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黒木玄 Gen Kuroki

@genkuroki

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2023年07月09日(日)

大石雅寿 @mo0210

23年7月9日

あれ?国連機関の構成国は、機関の運営に充てる分担金をその国の経済規模に応じて負担する義務がある事を知らないのかな? twitter.com/isoko_mochizuk...

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posted at 00:00:24

くみちょう @kumichooooo

23年7月9日

【お知らせ】本日よりスピンオフ漫画『ぼっち・ざ・ろっく!外伝 廣井きくりの深酒日記』はじまりました!

きくりさんの酔いどれ物語、是非楽しんでください!

とりま乾杯〜🍶

comic-fuz.com/manga/3354  

#廣井きくりの深酒日記
#ぼっち・ざ・ろっく pic.twitter.com/G74jbLgnD7

タグ: ぼっち 廣井きくりの深酒日記

posted at 00:05:00

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 数学的に定義されている各種の確率分布もランダム性の概念を一切含まない「確率=割合」という立場で定義されたものだとみなされます。

二項分布も正規分布も一様分布もガンマ分布もベータ分布も、全体のサイズを1に正規化したときの部分のサイズの定義を与えているに過ぎない。

タグ: 数楽

posted at 00:05:04

くみちょう @kumichooooo

23年7月9日

久々の隔週連載に怯えつつもはまじ先生や編集部に助けていただきながら頑張って描かせていただきます…!

とりあえずアクスタ自作したのでこれからたくさんきくりさんと乾杯していきたいところ🍻 

#ぼっち・ざ・ろっく
#廣井きくりの深酒日記 pic.twitter.com/NkMmSrrnWl

タグ: ぼっち 廣井きくりの深酒日記

posted at 00:07:00

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 「確率=割合」という立場で多くのことをできるようになるのは、測度論的な確率論では確率変数Xとその期待値E[X]を定義できるからです。

すなわち、測度論的な積分論があるからです。

タグ: 数楽

posted at 00:08:47

はまじあき @hamazi__

23年7月9日

うおおおぉいおい
乾杯〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜!!!!!🍶✨ twitter.com/kumichooooo/st...

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posted at 00:09:03

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 注意:適当な基本になる確率変数X₁,…,Xₙとそれらの函数の期待値E[f(X₁,…,Xₙ)]が与えられていて

線形性 E[af+bg]=aE[f]+bE[g]
単調性 f≤g ⇒ E[f]≤E[g]
規格化 E[1]=1

の3つが成立していることを前提にすれば、確率論の基本的な結果の多くを、測度の概念に触れずに実行可能。

タグ: 数楽

posted at 00:13:22

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 続き。大数の弱法則をそのような立場で示すのは良い練習問題だと思います。

確率変数とその函数の期待値さえ利用可能なら、測度の定義に触れずに、統計学で必要な多くの結果を説明できる。

おそらくこの事実が統計学で確率変数の概念が便利に利用されるようになった理由だと思います。

タグ: 数楽

posted at 00:16:26

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 そのとき、確率変数が正確にはどのように定義されるかは知らなくても困らない仕組みになっていることに注意。

もちろん知っていた方が楽になるのですが、知っていても、確率変数の期待値を取る操作の基本性質だけを用いて沢山の結果を導けるというように理解しておくことも大事です。

タグ: 数楽

posted at 00:19:07

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 確率変数とその期待値の概念まで行くと、元々は「確率=割合」という立場であったことはあまり見えなくなり、素朴なランダム性の直観に基いて

確率変数は観測するたびに値がランダムに決まる変数だと思っておくと理解し易くなる

という感じになります。

タグ: 数楽

posted at 00:22:07

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 しかし、「確率変数は観測するたびに値がランダムに決まる変数だと思っておくと理解し易くなる」とは思っていても、実際の確率変数Xの函数の期待値E[f(X)]は身も蓋もない方法で定義されるわけですが。

例えばベルヌーイ分布では

E[f(X)] = f(1)p + f(0)(1-p).

