黒木玄 Gen Kuroki(@genkuroki)/2017年03月26日

黒木玄 Gen Kuroki

@genkuroki

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2017年03月26日(日)

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽 @gilbert_yumu 続き。統計力学の仕組みが適用できるためには、「総和一定」の条件をゆるめて、Aの大きさに応じて「総和≦A」もしくは「総和≧A」にゆるめられます。条件をゆるめれば適切なルールを定め易くなるのではないかと思っています。続く

タグ：数楽

posted at 00:00:41

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽 @gilbert_yumu 以上で「統計力学の仕組み」と述べた話はリンク先の私的ノート(特にその第4節)で解説してあります。「総和一定」を「総和≦Aもしくは総和≧A」に条件をゆるめる話は第4.2節にあります。
www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/...

タグ：数楽

posted at 00:04:34

ぎるばーと / T. Shimizu @gilbert_yumu

17年3月26日

@genkuroki log型効用の総和が保たれる仕組みになっているかは分からないです。

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posted at 00:06:07

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽 @gilbert_yumu 普通の統計学の教科書には、正規分布、指数分布、ガンマ分布、…などの指数型分布が統計力学の仕組み(もしくはSanovの定理)によって自然に出て来る話(カノニカル分布の話)は書いていないと思います。物理の統計力学の教科書には必ず書いてありますが。

タグ：数楽

posted at 00:07:08

ぎるばーと / T. Shimizu @gilbert_yumu

17年3月26日

@genkuroki 3次元空間で熱平衡にある気体分子の運動エネルギーはガンマ分布するのですが、全エネルギーには保存則があるとして、全log型効用を保つ仕組みは働いているんでしょうか？

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posted at 00:07:55

Shoo @ShooSteream

17年3月26日

@ShooEgg
マジで感じてるのは、
日本人の僕が、.xls .docのZipされた
クソ書類を　①作成　②印刷　③捺印　④メール　⑤郵送　してる間に
すぐとなりで共同研究してる、インドも、中国も、EU圏の研究員は
ボスに、SkypeかSlackで、1行報告して終わり。

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posted at 00:14:07

ぎるばーと / T. Shimizu @gilbert_yumu

17年3月26日

@genkuroki ようやく一通り読み通しました。論点が見えてなかったと思います。log型効用の総和を自然と保つ交換になるようなルールの話ですね。時間を取らせてしまい、迷惑をおかけしました。

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posted at 00:41:24

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽 @gilbert_yumu 気体分子の運動エネルギーの分布がガンマ分布になる理由に「log型効用」は関係ないです。物理の場合にはエネルギーの総和が保存するので、注目している系のエネルギーがEになる確率はe^{-βE}に比例するようになり、そのことからガンマ分布が出ます。

タグ：数楽

posted at 01:45:07

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽リンク先の単にランダムにお金をやりとりするだけの世界の話について補足。続く
twitter.com/genkuroki/stat...

タグ：数楽

posted at 01:49:31

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽人数Nは大きいとし、お金の総量MをNで割った値a=M/N>0はNによらないと仮定しておきます。各人の保有するお金m_iの総和がMになるという条件の下で等確率条件を仮定(ランダムにお金のやりとりをしていると仮定)すると〜続く

タグ：数楽

posted at 01:58:00

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽続き〜、各人の保有するお金がmになる確率は近似的にe^{-m/a}に比例するようになります。すなわち、各人が保有するお金の量が指数分布に近似的に従うようになります。これは数学的には統計力学におけるカノニカル分布の特別な場合とみなせます。続く

タグ：数楽

posted at 02:01:29

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽現実世界でも、各人の貯金の量は指数分布に近似的に従っているようにも見える。続く

タグ：数楽

posted at 02:03:01

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽統計力学におけるカノニカル分布を体験してもらうために、おもちゃのお金を配ってランダムにお金をやりとりさせると、指数分布が現れることを確認する授業をやっている人もいるらしいです。(本当の話をするとよく知りません。)続く

