黒木玄 Gen Kuroki(@genkuroki)/2016年09月/Page 10

黒木玄 Gen Kuroki

@genkuroki

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2016年09月21日(水)

非公開

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posted at xx:xx:xx

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月21日

#数楽 twitter.com/genkuroki/stat...
訂正：∂=d/dxに関して、x∂-∂x=1ではなく、∂x-x∂=1が正しい。これも自明な誤り。

タグ：数楽

posted at 22:00:23

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月21日

#数楽よくわからない何かは「方程式」とみなせ、そこから具体的な何かへの「射」は「方程式の解」とみなせるという話は単なる再定式化ではなく数学的に意味のある形でうまく行っているということです。

タグ：数楽

posted at 21:45:26

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月21日

#数楽 twitter.com/genkuroki/stat...
訂正NじゃなくてMです。自明な誤り。

まあとにかく、中学校から大学にかけて習う方程式たちは、環や加群として定式化でき、解と具体的な環や加群への準同型は一対一に対応しているということです。

タグ：数楽

posted at 21:41:42

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月21日

#数楽続き。たとえばP=x=(函数xをかける作用素)でF=C[x]のとき、xu=0の解空間は自明にHom_D(M,F)=0となり、Ext^1_D(M,F)≅C[x]/xC[x]≅Cとなります。この例は基本的。

デルタδ函数はxδ(x)=0をみたしているのでxu=0の解。

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posted at 21:20:44

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月21日

#数楽続き。実際に計算すると、Ext^0_D(M,F)≅Hom_D(M,F)≅Ker(P:F→F)=(Pu=0のFでの解空間)
Ext^1_D(M,F)≅Coker(P:F→F)=F/PF=(Pu=fの解がF内に存在しないf∈Fがどれくらいあるか)
となります。

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posted at 21:13:20

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月21日

#数楽線形微分方程式をこのように定式化することの御利益はホモロジー代数を使えることです。すなわちPu=0の解空間のHom_D(M,F)だけではなく、Ext^i_D(M,D)も使える。先の例ではMの自由分解0←M←Du←DPu←0でExtを計算できます。続く

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posted at 21:07:30

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月21日

#数楽一般に微分作用素P∈Dについての微分方程式Pu=0はD加群M=Du/DPu=(Duの中でPu=0とみなしてできる左D加群)として定式化できます。NからD加群FへのD加群準同型全体の集合はHom_D(M,F)と書かれます。Fが具体的な函数空間ならこれはPu=0の解空間。

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posted at 20:59:05

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月21日

#数楽続き〜、MからFへのD加群準同型φは一対一に対応している(φ(u)が解になる)。たとえば、F=C^∞(R)の場合：φ(u)=e^{±ix}, cos x, sin xを満たすD加群準同型φ:M→C^∞(R)が一意に存在する。これで線形微分方程式も剰余加群で定式化できた。

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posted at 20:51:10

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月21日

#数楽続き〜、ランク1の自由D加群Duの剰余加群
M=Du/D(∂^2+1)u
=(Duの中で(∂^2+1)u=0とみなしてできる左D加群)
を考えます。これが微分方程式u''+1=0のD加群としての定式化。Dが作用している任意の函数空間Fにおけるu''+1=0の解と〜続き

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posted at 20:36:07

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月21日

#数楽 M/Nの話で代数方程式だけではなく、線形微分方程式も定式化できる。ただし非可換環が必要。正準交換関係x∂-∂x=1で定義される常微分作用素環論D=C[x,∂]を考える(∂=d/dx)。常微分方程式(∂^2+1)u=u''+1=0をD加群で定式化するには〜続く

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posted at 20:31:14

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月21日

#数楽今だとパソコンで無料の数式処理ソフトが使い放題だし、スマホからWolframAlphaにアクセスすれば気楽にグラフを描いたり、計算したりできる。

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posted at 20:14:48

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月21日

#数楽でも見栄をはって完璧に理解するまで誰にも話さないのは楽しみのかなりの部分を失うと思う。まだよくわかっていないことを説明しているうちに理解がすすむ方が普通だと思う。だから理解していないことの説明を聞いてくれる友人は貴重。単に聞いてもらうだけでありがたい。

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posted at 20:02:08

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月21日

#数楽以上の例は多くの教科書でよく見かけるものです。教科書的例はやはり重要で知らないと様々な場面で理解に困ることが多い。具体的な例も一般的な概念もどちらも大事。具体例にはどの一般論に関係あるかを必ず要求し、一般論では具体例を必ず要求する。答えに詰まる人は大して理解していない。

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posted at 19:50:57

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月21日

#数楽 www.wolframalpha.com/input/?i=param...
parametric plot x=t**2, y=t**3, z=t
xyz空間内の曲線としてこれは滑らかだが、xy平面に射影すると尖がる。

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posted at 19:43:20

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月21日

#数楽 x=t^2, y=t^3は「x=f(t), y=g(t)の軌跡を考える。f(t)もg(t)も滑らかな函数なのに軌跡は滑らかではない例を挙げよ」の例になっています。 www.wolframalpha.com/input/?i=x%3dt...

y^2=x^3は退化した楕円曲線の例にもなっている。

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posted at 19:25:48

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月21日

#数楽超易しい話という文脈では１つ前のツイートの問題は難しい方に分類されます。UFDでない例としてはK[x,y]/(y^2-x^3)K[x,y]≅K[t^2,t^3] (x=t^2, y=t^3)の方がずっと易しい。これはカスプy^2=x^3の特異点解消の例でもある。

タグ：数楽

posted at 19:20:48