黒木玄 Gen Kuroki(@genkuroki)/2021年08月/Page 27

@baramatia1_1 弧度法の意味での角度の微積分による取り扱い方について、高校数学IIIの教科書に書かれていないせいで、三角函数の微積分についてモヤモヤできる所まで到達することができたような人たちの多くが、ずっとモヤモヤしたままになっていると思います。

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posted at 05:20:15

高校の教科書では sin θ を「単位円上の点のy軸への射影で得られる値を弧度法の意味での角度θの函数とみなしたもの」と定義するのですが、弧度法の意味での角度(単位円の弧の長さ)を積分を使って表せるようになるのはずっと後の高校数学IIIで、しかも教科書に書かれていない点が問題なのだと思います。

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posted at 05:21:06

#数楽この図の状況で高校の教科書における sin の定義は y = sin θ.

(x(t), y(t)) = (√(1-t²), t) を頑張って微分して二乗和の平方根を計算すると、速さ = 1/√(1-t²) が得られる。面倒なのはこの計算だけ。

θは速さの積分で θ = ∫_0^y dt/√(1-t²) と書ける。これの逆函数が y = sin θ. pic.twitter.com/stYHK4uOQE

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posted at 05:42:29

#数楽図の状況のもとで

① θ = ∫_0^y dt/√(1-t²)
② これの逆函数が y = sin θ
③ √(1-y²) = cos θ

が得られれば、

d(sin θ)/dθ = cos θ

は微積分の基本的な事柄から自明でしょう。

以上で最も本質的なのは①です。①さえ得られれば残りは容易。楕円積分論・楕円函数論は以上の議論の一般化。 pic.twitter.com/zEw5LLFPsn

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posted at 05:42:31

#数楽積分表示された逆三角函数から出発して三角函数論を展開することは、楕円積分と楕円函数の理論に一般化されるのですが、そういう難しいことをする前に、対数函数と指数函数の理論も対数函数を積分で定義することから出発すると色々楽をできることは知っておいて損がありません。 twitter.com/genkuroki/stat...

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posted at 05:52:51

#数楽高校の数学の教科書にある対数函数と指数函数のすべての性質を

log y = ∫_1^y dt/t

から出発して得ることは、よい練習問題。その冒頭部分は添付画像のような感じ。

添付画像で証明を略した log y が狭義単調増加で y > 0 のそれによる像がℝ全体になることの証明から始めるとよいと思う。 pic.twitter.com/GYNXndgibf

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posted at 06:06:29

#数楽三角函数=円函数の話はほとんどそのまま双曲線函数 cosh, sinh の場合に一般化されます。

三角函数の場合の「単位円の弧の長さ」を双曲線の場合にどのように適切に一般化するかが最初の問題。詳しくは添付画像を参照。 twitter.com/genkuroki/stat... pic.twitter.com/PrGxrcxcB8

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posted at 06:15:26

#数楽「単位円上の弧の長さを積分で表す話」の射程は相当に長いです。

このスレッドでは角度θを-π/2とπ/2に制限した場合のθの積分表示しか扱っていません。その辺は意識して誤魔化しています。その辺のモヤモヤの完全解消には新たな武器を手に入れる必要があります。

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posted at 06:20:52

#数楽単位円の右半分は

(x(t), y(t)) = (√(1-t²), t)

とパラメトライズされ、上半分は

(x̃(s), ỹ(s)) = (s, √(1-s²))

とパラメトライズされ、それらは第一象限で

t = √(1-s²) ↔︎ s = √(1-t²)

で貼り合わさっている。これを繰り返せば単位円全体を貼り合わせで作れる。 pic.twitter.com/N8BKcVyOdV

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posted at 06:37:55

#数楽単位円上の点の位置をそのy軸やx軸への射影で表す方針で、単位円全体を扱おうとすると、1つの座標(1つのパラメトライズの仕方)ではすまなくなって、複数の座標の貼り合わせが必要になります。

こういう当たり前のことに気付いた人は、自力で多様体の概念を発見したことになります。

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posted at 06:41:28

#数楽座標系を貼り合わせて、1つの座標系だけでは全体を扱い切れない図形を扱えるようにする。

多様体はたったこれだけの自明な概念にすぎません。

これはマジで自明です！

しかし、通常の多様体論の教科書をいきなり読んだ人が自明な概念を自明に見えずに苦しむ場合が多い。

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posted at 06:45:11

#数楽しかし、円周上の積分で角度を表せることに気付き、ぐるっと沢山回っている場合の弧の長さも積分で書こうとする所まで高校生時代にやっていれば、複数の座標を貼り合わせて使うことをすでにやっているはずなので、多様体とその上の微分形式の積分の例をすでに知っていることになります。

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posted at 06:48:34

#数楽図にちょっとだけ追記した。

三角函数、単位円、座標の貼り合わせ←後で自分のツイログで検索しやすくするためのキーワード pic.twitter.com/5mNSSANIob

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posted at 06:51:33

高校数学IIIを教えるためには、単位円の多様体としての取り扱いについて勉強しておく必要があります。生徒に説明しなくても、説明する側がどのように自分が誤魔化して説明しているかを意識できることはとても大事だと思う。

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posted at 06:57:27

#数楽「単位円上の弧の長さを積分で表す話」は「多様体としての単位円上の微分形式の積分の話」になっています。

発展が必要なのはその方向だけではありません。

すべてを複素数まで拡張して複素解析を使う方向に一般化しておくのも大事なことです。リーマン面が出て来る。 twitter.com/genkuroki/stat...