タグ：数楽

posted at 02:06:07

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽指数分布はあまりにも不平等なので、なんとか平等に近付けたいと仮に思ったとしましょう。そのためには、ある種の効用の総和に下限を設けるという手段が(数学的には)使えます。お金mから得られる各人の効用はlog mだと仮定しましょう。続く

タグ：数楽

posted at 02:08:45

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽続き。logは上に凸な単調増加函数の例としてよく使われます。相加相乗平均の不等式もしくはJensenの不等式より、各人の効用log m_iの平均値はlog a以下になります(aはm_iの平均値でした)。効用log m_iの平均値がlog aになるのは〜続く

タグ：数楽

posted at 02:13:54

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽続き〜、全ての人が持つお金が等しくaになる完全平等状態です。そこまで極端ではなく、0<b<aであるとし、「効用log m_iの平均値はlog b以上である」という制限の下でランダムにお金やりとりをさせたらどうなるでしょうか？m_iの平均値はaで一定であるとします。続く

タグ：数楽

posted at 02:19:52

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽続き。そのとき各人の保有するお金がmになる確率は近似的にexp(-m/μ+(λ-1)log m)に比例するようになります。すなわち近似的にガンマ分布に従うようになる。μとλはaとbから

λμ=a,
log μ+Γ'(λ)/Γ(λ)=log b

で決まります。

タグ：数楽

posted at 02:40:22

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽続き

∫_0^∞ e^{-x/μ}x^{λ-1}dx=Γ(λ)μ^λ
(1/Γ(λ)μ^λ)∫_0^∞ e^{-x/μ}x^{λ-1}x dx=λμ
(1/Γ(λ)μ^λ)∫_0^∞ e^{-x/μ}x^{λ-1}log x dx=log μ+Γ'(λ)/Γ(λ)

タグ：数楽

posted at 09:39:09

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽続き。すなわち、λμ=a、log μ+Γ'(λ)/Γ(λ)=log bはガンマ分布する確率変数X(今の場合は各人が保有するお金の量)について、

(Xの平均)=a
(log Xの平均)=log b

を意味しています。続く

タグ：数楽

posted at 09:46:35

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽続き。b_0(a)を

log a+Γ'(1)=log b_0(a)、Γ'(1)=-γ=-0.5772…

と定め、以下b_0(a)≦b≦aと仮定します。

人数をNとする。お金の総量をΣm_i=Naとし、効用の総和をΣ log m_i≧N log b と～続く

タグ：数楽

posted at 09:56:57

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽続き～制限して、ランダムにお金をやりとりしまくると、各人が保有するお金の量はa,bから定めたパラメータλ≧1,μ>0に関するΓ分布に近似的に従い、指数分布より「平等」な状態が確率的に実現されます。

タグ：数楽

posted at 10:01:45

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽今のケースでは統計力学での逆温度にあたるパラメータが2つあって、1/μ>0と1-λ≦0の2つが逆温度にあたるパラメータです。後者が負になっていることに注意。

タグ：数楽

posted at 10:05:25

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽逆温度にあたるパラメータβが負になるケースも含めた議論が私のノートに書いてあります→ www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/... (特に第4節)

タグ：数楽

posted at 10:08:36

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽問題：等確率の原理が崩されないようなランダムにお金をやりとりするルールで、「お金の総量がNaで一定」と「log型効用の総和がN log b以上」という条件を満たす扱いやすいもの(教室内の実験で使えるもの)を見つけよ。

タグ：数楽

posted at 10:13:05

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽この問題が解ければ、log型効用の総和に下限を設ければ、自然に指数分布より平等なガンマ分布が確率的に勝手に実現してしまうという実験が教室内でできます。

タグ：数楽

posted at 10:15:48

社会学者(仮) @u6878314

17年3月26日

はじきやモルグリコなんて授業で最もやってはいけないことなのに「そういう教え方もある」みたいに黙認して
「(自分の頭で考える必要があって)授業が"分かり難い"」みたいな理不尽クレームばかり真に受けているので、教育に未来は無い

タグ：

posted at 11:53:42

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽お金の総量一定でランダムにお金をやりとりすると、個人保有のお金の量の分布が指数分布に近付く統計的な力が働きます(条件付き大数の法則)。効用の総和に下限を設けるとによって指数分布に近付くことを妨げると指数分布とは異なる分布に近付くことになります。これはそういう話。

