黒木玄 Gen Kuroki(@genkuroki)/2017年03月25日

@genkuroki ああ、問題を勘違いしていました。log型効用を保存する制約の実現方法に注目されていたのですか。ランダムな交換でガンマ分布を作る制約の実現かと……。

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posted at 23:59:22

#数楽 @gilbert_yumu 続き。お金の流れる経路が制限されて、ブロック経済みたいなようなことになると、統計力学(もしくはSanovの定理)が適用できなくなって、自然にガンマ分布が生じることはなくなってしまいます。続く

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posted at 23:58:34

#数楽 @gilbert_yumu 続き。問題は各人の持っているお金をm_iとしたときにΣ log m_i=Lが自然に保たれるようなランダムなお金のやり取りが自然に起こるようなルールをどのように定めるか。ランダムなお金のやり取りは統計力学が適用できるだけ強いものでないとまずい。

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posted at 23:55:09

#数楽 @gilbert_yumu 実際に実験するときには、教室でおもちゃのお金をくばってランダムにお金のやりとりをさせることになります。おもちゃのお金を破って捨てることを禁止すれば配ったおもちゃのお金の総量は保たれます。お金の総量を保つのは簡単。続く

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posted at 23:52:55

#数楽 @gilbert_yumu 続き～は、e^{-β_1 f_1(m)-β_2 f_2(m)}=e^{-β_1 m-β_2 log m}=e^{-β_1 m} m^{-β_2}とガンマ分布が出て来るわけです。あ、すみません。この場合にはβ_2は負にしておかないとまずいですね。

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posted at 23:50:36

#数楽 @gilbert_yumu 続き。出て来る可能性のある分布は所謂指数型分布全般になります。あ、ごめんなさい。一つ前のツイートのNは人数のNとは無関係です。一つ前のツイートのNはKに訂正しておいて下さい。そのKが2でf_1(m)=m、f_2(m)=log mのとき～続く

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posted at 23:47:57

#数楽 @gilbert_yumu 続き。一般に、ランダムなお金のやり取りで、Σ_i f_ν(m_i)=C_ν (ν=1,…,N)が保存されるならば、各人の持っているお金がmである確率はe^{-Σ_ν β_ν f_ν(m)}に比例するようになります(β_νは正の定数)。続く

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posted at 23:44:01

@genkuroki この場合、「交換は同じ印同士」は両替の禁止を意味することになると思います。

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posted at 23:43:25

#数楽 @gilbert_yumu ランダムなお金のやりとりで、各人が持っているお金m_iの総和Σm_i=Mが保たれるだけではなく、log型効用の総和Σlog m_i=Lも一定だとすると、確率はe^{-βm-γ log m}に比例するようになります。続く

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posted at 23:40:52

@genkuroki 効用の総和からではなく、どうすればガンマ分布が作られるかを考えました。たとえば、同額分の紙幣と硬貨が独立に同じ指数分布にしたがうとき、個人で合計したものはk=2のガンマ分布になる、という話です。

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posted at 23:40:47

#数楽 @gilbert_yumu 「指数分布になる」とは「ある正の数βがあって、各人が持っているお金がm円である確率がe^{-βm}に比例するようになる」ということです。mの総和が一定だと、確率はmの指数函数に比例するようになる。続く

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posted at 23:37:05

#数楽 @gilbert_yumu 順番に説明します。
私の話の文脈で指数分布が出て来る理由は「Nは大きい」「N人全体で保有するお金の総量が一定」「ランダムにお金をやり取りする」だけです。何らかの分布を仮定しなくてもそれだけの条件だけから勝手に指数分布が出て来る。続く

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posted at 23:32:53

#数楽 @gilbert_yumu 申し訳ない。log型効用の総和(N人の人がいたときi番目の人がm_i円のお金を持っていたときの効用の総和はαΣ_{i=1}^N log m_i、αは定数)が保存する理由を説明してくれないと何を言っているかわからないのでお願いします。

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posted at 23:28:34

@genkuroki （1）各パーティションの保有額に相関がなく
（2）どのパーティションも同じ指数分布の定常状態に落ち着く
とすれば、（個人合計した）保有額はガンマ分布に従うと思います。

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posted at 23:08:12

@genkuroki 「次元を上げ、各次元を独立とする」です。エネルギーなりお金なりの総量をn個に等分割し、パーティションごとに印をつける。交換は同じ印同士で行うようにする。……でどうでしょうか。

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posted at 23:04:01

@genkuroki 「log型効用の総和を保つ自然な仕組み」について、意味をつかみ損なっているのでは……と危惧はありますが、考えてみました。（「マネー交換」が特別な意味の専門用語なら、この先は的外れです。）

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posted at 23:02:27

@genkuroki 異なる分野で別名がついていることはよくあります。カイ二乗分布のほか、待ち行列解析でいうアーラン分布、高校化学の分子の運動エネルギー分布、これらは全部ガンマ分布です。

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posted at 23:00:45

@genkuroki 自由度2のカイ二乗分布は指数分布、自由度νのカイ二乗分布はk=ν/2のガンマ分布となります。カイ二乗分布の母数はν一つ、ガンマ分布の母数はkとθ（またはβ）の二つなので、カイ二乗分布はspecial caseです。

