黒木玄 Gen Kuroki(@genkuroki)/2017年03月25日

#数楽続き。必要ならt軸について回転することによって、計算はa=b>0,c=0の場合だけ実行すれば十分。t^2-1=x^2+y^2とt-x=1/aの仮定のもとでX=x/(t+1),Y=y/(1+t)とおくと、(X-(a/1+a))^2+Y^2=1/(1+a)^2となる。

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posted at 00:01:21

#数楽続き。(X-(a/1+a))^2+Y^2=1/(1+a)^2が正のライトコーン上の点(a,a,0)が定める単位円盤内のホロサイクルの方程式。この手のことを知っていればPennerさんの論文 projecteuclid.org/euclid.cmp/110... を読み易くなると思う。

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posted at 00:03:34

#数楽訂正。括弧の位置がずれた。正のライトコーン上の点(a,a,0)が定める単位円盤内のホロサイクルの方程式は、正しくは

(X-a/(1+a))^2+Y^2=1/(1+a)^2

です。

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posted at 00:10:34

おりた @toronei

安倍さんみたいな愛妻家が、嫁さんを追いつけるやつそのきっかけ作った奴らを許すとは思えないんで、野党、維新、公明、石破の頭の上には爆弾落ちるやろうし、こういうときは敵よりも身内や蝙蝠のほうが許されないもんやから、野党は捨て置いても、石破、維新、公明はしっかりとやられるよなあ。

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posted at 00:13:53

Functor Fact @FunctorFact

'The notion of a Kan extension subsumes all the other fundamental concepts of category theory.' -- Saunders MacLane

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posted at 01:10:34

伊藤　剛 @GoITO

とにかく、学校教育で変なことをやるのを止めてほしい。学校で教わること以外にこそ「正しさ」がある、という良くない状況になるから。これは掛け算順序問題と同じ。

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posted at 01:27:40

HAYASHI Tomohiro @SokoranoKumasan

豊洲や森友の報道のたった10分の1でもこれが報道されれば、福島を取り巻く空気は変わるだろうにね。
こういうの全然報道せず、豊洲だ森友だと政局絡みの報道ばかりがいつまで続くのか。もう、ウンザリしてます。
それらのニュース、日本全体がこんなにリソース垂れ流し続ける程大切とは思えない。 twitter.com/adama310/statu...

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posted at 06:21:04

齊藤明紀 @a_saitoh

@efuwara @genkuroki 「1割は消耗品で使わないといけないんで、500万くらい何か買うものないかな。ソフトウェアなどで」とかいってる金余り研究者を作った効果か？

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posted at 10:59:42

#数楽 f_r(z)=Li_r(e^z)=(r重のポリログにe^zを代入したもの、Li_1(x)=-log(1-x))とおくと、⌠ f_r(z) dz = f_{r+1}(z) + const. pic.twitter.com/Ei1Edu2B1f

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posted at 11:46:20

#数楽続き。sin x=(e^{ix}-e^{-ix})/(2i)なので⌠log(sin x)dxの計算は公式-⌠log(1-e^z)dz=Li_2(z)+const.に帰着します。これがlog(sin x)の不定積分にダイログが出て来る理由です。

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posted at 11:51:04

#超算数　図書館に遠山啓の「さんすうだいすき」があったので第10巻「かけざんをやろう」を見てみた。象が6頭いて牙は何本か、というのではタイル図と２×６という式。他も同様。

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posted at 11:52:08

#超算数　本では順序を墨守しているが、その順序でないと駄目とは一言も書いていない。しかし「逆でもいい」とも書いていない。タイル図で視覚的に交換法則が自明にもかかわらず、順序は一貫している。

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posted at 11:55:03

#超算数　これを見た人が「２×６じゃないと駄目」、「子供に教えるときは正しい順序で書かせるようにした方がいい」と思っても不思議はない。

遠山啓自身は掛け算の順序を逆にするとバツという指導を批判していた。ひとつ分といくつ分は味方次第で逆転するとも言っていた。

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posted at 11:57:14

#超算数　しかし彼の直接の弟子（？）である銀林浩など数教協関係者がこぞって、掛け算・足し算の順序拘り派であるのを見ると、伝言ゲームの恐ろしさを感じる。

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posted at 12:00:00

#超算数　遠山啓自身は「２×６でも６×２でもいい」と言って混乱させることを回避したかったのだと思うが、そのことで「２×６でないと駄目」と解釈されてしまった。

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posted at 12:01:58

#数楽 f_{r+1}の導函数がf_rのとき部分積分の繰り返しによって、

⌠z^n f_r(z)dz=z^n f_{r+1}(z)-nz^{n-1}f_{r+2}(z)+…+(-1)^n n! f_{r+n+1}(z).

これをf_1(z)=-log(1-e^z)に～続く

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posted at 12:02:12

#超算数　遠山啓は林檎2個・蜜柑3個、あわせて何個？という問題はよくないと言っている。この段階だと“教える側が留意すべきこと”。ところがこれが「林檎と蜜柑は足せない」となり、「ライオンとシマウマは足せるのか？」と子供に問うことになる。www.hm.aitai.ne.jp/~itoh/jugyou/t...