タグ：数楽

posted at 12:37:33

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽この辺のことは相対エントロピー(Kullback-Leibler情報量)に関するSanovの定理がどういう結果であるかを直観的に理解すれば、当たり前の話に感じるようになります。

タグ：数楽

posted at 12:39:42

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽上の方で出て来たγ=-Γ'(1)=0.5772…は所謂オイラー定数です。円周率や自然対数の底の次くらいによく出て来る感じ。この手のことに慣れていない人はWolframAlphaに慣れると良いと思います。便利だし、勉強になります。

タグ：数楽

posted at 12:54:51

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽あとΓ(s)=∫_0^∞ e^{-x}x^{s-1}dxはガンマ函数。ベータ函数とともに、指数函数、対数函数、三角函数の次くらいによく出て来る。高校で教えた方がいいんじゃないかと思えるくらい、数学を使うとよく出て来ます。知らないと統計がらみの話はついて行けなくなる。

タグ：数楽

posted at 13:06:40

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽添付画像は平均1の指数分布のグラフです。λ=1/μ=1の場合。正規化していないので、縦軸の目盛りは無視来てください。保有するお金の量が小さいほど確率が高くなる。現実の貯金の分布もこんな感じ。 pic.twitter.com/D9p1DJeerG

タグ：数楽

posted at 14:28:04

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽平均は1のままだが、λ=2としたガンマ分布のグラフ。λ=1/μ=2の場合。お金を全然持っていない人が減っている。縦軸の目盛りは無視してください。 pic.twitter.com/iR5mmUrNMp

タグ：数楽

posted at 14:30:28

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽平均は1のままでλ=10とした場合。縦軸の目盛りは無視して下さい。相当に平等社会になっている。 pic.twitter.com/xmiS7NisxX

タグ：数楽

posted at 14:32:00

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽添付画像はWolframAlphaに教えてもらった log(sin x) の原始函数F(x)が実際に原始函数であることの証明。微分するだけなのですが、初心者はそこでつまるかもしれないので、念のためにノートの画像を公開。 pic.twitter.com/z2JnhA8Ysh

タグ：数楽

posted at 15:13:25

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽 ⚡️ "お金の分布としての指数分布とガンマ分布(続き)"
補足説明
twitter.com/i/moments/8458...

タグ：数楽

posted at 16:19:33

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽リンク先の「統計的な力」の自明な例は大数の法則です。たとえば、表と裏が同じ確率で出るコインを投げ続けたら、出た表の数と裏の数の比は1対1に近付きます。まるで表の数と裏の数の比が等しくなる力が働いているように錯覚できる。続く

twitter.com/genkuroki/stat...

タグ：数楽

posted at 16:50:50

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽続き。もっと複雑な分布の場合でも同様に自明な(大数の法則による)「統計的な力」が働いていると思うことができます。たとえば1からrまでの目がそれぞれq_1,…,q_rで出るルーレットを何度も回し続ければ、1からrまでの目が出た数の比はq_1:…:q_rに近付きます。続く

タグ：数楽

posted at 16:54:50

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽続き。連続な確率分布の場合も同様のことが成立します。例えば指数分布に従っている乱数を何度も出し続ければ経験分布は指数分布に近付きます。続く

タグ：数楽

posted at 16:57:32

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽続き。以上のような単純な大数の法則による「統計的な力」は確率の概念を正しく理解している人にとっては自明過ぎてつまらないと感じられると思う。非自明で面白いのは「条件付き大数の法則」です。続く

タグ：数楽

posted at 17:06:17

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽続き。たとえば、自由にお金をランダムにやりとりするとお金の分布が指数分布になる状況に「効用の総和がある定められた下限以上になる」という条件を課して確率分布をガンマ分布に変えるというようなことができるわけです。こちらの話は非自明で面白い話だと思います。

