること。(算数レベルの段階で可能ならば-1,-2,…も含めて数直線を描いた方がわかりやすいと思う。)続く

タグ：掛算

posted at 15:43:43

#掛算自分で考える能力があって保護者の助けを借りられる子供なら大丈夫だと思いますが、運の悪い子供は算数の教科書のおかしなスタイルのせいで不幸な方向に追いやられてしまっているかも。算数の教科書くらい独自のとんでもスタイルを止めて普通の常識的スタイルにできないものかねといつも思う。

タグ：掛算

posted at 15:31:44

#掛算日本の算数教科書が「0は偶数だけど、2の倍数ではない」となっていることに関する証拠は次の連続ツイートにある→ twitter.com/genkuroki/stat...

タグ：掛算

posted at 15:28:16

#掛算 Re:RTs 日本の算数教科書ワールドでは基本的に「0は偶数であるが、0は2の倍数から除く」ということになっており、教科書によっては0を含む数直線を示して「3の倍数に丸をつけよ」と書いてあって0に丸をつけるとバツになる教え方をする方針になっている。とんでも算数の世界。

タグ：掛算

posted at 15:22:48

#数楽渡辺澄夫著『ベイズ統計の理論と方法』 www.amazon.co.jp/dp/4339024627 の「初等確率論の基礎」の最終章にKullback-Leibler情報量について簡単な解説がある。KL情報量に関する詳細については→ www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/...

タグ：数楽

posted at 15:06:03

#数楽リンク
渡辺澄夫さん著のベイズ統計に関する教科書
www.amazon.co.jp/dp/462781321X
www.amazon.co.jp/dp/4339024627

上の方の連続ツイートの記号法は渡辺澄夫さんのそれに近いものにしたつもり。

タグ：数楽

posted at 14:46:22

#数楽リンク
田崎晴明さん著の熱力学と統計力学の教科書
www.amazon.co.jp/dp/4563024325
www.amazon.co.jp/dp/4563024376
www.amazon.co.jp/dp/4563024384

タグ：数楽

posted at 14:44:20

#数楽以前、田崎晴明さんの熱力学と統計力学の解説に出会って、学生時代に「怪しげげよくわからない」と思っていた事柄がことごとく解消したのと同じ感覚を、渡辺澄夫さんによる解説を読んで感じています。どちらの解説も「註」に該当する部分に大事なことがたくさん書いてある。なんか似ている。

タグ：数楽

posted at 14:39:53

#数楽続き。しかし、観測されたデータx_1,…,x_nを用いて、それらを近似値を計算することは可能。そういう話が渡辺澄夫さんのウェブサイトで解説されているわけです。おすすめ！
watanabe-www.math.dis.titech.ac.jp/users/swatanab... (iPhoneならドルフィンブラウザで閲覧できる)

タグ：数楽

posted at 14:36:46

#数楽続き。このp_n(x)と真の分布q(x)のあいだのKL情報量Σ_x q(x) log(q(x)/p_n(x))が小さいほどp_n(x)の性能は高いということになります。

ただし以上に登場したKL情報量は未知である真の確率分布を含んでいて直接には計算不可能です。続く

タグ：数楽

posted at 14:34:45

#数楽続き。サンプルx_1,…,x_nから学習モデルp(x|w)と事前分布φ(w)によって作られた次のx_{n+1}の確率分布のモデルはp_n(x_{n+1})=Z_{n+1}(x_1,…,x_n,x_{n+1})/Z_n(x_1,…,x_n)とシンプルに書けます。

タグ：数楽

posted at 14:32:44

#数楽続き。たとえば、同一のサンプルx_1,…,x_nを用いて作られた次のx_{n+1}の確率分布を予測するためのモデル(多くの場合にベイズ学習によってコンピューター上にすでに作られているモデル)の評価には別の方法が必要になります。

タグ：数楽

posted at 14:29:52

#数楽続き。ただし、このタイプの性能評価は
真の確率分布が生成する数列x_1,…,x_nの予測精度が高い学習モデルp(x|w)と事前分布φ(w)の組
を得たい場合には適切なだけで、目的がこれとは違う場合には不適切な基準になります。続く

タグ：数楽

posted at 14:25:14

#数楽 KL情報量は小さい方がZ_nによる予測は精度が高く、nS(q)は推定の道具として選ぶp(x|w)とφ(w)に依存じないので、自由エネルギーF_n=－log Z_nの真の確率分布に関する平均が小さいp(x|w)、φ(w)の組合せの方が優れているとみなすことができます。続く

タグ：数楽

posted at 14:22:17

#数楽続き。感情的には一つ前のツイートの文末はすべて「！」にしておいた方がよかったかも。数学的な事柄について色々勉強していれば経験的に各種「母函数」の重要さは身に染みて分かるようになって来るのですが、分配函数や自由エネルギーがなぜ重要かについてはいつまでも不思議さが残る。

タグ：数楽

posted at 14:11:08

#数楽続き。統計力学とは全然違うベイズ推定の状況であっても、分配函数が特別な意味(真の確率分布によって数列x_1,…,x_nが得られる確率の推定値)を持ち、さらにその対数である自由エネルギーが推定の精度の高さを測る文脈で自然に登場する仕組みになっている。