タグ: 数楽

posted at 00:31:27

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 例えば二項分布では

E[f(K)] = Σ_{k=0}^n f(k) (n!/(k!(n-k)!)) pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ.

標準正規分布では

E[f(X)] = ∫_ℝ f(x) exp(-x²/2)/√(2π) dx.

一般にはE[f(X₁,…,Xₙ)]のように多変数の場合の期待値が必要になる。

タグ: 数楽

posted at 00:36:48

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 確率変数の函数の期待値の概念は、確率=割合の概念の一般化になっています。

確率変数Xについてa≤X≤bとなる確率 = E[χ(X)].

ここで

χ(X) = a≤X≤bのとき1、それ以外のとき0.

確率も期待値の特殊な場合として扱うことは確率論での証明の基本になります。

タグ: 数楽

posted at 00:43:19

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 「確率=割合」の概念の数学的に素直な定式化とみなされる確率測度から、測度論的積分論によって、確率変数の函数の期待値が得られ、その期待値は確率の一般化になっており、そのように一般化しておくと、確率に関する定理を証明し易くなる。

こういう仕組みになっています。

タグ: 数楽

posted at 00:46:37

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 素数の概念の2種類の一般化

pが整数の素数ならば次の2つに性質を持ちます。

(i) pはこれ以上細かく積に分解されない。

(ii) a,bの両方がpで割り切れないなら、abもpで割り切れない。

一般の整域では、条件(i)と(ii)は同値ではなくて、素数の概念は2通りに一般化されます。

タグ: 数楽

posted at 00:57:27

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 既約元と素元の定義

pが整域の0でも可逆でもない元のとき、

(i) p=abならばaまたはbが可逆になるとき(pはこれ以上細かく積に分解できないとき)、pは既約元であるという。

(ii) a,bの両方がpで割り切れないならばabも常にpで割り切れないとき、pは素元であるという。

タグ: 数楽

posted at 01:01:19

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 一般にNoether整域では、任意の0でない元が、有限個の既約元の積で表され、常に既約元分解が存在します。

しかし、既約元の積への分解は、因子の順序と因子の可逆元倍の違いを無視しても、一意的になるとは限らず、同一の元が本質的に異なる既約元分解されることがあります。

タグ: 数楽

posted at 01:06:13

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 既約元分解が本質的に一意的でない場合には、中学校数学の段階で出会っています。

整域ℤ[√5]={a+b√5|a,b∈ℤ}において

2² = (3+√5)(3-√5)

の両辺は同一の元4の本質的に異なる既約元分解を与えています。

(3+√5)(3-√5)が4になる計算は多くの中学生がすでにしているでしょう。

タグ: 数楽

posted at 01:10:39

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 二次体の整数論的にはℤ[√5]は√5を含む環としては中途半端な大きさを持っており、黄金比φ=(1+√5)/2で生成されるℤ[φ] (⊃ℤ[√5])を考えるべきことが知られています。(ℚ(√5)に含まれる代数的整数全体はℤ[√5]になる。)

タグ: 数楽

posted at 01:24:19

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 黄金比φで生成される環ℤ[φ]では、ℤ[√5]と違って既約元分解の一意性が成立しており、ℤ[φ]は所謂一意分解整域になっています。

φ⁻¹=φ-1∈ℤ[φ]なので、φはℤ[φ]の可逆元。

φ²=φ+1=(3+√5)/2もℤ[φ]の可逆元。

ゆえに、2²=(3+√5)(3-√5)はℤ[φ]の中では本質的に同じ既約元分解になります。

タグ: 数楽

posted at 01:24:20

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 以上のような中学校数学で出会う

(3+√5)(3-√5)=4=2²

のような易しい計算も、通常の整数の場合の素因数分解の話の一般化という観点からは非常に面白い話になっています。

この辺の話を大学の数学科ではレポート問題として「証明せよ」と言われることがあります。

タグ: 数楽

posted at 01:27:46

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 以上の例をもしも理解できたなら、既約元分解が(順序と可逆元倍の違いを無視したとき)一意的になったり、ならなかったりすることについてある程度理解が進んだことになります。