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posted at 22:58:16

@genkuroki k=1/2のガンマ分布は、
Gamma(k=1/2) + Gamma(k=1/2) = Gamma(k=1)
を満たすものです。これは推測統計学の分野では別の名前で知られていて、自由度1のカイ二乗分布です。

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posted at 22:56:28

@genkuroki 次のことが成り立ちます。
Gamma(k=m) + Gamma(k=n) = Gamma(k=m+n)
kが自然数のとき明らかで、さらにこれが成り立つように非整数へと拡張します。

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posted at 22:55:49

@genkuroki ガンマ分布は、教科書的には同一かつ独立な指数分布変数の和と定義されます。指数分布は形状母数k=1のガンマ分布で、n個足し合わせるとk=nのガンマ分布です。（以下、尺度母数を省略します。）

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posted at 22:53:40

HONDA,So_「暗渠でたどる東京案内 @hondaso

@genkuroki モーメントを興味深く読ませていただきました。頭が追いつかない部分も多いですが、ガンマ分布を作る交換についてだけ。

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posted at 22:53:00

板橋区、区画整理前の前谷津川。今は暗渠化されている。こんな鮮やかなカラー写真が残っているとは驚き。左の煙突のある建物は銭湯だろうか。 pic.twitter.com/5j2GLSOOIR

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posted at 22:16:49

#数楽毎日使っているWolframAlpha
www.wolframalpha.com

適当にTeXっぽい書き方で数式を入力すると関連の数学的情報を教えてくれます。相当に便利です。iPhoneにも有料アプリを入れて使っている。

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posted at 22:02:39

Nobutaka Shimizu @knewknowl

パット見思ったことだけど
f(√x)=√x-f(x)
だあら極限が存在したとすればその値は両辺をx→1の極限をとればf(√x)=f(1)になって1/2になりそう twitter.com/genkuroki/stat...

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posted at 21:51:34

#数楽 twitter.com/genkuroki/stat...
訂正：リンク先の添付画像中のAlframはWolframが正しい。

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posted at 21:47:16

#数楽続き。x^2 log(sin x)で同様のことをやると、実部から

⌠_0^{π/2} log(sin x)dx=(3π/16)ζ(3)-(π3/24)log 2

が得られ、虚部=0から

ζ(4)=π^4/90

の独立な証明が得られます。 pic.twitter.com/eNtkTF4Szr

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posted at 21:27:06

#数楽続き。x log(sin x)の原始函数をダイログとトリログで表わす公式からはEuler全集E432§21にある公式が得られます。Eulerさんがどんな感じの世界を見ていたかが少しわかった気分になりました。やはり、原始函数の明示的な公式があるなら書き下しておいた方がよい！ pic.twitter.com/ywVFaiUcoW

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posted at 19:47:33

#数楽続き。log(sin x)の原始函数の公式F(x)=(略)はF(x)を微分すれば正しさを確認できます。そしてF(π/2)-F(0)の実部から⌠_0^{π /2}log(sin x)dxの値が得られ、(虚部)=0からΣ1/n^2=π^2/6が得られます。超簡単。続く

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posted at 19:44:10

#数楽ここで、log(sin x)の原始函数のダイログによる表示とΣ1/n^2=π^2/6の関係について訂正しておきたいと思います。log(sin x)の原始函数のダイログによる表示*だけ*から⌠_0^{π/2}log(sin x)dxとΣ1/n^2の値がわかります。続く pic.twitter.com/jpM6SdLjNs

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posted at 19:39:55

#数楽このツイートが繋がる返答連鎖の話は、「⌠ log(sin x) dx は本質的にダイログで、⌠ x log(sin x) dx は本質的にトリログなので、それらの特殊値はζ(2)、ζ(3)と関係する」とまとめることができます。

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posted at 14:56:15

#数楽 Euler Archive への直接リンク
eulerarchive.maa.org/pages/E393.html
eulerarchive.maa.org/pages/E432.html

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posted at 14:41:18

#数楽続き。添付画像は twitter.com/Paul_Painleve/... で教えてもらった情報。Eulerさんがどのようにx log(sin x)の積分を扱ったか。 pic.twitter.com/cgDgJwkWlI

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posted at 14:36:56

#数楽続き。添付画像は twitter.com/Paul_Painleve/... で教えてもらった情報。Eulerさんがどのようにlog(sin x)の積分を考えたか。 pic.twitter.com/fEsMdPqpZX

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posted at 14:21:27

#数楽続き。この連続ツイートを読んでしまうような高校生なら、ポリログの素朴な定義をこれで知ることができたと思う。ポリログのx=1での特殊値はEuler-Riemannのゼータ函数の正の整数rでの特殊値ζ(r)に一致します(自明)。例えばLi_2(1)=ζ(2)=π^2/6。

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posted at 13:40:37

#数楽続き。x^k/k^r をxで割って不定積分すれば x^k/k^{r+1} になるので、⌠_0^x Li_r(x)/x dx=Li_{r+1}(x)です。「高々高校レベル」とは言えない記号法が得て来ていますが、modulo iikagenで高校レベルの話。続く

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posted at 13:37:07

#数楽ポリログLi_r(x)の定義はLi_r(x)=Σ_{k=1}^∞ x^k/k^r (を解析接続したもの)です。r=0なら等比級数Li_0(x)=x+x^2+x^3+…=x/(1-x)で、r=1ならLi_1(x)=-log(1-x)で本質的に対数。続く

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posted at 13:35:07

#超算数　森毅　「数学が好きになるには」
www.youtube.com/watch?v=ji7cQC...