タグ：数楽

posted at 14:08:49

#数楽続き。統計学処分やでは、分配函数は確率の総和を1にするための規格化定数として登場するのですが、なぜか分配函数を計算できれば大事なことがすべてわかる仕組みになっていることが多い。そして、分配函数の対数である自由エネルギーが現象との直接の関係で重要になることが多い。続く

タグ：数楽

posted at 14:06:47

#数楽続き、
S(q)=Σ_x q(x) log q(x)
は真の確率分布q(x)のエントロピーです。
2つ目の項は自由エネルギー
F_n(x_1,…,x_n)=－log Z_n(x_1,…,x_n)
の真の確率分布に関する平均になっています。
自由エネルギーも自然に出て来た！

タグ：数楽

posted at 14:04:57

#数楽そのあいだのKL情報量はx_1,…,x_nに関する和で次のように書ける:
Σq(x_1)…q(x_n) log(q(x_1)…q(x_n)/Z_n(x_1,…,x_n))
=nS(q)-Σq(x_1)…q(x_n) log(Z_n(x_1,…,x_n)).
ここで～続く

タグ：数楽

posted at 14:02:26

#数楽続き～q(x_1)…q(x_n)です。
確率分布Z_n(x_1,…,x_n)によって真の確率分布q(x_1)…q(x_n)がどれだけ再現されるかはそのあいだのKullback-Leibler情報量がどれだけ小さいかを見ればわかる。(KL情報量は空気のごとく重要)続く

タグ：数楽

posted at 13:58:09

#数楽 Z_nの性能は(未知である)真の確率分布が生成した数列x_1,…,x_nにおける値が高い方が良い。この直観を精密化するにはまたしてもKL情報量を利用します。各xの真の確率をq(x)と書くとき、数列x_1,…,x_nが真の確率分布のもとで得られる確率は～続く

タグ：数楽

posted at 13:55:10

#数楽続き。「確率の総和は1」という条件Σ_x p(x|w)=1、Σ_w φ(w)=1が成立していれば(通常そう仮定する)、Z_nもΣ_{x_1,…,x_n}Z_n(x_1,…,x_n)=1を満たしています。Z_nは数列x_1,…,x_nが得られる確率のモデルになっています。

タグ：数楽

posted at 13:50:48

#数楽続き。
Σ_w P(X=x_1|W=w)…P(X=x_n|W=w)P(W=w)
はランダムに選んだルーレットをn回まわして数列x_1,…,x_nが得られる確率で、分配函数
Z_n(x_1,…,x_n)=Σ_w p(x_1|w)…p(x_n|w)φ(w)
の値は「推定値」。

タグ：数楽

posted at 13:46:01

#数楽続き。ベイズの定理的状況では正しく確率(分布)が計算されるのですが、ベイズ推定は未知の確率(分布)の推定を行なっているので正しい確率(分布)が得られている保証はなく、その推定値とみなされる量が計算されるだけになります。続く

タグ：数楽

posted at 13:41:56

#数楽続き
Σ_w P(X=x_1|W=w)…P(X=x_n|W=w)P(W=w)
はルーレットを回す側がルーレットwを確率P(W=w)で選んでルーレットwをn回まわすとき、数列x_1,…,x_nが得られる確率になる。これが分配函数のベイズの定理的状況における対応物です。続く

タグ：数楽

posted at 13:38:18

#数楽続き。このとき、P(X=x_1|W=w)…P(X=x_n|W=w)はルーレットwをn回まわして得られた数列がx_1,…,x_nになる確率です。ルーレットをまわす側がルーレットwを選ぶ確率はP(W=w)と書かれるので、～続く

タグ：数楽

posted at 13:35:17

#数楽続き～我々は知らないとします。我々が知らされるのはルーレットを回してでた数X=xだけです。ルーレットを回す側はランダムに確率P(W=w)でルーレットwを選びます。ルーレットwを選んだときにX=xとなる確率はP(X=x|W=w)と書かれます。続く

タグ：数楽

posted at 13:32:16

#数楽続き。ベイズ推定における分配函数Z_nの定義は
Z_n(x_1,…,x_n)=Σ_w p(x_1|w)…p(x_n|w)φ(w).
これのベイズの定理の状況での対応物は何でしょうか？
次のような問題を考えます。複数のルーレットwがあり、どのルーレットをまわしたのか～続く

タグ：数楽

posted at 13:29:11

#数楽続く。忘れていた分配函数Z_nの話。復習。ベイズ推定における学習モデルp(x|w)とパラメーターwに関する事前分布(事前確率)φ(w)は、ベイズの定理における条件付き確率P(X=x|W=w)と確率P(W=w)の類似物になっているのでした。続く

タグ：数楽

posted at 13:17:13

#数楽続き。真の法則を知ることなく、モデルと真の法則のあいだの誤差を近似的に求めることの例として、赤池情報量基準AICやそれよりも圧倒的に広い状況で利用できてしかも精度も高いWAICがあります。コンピューター上で実装可能な例がきちんとあることが大事。