同様のことは素元で言えないか?続く

タグ: 数楽

posted at 01:30:44

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽

整域における0でない元の素元の積への分解は(積の順序と因子の可逆元倍の違いを除いて)常に一意的になります。

整域において「素元ならば既約元」が一般的に成立していても、逆は一般には成立していない。

しかし、既約元分解の存在と一意性が成立している整域では逆も成立しています!

タグ: 数楽

posted at 01:35:50

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 既約元分解の存在と(積の順序と因子の可逆元の違いを除いた)一意性が成立している整域を一意分解整域(UFD)と呼びます。

UFDでは、既約元と素元が一致しており、素数概念の2通りの一般化が等しくなります。

素数と素因数分解の一般化は非自明で面白い問題です。

タグ: 数楽

posted at 01:38:29

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 以上の先にはイデアル論の出身地の話が出て来ます。

素因数分解の概念を既約元分解として一般化すると、どうしても一意性を確保できず、UFDの理論を使えなくて困る場合が出て来る。

そういう理由で、19世紀には、素因数分解の概念をイデアルに拡張するというアイデアが出て来ました。

タグ: 数楽

posted at 01:43:11

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 こういう感じで、算数の時間に習う素因数分解の話の一般化だけでも、なんぼでも時間を潰せてしまうわけです。

タグ: 数楽

posted at 01:45:27

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 書き間違い修正

❌(ℚ(√5)に含まれる代数的整数全体はℤ[√5]になる。)

⭕️(ℚ(√5)に含まれる代数的整数全体はℤ[√5]よりも大きなℤ[φ]=ℤ[(1+√5)/2]になる。)

代数的整数の定義は、最高次の係数が1の整数係数多項式の根です。

黄金比φ=(1+√5)/2はφ²-φ-1=0を満たすので代数的整数。 twitter.com/genkuroki/stat...

タグ: 数楽

posted at 03:13:26

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 例えば、X₁,…,Xₙはそれぞれ独立に1/2の確率でランダムに1または0の値になる確率変数だとします。

これは、期待値では

E[f(X₁,…,Xₙ)] = (1/2ⁿ) Σ f(x₁,…,xₙ) ((x₁,…,xₙ)∈{0,1}ⁿ全体に関する和)

と言い直せます。言い直した結果にはランダム性の要素はなくなっている。

タグ: 数楽

posted at 03:31:06

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 続き。大数の弱法則の証明。

X=(X₁,…,Xₙ)についてX̅=(X₁+⋯+Xₙ)/nと書く。

このとき、

E[X̅]=E[X₁]=1/2



E[(X̅-1/2)²]=E[(X₁-1/2)²]/n=1/(4n)

を示せます。続く

タグ: 数楽

posted at 03:36:56

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽

大数の弱法則: 任意のε>0について |X̅-1/2|≥εとなる確率はn→∞で0に収束する。

Proof. ε≤|X̅-1/2| ⇔ 1≤(X̅-1/2)²/ε² なので、

χ(X̅)= if |X̅-1/2|≥ε then 1 else 0

とおくと、n→∞で

(|X̅-1/2|≥εとなる確率)
=E[χ(X̅)]
≤E[(X̅-1/2)²/ε²] (E[ ]の単調性)
=1/(4nε²)→0.

q.e.d.