面白いおっさんだと思っていたけど、掛け算順序拘り派
福岡伸一曰く「あの森先生ですら結構しんきくさいことを言っていたのですね」
book.asahi.com/reviews/review...

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posted at 13:31:04

深爪＠「親になってもわからない」好評発売 @fukazume_taro

#数楽 x^n log(sin x)の不定積分にポリログが出て来ることは、多重対数函数Li_r(x)の記号法を使っていたり、複素函数としてのlogやexpを扱っている分だけ「高々高校レベル」とは言えなくなっていますが、「高々高校レベル＋ε」程度の難易度のほぼ自明な話でした。

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posted at 12:50:23

中学の教師に「年長者は敬うべき」という話をされたとき、「年長者でもクズはいるし、年下でも尊敬すべき人はいるから、一律で敬えというのは理解できない」といった旨の発言をしたらなんの説明もなくめちゃくちゃ怒られただけに終わって「年上でもクズはクズ」という考えが確固たるものになりました。

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posted at 12:19:40

#数楽というわけで、x^n log(sin x)の不定積分がポリログで書けることはポリログの定義から即導かれる自明なことでした。式が複雑になるのは sin x と 1-e^z の違いが原因。

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posted at 12:13:27

#数楽続き～適用すれば、f_r(z)=Li_r(e^z)なので、

-⌠z^n log(1-e^z)dz=z^n Li_2(e^z)-nz^{n-1}Li_3(e^z)+…+(-1)^n n! Li_{n+2}(e^z). pic.twitter.com/JEQoOS7JaO

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posted at 12:11:43

#超算数　遠山啓は林檎2個・蜜柑3個、あわせて何個？という問題はよくないと言っている。この段階だと“教える側が留意すべきこと”。ところがこれが「林檎と蜜柑は足せない」となり、「ライオンとシマウマは足せるのか？」と子供に問うことになる。www.hm.aitai.ne.jp/~itoh/jugyou/t...

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posted at 12:06:30

#数楽 f_{r+1}の導函数がf_rのとき部分積分の繰り返しによって、

⌠z^n f_r(z)dz=z^n f_{r+1}(z)-nz^{n-1}f_{r+2}(z)+…+(-1)^n n! f_{r+n+1}(z).

これをf_1(z)=-log(1-e^z)に～続く

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posted at 12:02:12

#超算数　遠山啓自身は「２×６でも６×２でもいい」と言って混乱させることを回避したかったのだと思うが、そのことで「２×６でないと駄目」と解釈されてしまった。

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posted at 12:01:58

#超算数　しかし彼の直接の弟子（？）である銀林浩など数教協関係者がこぞって、掛け算・足し算の順序拘り派であるのを見ると、伝言ゲームの恐ろしさを感じる。

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posted at 12:00:00

#超算数　これを見た人が「２×６じゃないと駄目」、「子供に教えるときは正しい順序で書かせるようにした方がいい」と思っても不思議はない。

遠山啓自身は掛け算の順序を逆にするとバツという指導を批判していた。ひとつ分といくつ分は味方次第で逆転するとも言っていた。

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posted at 11:57:14

#超算数　本では順序を墨守しているが、その順序でないと駄目とは一言も書いていない。しかし「逆でもいい」とも書いていない。タイル図で視覚的に交換法則が自明にもかかわらず、順序は一貫している。

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posted at 11:55:03

#超算数　図書館に遠山啓の「さんすうだいすき」があったので第10巻「かけざんをやろう」を見てみた。象が6頭いて牙は何本か、というのではタイル図と２×６という式。他も同様。

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posted at 11:52:08

#数楽続き。sin x=(e^{ix}-e^{-ix})/(2i)なので⌠log(sin x)dxの計算は公式-⌠log(1-e^z)dz=Li_2(z)+const.に帰着します。これがlog(sin x)の不定積分にダイログが出て来る理由です。

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posted at 11:51:04

#数楽 f_r(z)=Li_r(e^z)=(r重のポリログにe^zを代入したもの、Li_1(x)=-log(1-x))とおくと、⌠ f_r(z) dz = f_{r+1}(z) + const. pic.twitter.com/Ei1Edu2B1f

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posted at 11:46:20

齊藤明紀 @a_saitoh

@efuwara @genkuroki 「1割は消耗品で使わないといけないんで、500万くらい何か買うものないかな。ソフトウェアなどで」とかいってる金余り研究者を作った効果か？

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posted at 10:59:42

HAYASHI Tomohiro @SokoranoKumasan