タグ：数楽

posted at 13:09:00

#数楽続き。以上で述べたような話を単なるお話ではなく、具体的な数学的議論と数値的な実験で理解したい人にとって、ベイズ統計は十分な複雑さと精妙さを兼ね備えたとてもよい題材なのではないかと思います。信頼できる知識を得るためには「漸近挙動に関する数学的結果」が大事になる。

タグ：数楽

posted at 13:01:41

#数楽続き。繰り返しになりますが、ポイントは、漸近挙動に関する数学的な法則を使える状況であれば、真の法則を知ることができなくても、推定で得た法則のモデルと真の法則のあいだの誤差を見積もることはできるということです。科学一般において漸近挙動に関する数学的法則は非常に大事。

タグ：数楽

posted at 12:59:30

#数楽続き。様々な推定法についてもn→∞での振る舞いが色々わかっていて、そのことを利用すると、目的に応じた推定結果の精度の高さを計算する仕組みを作ることができます。それによって真の法則自体は永久にわからないままなのに、推定で得た法則の真の法則からの誤差の大きさは評価できる。

タグ：数楽

posted at 12:56:27

#数楽続き。仮想的に設定された確率論的な世界では、未知の真の法則はその法則が生成するサンプルのサイズnをどんなに大きくしてもそこから正確な法則を知ることはできない。しかし、確率論的な設定の多くでn→∞の漸近挙動が色々わかっている。大数の法則、中心極限定理はその典型例。続く

タグ：数楽

posted at 12:51:49

#数楽続き。それに対して「観測データに基いて学習モデルp(x|w)だけではなく事前分布φ(w)の取り方も変えて真の確率分布q(x)の推定を試みる行為」を「信頼できる知識を得るための行為」のおもちゃ的なモデルとみなすことは色々な意味で有益だと思う。続く

タグ：数楽

posted at 12:40:12

#数楽続き～持っていて、しかも予測の精度の近似値を計算して複数の事前分布を比較してより適切な事前分布を選び直すことさえ可能なはずなので、固定された事前分布の事後分布への更新だけで合理的な人がすますはずがないからである。予測の精度を上げるためにはもっと複雑な計算が必要。

タグ：数楽

posted at 12:34:06

「適用範囲外である（適用してはいけない）」というのと「適用範囲内だが面倒だから今は教えない」というのは厳然と異なる。後者に対して「そのあたりに将来学ぶべき面倒な要因があるのだ」という事に興味を示す人間は育つ。

タグ：

posted at 12:31:28

#数楽続き。事前分布の事後分布への更新を「合理的な人がデータに基いて主観的な確信の度合いを変える行為」のモデルとみなすこともあまり適切とは言えないと思う。なぜならば、本当に合理的な人であれば、事前分布の選択の仕方によって予測の精度がどのように変わるかに関する数学的知識を～続く

タグ：数楽

posted at 12:30:43

「○○については後で考える事にして今は置いておく」という意味で「○○については考えない事にする」というのを、「○○について考えるのは間違いである」と解釈してしまう人は多い。

タグ：

posted at 12:28:23

@find25182902 @kuri_kurita @vecchio_ciao #掛算　そこは微妙で確かに文言は「０については考えないことにします。」なんだけど、０を含んだ数直線を提示して倍数に○をつけさせることで、「０について考えさせて、倍数ではない」と指導しているのが現状。

タグ：掛算

posted at 12:19:34

0 も -2 も 2 の倍数だよね？

タグ：

posted at 12:19:01

@kuri_kurita

@vecchio_ciao ありゃぁ。😱

タグ：

posted at 12:17:47

@vecchio_ciao @kuri_kurita
↓で報告させていただきました。ご都合悪ければお知らせください。
8254.teacup.com/kakezannojunjo...

タグ：

posted at 12:17:24

砂___の___女 @vecchio_ciao

@sekibunnteisuu @kuri_kurita
0が2の倍数ではない理由の説明はなく、「他の3、4、5の倍数も0には◯をつけない」とだけ言われたらしいです。

タグ：

posted at 12:14:49

@vecchio_ciao @kuri_kurita あ～やっぱりorz　#掛算
中学数学だとなし崩し的に０は倍数のようです。どの段階で０が倍数と教えられるのか不明。
8254.teacup.com/kakezannojunjo...

タグ：掛算

posted at 12:14:06

砂___の___女 @vecchio_ciao

@sekibunnteisuu @kuri_kurita
教科書の次のページ「2の倍数にあたる数を◯で囲みましょう」というところで、2の倍数の0に◯をつけた後、消しゴムで消した形成があったので、次男に確認したところ、「0には◯つけないで」と指導があったそうです。 pic.twitter.com/nM4rq4ve2P

タグ：

posted at 12:08:57

@kuri_kurita @vecchio_ciao 　#掛算　算数教育だと「０はどんな数の倍数でもない」となっているのかどうか、「０は０の倍数である」というのは算数教育界では真なのか偽なのか、私にも分かりませんｗ
算数は難しいｗ

タグ：掛算

posted at 11:11:14

@kuri_kurita