タグ: 数楽

posted at 03:47:49

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

めちゃくちゃ飲むと記憶無くすよね。

タグ:

posted at 03:56:35

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽

(|X̅-1/2|≥εとなる確率)≤1/(4nε²)

という不等式は、

長さnの1,0の列全体(全部で2ⁿ個)の中での
平均値が1/2からε以上離れているもの全体の割合が
1/(4nε²)以下になること

を意味しています。

これが大数の弱法則の割合の言葉による言い直しになります。

もっと一般の場合も同様。

タグ: 数楽

posted at 04:31:59

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 上の特殊な場合での

(|X̅-1/2|≥εとなる確率)≤1/(4nε²)

は実はものすごく雑な上からの評価で、左辺は右辺よりもずっと速く0に近付きます。(興味がある人はコンピュータで計算してみよ)

一般の場合もσ²/(nε²)による上からの評価は改善できて、大数の強法則の証明法に繋がって行きます。

タグ: 数楽

posted at 04:47:37

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

何と何の同値性を証明したいかをきちんと述語論理を使って正確に表現するべき問題。

例えば「r=2 cos θ」の問題では、実数x,yについて

ある実数r,θでr≧0とx=r cos θとy=r sin θとr=2 cos θをみたすものが存在する ⇔ x²+y²=2x

を証明する問題になる。⇒は自明なので本質的に逆だけが問題になる。 twitter.com/k_ito1213/stat...

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posted at 05:32:43

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

実数x,yに関する

(a) ある実数r,θでr≧0とx=r cos θとy=r sin θとr=2 cos θをみたすものが存在する

(b) x²+y²=2x

の同値性の類を、同値変形の繰り返しで示そうとすることは無駄に議論を複雑にする。

(b)が与えられてなくても、(a)から(b)を出すのは易しい。その後に別に(b)⇒(a)を示せば良い。

タグ:

posted at 05:32:44

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

おそらく同値変形でやりたい理由は、(b)が与えられていないときに、答え(b)を見つける過程がそのまま(a)と(b)の同値性の証明ともみなされて欲しいから。

発見の過程と検証の過程は別にした方が、全体の議論もシンプルになり、論理的に厳密にも書き易いので、そういう欲張りはやめた方が良いと思う。

タグ:

posted at 05:32:45

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

あと「逆も示さなければいけない」という類のことを言う必要がある場面では、何と何の同値性を示さなければいけないかを論理的に明確にしなければ、論理的に無意味な議論を積み重ねることになる。

当たり前の話だが、結構そうなっていない。

述語論理による正確な記述は必須。

タグ:

posted at 05:36:15

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

様子がよくわかっていない街で飲み過ぎてホテルに戻れなくなるのも、いとおかし。

タグ:

posted at 05:40:38

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 大数の弱法則の証明では、期待値を取る操作 E[ ] に線形性・単調性・規格化の3つの性質しか使っていないことに注意。

中心極限定理も期待値を取る操作 E[ ] に線形性・単調性・規格化の3つの性質しか使わずに定式化&証明できる。 twitter.com/genkuroki/stat...

タグ: 数楽

posted at 08:32:04

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 X₁,…,Xₙ が独立同分布確率変数達でE[Xₖ]=0, E[Xₖ²]=1, E[|Xₖ|³]<∞でf(z)がコンパクトな台を持つ滑らかな函数のとき、Zₙ=(X₁+⋯+Xₙ)/√nとおくと、n→∞で

E[f(Zₙ)]→∫_ℝ f(z) exp(-z²/2)/√(2π) dz.

この形の中心極限定理を期待値を取る操作の基本性質だけで示せる。

タグ: 数楽

posted at 08:39:39

SwordOne @twinklepoker

23年7月9日

結局のところ、掛け算の順序擁護派は論理で主張ができないから、こういうレッテル張りに終始するしかできないのである。
(「掛け算の順序がどちらでもいい」というのを「大人の思考回路」としたいようだが、むしろ逆で「掛け算の順序を強制する」こと自体が論理的に裏付けのない「大人の思考回路」) twitter.com/pako5315934228...