タグ：数楽

posted at 17:10:51

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽一般に以下が成立しています。

まず、制限抜きの確率分布(確率密度函数)はq(x)だとします。何の制限も付けないと乱数xが分布q(x)に従って生成される。

次に、f(x)はxの任意の函数であり、分布q(x)に関するf(x)の平均をc_0と書きましょう。続く

タグ：数楽

posted at 17:17:43

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽続き。

c＜c_0 のとき、分布q(x)に従って、N回乱数x_1,…,x_Nを発生させ、(f(x_1)+…+f(x_N))/N≦cが成立する場合以外を全て捨て去ると、Nが大きいとき～続く

タグ：数楽

posted at 17:25:56

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽続き～、そのように制限された乱数列x_1,…,x_Nはまるで確率分布p_β(x)=e^{-βf(x)}q(x)/Z(β)に近似的に従っているかのように振る舞います！ここで、Z(β)=∫e^{-βf(x)}q(x)dx、⌠f(x)p_β(x)dx=cです。続く

タグ：数楽

posted at 17:27:56

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽続き

c＞c_0の場合には、分布q(x)に従ってN回乱数x_1,…,x_Nを発生させ、(f(x_1)+…+f(x_N))/N≧cが成立する場合以外を全て捨て去ると、Nが大きいとき～続く

タグ：数楽

posted at 17:29:14

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽続き～、そのように制限された乱数列x_1,…,x_Nはまるで確率分布p_β(x)=e^{-βf(x)}q(x)/Z(β)に近似的に従っているかのように振る舞います！ここで、Z(β)=∫e^{-βf(x)}q(x)dx、⌠f(x)p_β(x)dx=cです(βは負になる)。

タグ：数楽

posted at 17:30:18

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽続き。c＜c_0のときβは正になり(この場合が統計力学に出て来る)、c＞c_0のときβは負になります(βが負の場合を扱った説明が確率論の文献によくあります)。逆温度βは負になっても全然問題ない。

タグ：数楽

posted at 17:32:21

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽例えば、q(x)=e^{-x/a}/a (a>0、指数分布)のケースで、f(x)=log xのとき、c_0=(1/a)⌠_0^∞ e^{-x/a} log x dx=log a-γ (γはオイラー定数)であり、c=log b＜log a-γと仮定すると、続く

タグ：数楽

posted at 17:42:11

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽続き、q(x)が生成する乱数x_1,…,x_Nを(log x_1+…+log x_N)/N≧c=log bの場合に制限すると、x_1,…,x_Nは分布p_β(x)=e^{-β log x}e^{-x/a}/Z(β)に近似的に従っているかのように振る舞います。続く

タグ：数楽

posted at 17:44:31

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽続き。ここでZ(β)=∫_0^∞ e^{-β log x}e^{-x/a} dx=∫_0^∞ e^{-x/a}x^{-β} dx=Γ(1-β)a^{1-β}であり、⌠_0^∞ p_β(x) log x dx=c=log bでβを決めます。βは負になる。続く

タグ：数楽

posted at 17:48:06

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽続き。こんな感じのことが色々できる。

タグ：数楽

posted at 17:50:59

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽数十分前に書いたやつを見直すとまるで暗号だな。

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posted at 18:04:44

IKEYA, Tomonori @ikeyaT

17年3月26日

まあ、金融緩和をやったことは買えるが、緊縮財政なのはそのままなのが許せん、というのなら少しはわかる。でも、現在の首相が石破ではなく安倍さんであることは本当に僥倖であったとしか言いようがない。デフレが進んだまま消費税が10%になっていたらと思うと心底ゾッとする

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posted at 20:50:46

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽微分df/dxをdfをdxで割ったものに誤差無しで厳密に等しいとみなす身もふたもない方法があることを示す図を清書した。微分を誤差無しの分数とみなす方法を何か高級な数学であるかのような説明の仕方をしている人は見もふたもないほど単純に考える数学の流儀をわかっていないと思う。 pic.twitter.com/faoOzIKzsK

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posted at 21:01:35

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月26日

#数楽どこが身もふたもないかというと図におけるdfの定義の部分。この身もふたもないdfの定義の仕方は微分形式の定義に一般化される。

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posted at 21:02:40