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posted at 12:06:30

#数楽続き～適用すれば、f_r(z)=Li_r(e^z)なので、

-⌠z^n log(1-e^z)dz=z^n Li_2(e^z)-nz^{n-1}Li_3(e^z)+…+(-1)^n n! Li_{n+2}(e^z). pic.twitter.com/JEQoOS7JaO

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posted at 12:11:43

深爪＠「親になってもわからない」好評発売 @fukazume_taro

#数楽というわけで、x^n log(sin x)の不定積分がポリログで書けることはポリログの定義から即導かれる自明なことでした。式が複雑になるのは sin x と 1-e^z の違いが原因。

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posted at 12:13:27

中学の教師に「年長者は敬うべき」という話をされたとき、「年長者でもクズはいるし、年下でも尊敬すべき人はいるから、一律で敬えというのは理解できない」といった旨の発言をしたらなんの説明もなくめちゃくちゃ怒られただけに終わって「年上でもクズはクズ」という考えが確固たるものになりました。

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posted at 12:19:40

#数楽 x^n log(sin x)の不定積分にポリログが出て来ることは、多重対数函数Li_r(x)の記号法を使っていたり、複素函数としてのlogやexpを扱っている分だけ「高々高校レベル」とは言えなくなっていますが、「高々高校レベル＋ε」程度の難易度のほぼ自明な話でした。

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posted at 12:50:23

#超算数　森毅　「数学が好きになるには」
www.youtube.com/watch?v=ji7cQC...

面白いおっさんだと思っていたけど、掛け算順序拘り派
福岡伸一曰く「あの森先生ですら結構しんきくさいことを言っていたのですね」
book.asahi.com/reviews/review...

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posted at 13:31:04

#数楽ポリログLi_r(x)の定義はLi_r(x)=Σ_{k=1}^∞ x^k/k^r (を解析接続したもの)です。r=0なら等比級数Li_0(x)=x+x^2+x^3+…=x/(1-x)で、r=1ならLi_1(x)=-log(1-x)で本質的に対数。続く

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posted at 13:35:07

#数楽続き。x^k/k^r をxで割って不定積分すれば x^k/k^{r+1} になるので、⌠_0^x Li_r(x)/x dx=Li_{r+1}(x)です。「高々高校レベル」とは言えない記号法が得て来ていますが、modulo iikagenで高校レベルの話。続く

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posted at 13:37:07

#数楽続き。この連続ツイートを読んでしまうような高校生なら、ポリログの素朴な定義をこれで知ることができたと思う。ポリログのx=1での特殊値はEuler-Riemannのゼータ函数の正の整数rでの特殊値ζ(r)に一致します(自明)。例えばLi_2(1)=ζ(2)=π^2/6。

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posted at 13:40:37

#数楽続き。添付画像は twitter.com/Paul_Painleve/... で教えてもらった情報。Eulerさんがどのようにlog(sin x)の積分を考えたか。 pic.twitter.com/fEsMdPqpZX

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posted at 14:21:27

#数楽続き。添付画像は twitter.com/Paul_Painleve/... で教えてもらった情報。Eulerさんがどのようにx log(sin x)の積分を扱ったか。 pic.twitter.com/cgDgJwkWlI

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posted at 14:36:56

#数楽 Euler Archive への直接リンク
eulerarchive.maa.org/pages/E393.html
eulerarchive.maa.org/pages/E432.html

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posted at 14:41:18

#数楽このツイートが繋がる返答連鎖の話は、「⌠ log(sin x) dx は本質的にダイログで、⌠ x log(sin x) dx は本質的にトリログなので、それらの特殊値はζ(2)、ζ(3)と関係する」とまとめることができます。

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posted at 14:56:15

#数楽ここで、log(sin x)の原始函数のダイログによる表示とΣ1/n^2=π^2/6の関係について訂正しておきたいと思います。log(sin x)の原始函数のダイログによる表示*だけ*から⌠_0^{π/2}log(sin x)dxとΣ1/n^2の値がわかります。続く pic.twitter.com/jpM6SdLjNs

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posted at 19:39:55

#数楽続き。log(sin x)の原始函数の公式F(x)=(略)はF(x)を微分すれば正しさを確認できます。そしてF(π/2)-F(0)の実部から⌠_0^{π /2}log(sin x)dxの値が得られ、(虚部)=0からΣ1/n^2=π^2/6が得られます。超簡単。続く

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posted at 19:44:10

#数楽続き。x log(sin x)の原始函数をダイログとトリログで表わす公式からはEuler全集E432§21にある公式が得られます。Eulerさんがどんな感じの世界を見ていたかが少しわかった気分になりました。やはり、原始函数の明示的な公式があるなら書き下しておいた方がよい！ pic.twitter.com/ywVFaiUcoW

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posted at 19:47:33

#数楽続き。x^2 log(sin x)で同様のことをやると、実部から

⌠_0^{π/2} log(sin x)dx=(3π/16)ζ(3)-(π3/24)log 2

が得られ、虚部=0から

ζ(4)=π^4/90

の独立な証明が得られます。 pic.twitter.com/eNtkTF4Szr

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posted at 21:27:06