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posted at 08:43:56

ごまふあざらし(GomahuAzaras @MathSorcerer

23年7月9日

Doctestも通ってます、テストも書いてます。APIドキュメントもあります。testitem マクロによってVS Code で作業すれば特定のテストセットだけ走らせるということも可能です。ネタ方向にも技術方向にも至って真面目な(?)野良パッケージです。#Julia言語 #JuliaLang twitter.com/mathsorcerer/s...

タグ: JuliaLang Julia言語

posted at 08:57:22

⌬ @hnrrpgr

23年7月9日

これは良いツリー(`•ω•´)b twitter.com/genkuroki/stat...

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posted at 09:03:41

こーた丼 @rental_math

23年7月9日

総和とって1になるタイプの入試問題はだいたい期待値だなって思うとすぐ解ける(笑) twitter.com/genkuroki/stat...

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posted at 09:51:28

台風 @taifu21

23年7月9日

@pako53159342288 【分からない部分をピンポイントで聞いて】

臆病者の遠吠えさんは
自然数の掛け算に正しい順序があると
信じておられるのですか?

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posted at 11:04:23

よわむし @0315_osami

23年7月9日

何ていうか「自分が既に知ってるもの」以外を受け入れる姿勢がないとそうなりやすくて、

受け入れる姿勢がない→受け入れる経験が増えない→受け入れる姿勢が育たない→受け入れる姿勢がない

を延々ループしてる感じなんだと思います。 twitter.com/y_bonten/statu...

タグ:

posted at 12:29:55

ほりたん @horilab

23年7月9日

「置き勉」教科書パシャッ タブレットで撮影 持ち帰る:北陸中日新聞Web www.chunichi.co.jp/article/725239

タグ:

posted at 13:12:34

積分定数 @sekibunnteisuu

23年7月9日

教員、馬鹿すぎる。 twitter.com/DYdZZP59VT2LSg...

タグ:

posted at 13:30:52

片岡剛士(Goushi Kataoka) @kataokagoushi

23年7月9日

安倍さんの一周忌に野田さんに話を聞くというのは、自分は賛成しないな。殊に経済政策についての考え方は真逆だし。多分、アベノミクスが無ければ、今のようなグローバルインフレの痛みは更に大きなものになっていただろう。

タグ:

posted at 13:33:39

よわむし @0315_osami

23年7月9日

「どっちでもいい」と言われて混乱するなら、なおのこと、そういうことを取り込んだ授業をすべきじゃないか。

むしろ、それ自体が、そういう教育をやり過ぎた弊害だと思う。 twitter.com/ichinichinos/s...

タグ:

posted at 13:47:04

sako @SSako86

23年7月9日

「現場に立てば分かる」なんて、「自分の思い込みは常に正しい」というのと同じだよね。
何の説明もしていないのに。 twitter.com/pako5315934228...

タグ:

posted at 14:17:35

@kankichi57301 @kankichi57301

23年7月9日

何が笑いどころかわからんけど
無益なこと定着させる必要ないやろう。
#掛算
>定着する必要ないとか言い出すんだろうけど笑 twitter.com/pako5315934228...

タグ: 掛算

posted at 15:22:42

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 本質的に「2次までのテイラー展開+剰余項」しか使わない中心極限定理の有名な証明法。

「3次までの展開+剰余項」を使えば、中心極限定理の1/√nのオーダーでの収束の速さを決める係数が歪度になっていることもわかります。

中心極限定理については収束の速さがどの程度であるかも重要です。 pic.twitter.com/uHWuPPfBnn

タグ: 数楽

posted at 15:29:32

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 フーリエ解析の知識が必要になりますが、キュムラント母函数(もしくはモーメント母函数、特性函数)を使った中心極限定理の説明は、母集団分布の高次のモーメントが中心極限定理による正規分布への収束の速さに影響を与えているかが見え易くなります。続く

タグ: 数楽

posted at 15:33:05

あ〜る菊池誠(反緊縮)公式 @kikumaco

23年7月9日

社民党副党首の大椿ゆうこさんとの処理水をめぐる対話が途中で止まっています。僕は大椿さんからのご質問にお答えし、大椿さんの疑問はどのようなデータに基づいたものかと質問をお返ししました。その返事をいただいておりません。
公党の副党首としての誠意あるお返事を期待します
@ohtsubakiyuko twitter.com/ohtsubakiyuko/...