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posted at 07:01:39

#数楽 x² + y² = 1 のyをiy (i²=1)で置き換えると x² - y² = 1 になるので、理論を複素数まで拡張すると円と双曲線の区別がなくなり、三角函数論=円函数論で出て来た「単位円上の弧の長さ」を双曲線函数の場合にどのように適切に拡張すればよいかという問題が消えてなくなります。

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posted at 07:05:44

#数楽数学では一般化した方が話が易しくなることが多いです。

しかし、いきなりそういう易しい話だけ(一般化された場合だけ)を勉強してしまうと、一般化によって何がどう易しくなったかを認識できなくなり、複雑な状況を切り抜けるために自力で一般化する能力が失われるリスクが生じます。

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posted at 07:08:43

#数楽高校で習う三角函数や指数対数函数の話もバカにせずに、きちんと理解しておいた方が後で色々楽をできるはずです。

特殊な場合について本質をつかむコツが得られれば、より複雑な場合は「単なる演習問題」になってしまう場合がある。

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posted at 07:12:12

#超算数添付画像のスクショを見ればわかるように、有害な教え方として有名な「くもわ図と3つに公式」に頼る教え方をしています。

子供に見せるのはとてもまずいです。

youtu.be/dPIxMplCnQc
とある男が授業をしてみた
【小５　算数】　　小５－４６　　割合と百分率①　・　公式編 twitter.com/white_ska/stat... pic.twitter.com/aQHENZWp2F

タグ：超算数

posted at 07:36:02

齊藤明紀 @a_saitoh

研究者が欧米に行ったら「頭脳流出」だけど中国に行ったら「売国」。言ってる人がどういう人かよくわかる

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posted at 08:56:01

「とある男が授業してみた」も相当ひどいよ。 twitter.com/Ryryo_non0928/...

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posted at 14:02:25

そんなことない。「とある男が授業してみた」の算数・数学の動画は酷い代物。 twitter.com/unikirai0612/s...

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posted at 14:04:20

そんなことない。「とある男が授業してみた」の算数・数学の動画は酷い代物。 twitter.com/aJuic3_iPadOS/...

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posted at 14:04:42

そんなことない。「とある男が授業してみた」の算数・数学の動画は酷い代物。 twitter.com/xxxxxx__O5O1/s...

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posted at 14:04:52

そんなことない。「とある男が授業してみた」の算数・数学の動画は酷い代物。 twitter.com/5296Obungu/sta...

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posted at 14:05:32

そんなことない。

「とある男が授業してみた」の算数・数学は酷い代物。 twitter.com/yuriyuriharumi...

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posted at 14:07:56

@まる @kurogen15

@sekibunnteisuu みはじでクラッとしました…

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posted at 14:10:17

@mouthbird くもわ図やきはじ図を教えることが、子供に対してやってはいけないひどい行為であることがわからない人は子供に算数をおしえるべきではないことについては、私のツイログの検索で膨大な量の発言とリツイートがあります。

ツイログの方を参照して下さい。

twilog.org/genkuroki/sear...

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posted at 14:10:56

分岐 twitter.com/genkuroki/stat...

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posted at 14:12:59

www.news-postseven.com/archives/20210...
教養系YouTuberランキング

現代の子供達はYouTubeをかなり見ています。

「教養系YouTuber」とか、オンラインサロンの宣伝媒体としてのYouTubeを利用している人達に影響を受けることの危険性については、子供達にきちんと教えておく必要があると思います。

かなり怖い。 twitter.com/researpaca/sta...

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posted at 14:19:39

くろん @kuron_nano

@genkuroki 1つの式を3つの式にして表すんだよね。同じ式だと知らずにそれを教わるなんて怖いね。

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posted at 14:25:33

子供に限らず人間は「有名人」に弱いです。結構簡単に影響されてお金をむしられるようになる。

YouTubeと無関係に人間のそういう弱さについて子供と話す機会があった方がよいと思いました。

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posted at 14:30:58

Tungsteno @74WTungsteno

Each torus is covered by four families of circles 🔴⚪🔵⚫
bit.ly/32fvmId (from Dimensions: A Walk through Mathematics)
#math #science #iteachmath #mtbos #visualization #elearning #geometry pic.twitter.com/zfLiqrRQsN

タグ： elearning geometry iteachmath math mtbos science visualization

posted at 15:01:31

@mouthbird いいえ、そのようにポイントを絞るのは適切なまとめではありません。

「くもわ図」「きはじ図」はポイントを絞れるほどまともな教え方ではありません。

あなたと議論するメリットがないように感じられるので、今後はこの話題で私に質問するのをやめてください。お願いします。

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posted at 16:14:21

yamazaks @yamazaksv2

ﾜｼ・ｭﾊﾞﾙﾂｼﾙﾄ半径 @wasisama

かつて、うちの学校にも洗脳タイプの数学の教員(心理専攻)がいました。
①最初の授業でいきなり入試問題を解かせ、出来ないことをなじる。
②解法を教え「私の言う通りにやれば解けるようになる」と強く言う。
かなりソフトに書きましたが、なかなか強烈でした。
(すでに退職しています)

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posted at 18:00:23

@antimon2 スマート！！！

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posted at 18:34:09

Michal Sojka (@wenta @wentasah