タグ:

posted at 15:40:31

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 Xᵢはiidで

E[Xᵢ]=0, E[Xᵢ²]=1, E[Xᵢ³]=κ̅₃, E[Xᵢ⁴]=κ̅₄+3

と仮定すると

log E[exp(tXᵢ)]=t²/2+κ̅₃ t³/3!+κ̅₄ t⁴/4!+O(t⁵)

なので、

Zₙ=(X₁+⋯+Xₙ)/√n

とおくと、n→∞で

log E[exp(tZₙ)]
= t²/2+(κ̅₃/√n) t³/3!+(κ̅₄/n) t⁴/4!+O(n⁻³ᐟ²)
→ t²/2.

続く

タグ: 数楽

posted at 15:50:26

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 Z~Normal(0,1)=(標準正規分布)とすると

log E[exp(tZ)] = t²/2

なので、

log E[exp(tZₙ)] → t²/2 as n → ∞

はZₙの分布が標準正規分布に近付くことを意味しており、中心極限定理が再び得られるわけです。

続く

タグ: 数楽

posted at 15:51:02

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽

log E[exp(tXᵢ)]=t²/2+κ̅₃ t³/3!+κ̅₄ t⁴/4!+O(t⁵)

でのtᵏ/k!の係数は1次から順番に期待値0、分散1、歪度κ̅₃、尖度κ̅₄なので

log E[exp(tZₙ)] = t²/2+(κ̅₃/√n) t³/3!+(κ̅₄/n) t⁴/4!+O(n⁻³ᐟ²)

は歪度が1/√nの、尖度が1/nのオーダーの係数になっていることになります。

タグ: 数楽

posted at 15:52:23

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 統計学入門書ではなぜかモーメント母函数E[exp(tZₙ)]を使った説明をよく見るのですが、手の抜き方がちょっと中途半端でその対数であるキュムラント母函数 log E[exp(tZₙ)] を見た方が議論がよりシンプルに見えると思います。

続く

タグ: 数楽

posted at 15:55:06

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#統計 統計学入門書で見るモーメント母函数E[exp(tZₙ)]を使った説明は有用な情報を省いている点もよくない。

キュムラント母函数 log E[exp(tZₙ)]を考えて、その3次と4次の係数に歪度と尖度が出て来ることに触れれば、中心極限定理の収束の速さのオーダーをそれらが決めていることもわかります。

タグ: 統計

posted at 15:58:14

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#統計 一般に解析学における「○○は△△に収束する」の型の定理は単に収束先だけがわかるという結果とみなすと、現実世界での応用には不十分になることが多いです。

収束先だけではなく、収束の速さの大雑把な見積りもないと、苦しいと思います。

中心極限定理もそのように説明されるべきです。

タグ: 統計

posted at 16:01:47

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#統計 「大学の学部生向けの教養としての講義でそこまで説明する余裕はない」という本音があるとすれば、実はそれには私も賛成です。

しかし、教科書に書いておくサービスであれば可能だと思います。

(あと以上の不満は論理的厳密性の無さへの不満では__ない__ことに注意してください。)

タグ: 統計

posted at 16:04:36

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 以上によって、確率変数の函数の期待値とその基本性質(線形性+単調性+規格化)とテイラー展開程度の知識があれば、大数の弱法則や中心極限定理を理解できることを説明できてしまいました。

タグ: 数楽

posted at 16:07:14

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 統計学における確率論の三種の神器は

* 大数の法則
* 中心極限定理



* Sanovの定理やCramerの定理にような大偏差原理

Sanovの定理はAICなどの情報量規準の基礎になる。この最後のやつの易しい部分の解説は

genkuroki.github.io/documents/2016...
Kullback-Leibler情報量とSanovの定理

にあります。

タグ: 数楽

posted at 16:12:29

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 以下のリンク先の議論の理解に役に立つ例

期待値λのポアソン分布に従う確率変数をXと書くと

log E[exp(tX)] = λ(eᵗ-1)

なので、Y=(X-λ)/√λとおくと、

log E[exp(tY)]
= λ(exp(t/√λ)-1) - λ/√λ t
= t²/2 + (1/√λ)t³/3! + (1/λ)t⁴/4! + (1/λ³ᐟ²)t⁵/5! + ⋯
→ t²/2 as λ→∞.

続く twitter.com/genkuroki/stat...

タグ: 数楽

posted at 16:28:06

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 1つ上のツイートの結果は、期待値λのポアソン分布はλが大きなとき正規分布で近似されることを意味しています。

こもポアソン分布の中心極限定理の例で納得できれば、一般の場合も「以下同様!」という感覚で納得し易いと思います。

ポアソン分布以外の分布でも色々計算すると楽しめるはず。

タグ: 数楽

posted at 16:30:58

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 K~Binomial(n,p)のとき、Y=(X-np)/√(np(1-p))とおくと、

log E[exp(tY)]
= t²/2 + (1-2p)/√(np(1-p)) t³/3! + (1-6p(1-p))/(np(1-p)) t⁴/4! + ⋯
→ t²/2 as n→∞.

これが、キュムラント母函数で見た二項分布の中心極限定理。

p(1-p)が小さいと正規分布への収束が遅くなる。

タグ: 数楽

posted at 16:50:43

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 ガンマ分布の中心極限定理: X~Gamma(α,θ)のとき、

Y = (X-αθ)/(√(αθ²))

とおくと、

log E[exp(tY)]
= t²/2 + 2!/√α t³/3! + 3!/α t⁴/4! + ⋯
→ t²/2 as α→∞.

αを大きくするとガンマ分布は正規分布で近似される。

ガンマ分布の中心極限定理はスターリングの公式の話でもある。

タグ: 数楽

posted at 17:02:33

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 以上の計算の log E[exp(tX)] の計算部分を手抜きしたければ、ウィキペディアの確率分布の解説にあるモーメント母函数の公式をE[exp(tX)]に代入するか、歪度と尖度の公式を利用するかすれば良いです。

経験的にウィキペディアにある確率分布の公式集は結構信頼できるように思えます。

タグ: 数楽

posted at 17:06:00

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 手計算で追い切れない結果については、可能ならばコンピュータシミュレーションで数値的にチェックしておくと良いです。

係数のちょっとしたミスや誤植の類も数値的な確認をすれば自力で訂正できる。

コンピュータが使い易くなったお陰で、複雑な道具である統計学も勉強し易くなった。

タグ: 数楽

posted at 17:08:36

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

教科書1冊分を超える分量の内容を1スレッドに書く芸風。

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posted at 17:09:56

Haruhiko Okumura @h_okumura

23年7月9日

「文部科学省が「教科書の撮影は著作権侵害にあたらない」と判断」(いいぞ文科省!) twitter.com/horilab/status...

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posted at 17:53:45

OokuboTact 大久保中二病中年 @OokuboTact

23年7月9日

「正しい順序」とは(算数教育の)偉い人が決めた順序のこと twitter.com/nagata_k1/stat...

タグ:

posted at 18:22:35

あ〜る菊池誠(反緊縮)公式 @kikumaco

23年7月9日

「汚染水」は海洋放出されません。放出されるのはALPS処理水を希釈したもので、安全性にはなんら問題ありません。
社民党の放出反対には根拠がなく、福島に対する風評加害です twitter.com/mizuhofukushim...

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posted at 18:44:42

S (ツイートはスレッド全体をご確認く @esumii

23年7月9日

ちなみに東書『数学I Standard』では「中学校で学んだ因数分解について振り返る」「因数分解とは,与えられた多項式を1次以上の多項式の積の形に表すことである」「注意 “因数分解せよ”という問題では,それ以上因数分解できないところまで因数分解する」とありQ[x]上の素因数分解(既約分解)に相当

タグ:

posted at 19:05:57

S (ツイートはスレッド全体をご確認く @esumii

23年7月9日

他の東書や数研、実教の高校数I教科書も、多項式を1次以上の多項式の積の形に表すこと、という因数分解の「定義」は共通。啓林館や第一学習社は「1次以上」がなく「整式」だったりする。

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posted at 19:14:31

冬樹蛉 Ray FUYUKI @ray_fyk

23年7月9日

全然おかしくない。それはあたりまえだ。洋画を観にいくと、外国語がわからない“障害者”のために、字幕や吹き替えが用意されているではないか。映画会社がそんなものを用意するために余分にコストをかけてそれをチケット代に乗せているのはけしからんなどと、外国語がわかる人が文句を言っているか? twitter.com/autumn_pwd7/st...

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posted at 19:27:28

S (ツイートはスレッド全体をご確認く @esumii

23年7月9日

当然ながら「くくり出す」「共通な因数」も1次以上の多項式(単項式を含む!!!)で、かつ「することができる」とあり、そう「しなければならない」とは書かれていない。(もちろん「それ以上因数分解できないところまで因数分解する」には1次以上の共通因数の「くくり出し」は必要な場合もある) twitter.com/esumii/status/...

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posted at 19:30:53

佐藤信顕@葬儀葬式ch 日本一の葬祭系Y @satonobuaki

23年7月9日

一生独身とか孤独死(自宅死)だの上がっていますが、孤独死は朝日とNHKが広めようとした造語です。別に家で死んでてもチャンと火葬するし、汚しちゃっても撤去・清掃するから心配することはありません。しっかりと生きてください、死は生きたになることで、不安を煽られることはありません。

タグ:

posted at 19:33:16

飯間浩明 @IIMA_Hiroaki

23年7月9日

「的を射た意見」も「的を得た意見」も、特に戦後広まったと『三省堂国語辞典』第8版にありますが、戦前はもっぱら「正鵠(せいこく)を得た」でした。「正鵠」は的の中心の黒点。「得る」はうまく捉える意です。「的を得た」はそのバリエーションです。国会図書館の資料から時代的変化が分かります。 pic.twitter.com/uJWh4cHhJ8

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posted at 19:37:08

藤澤一就 @FujisawaJuku

23年7月9日

お読み頂ければ幸いです。news.yahoo.co.jp/articles/db139...

タグ:

posted at 20:50:55

Takuro⚓️コロナ情報in神奈川県/ @triangle24

23年7月9日

神奈川県はデルタ株だけでなく、アルファ株と、B.1.1.214まで検出されている!? ここまでくると、スレッドの最後にあるように「採取日間違え」を疑うレベル。一体どうなっているのだろう‥ twitter.com/ramos262740691...

タグ:

posted at 21:12:39

前田敦司 @maeda

23年7月9日

“円安が日本経済にプラスなのは明らか” / “円安が進んでも日銀の金融政策は当面変わらない” htn.to/2MuNT6RJhD

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posted at 22:11:45

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

学生がA ⇔ F の証明を、⇔記号をまるで等号のように使って、

A ⇔ B
 ⇔ C
 ⇔ D
 ⇔ E
 ⇔ F

の形式で書くと、

C⇒Dは自明だとしてよいと思うのですが、その逆は証明しなくていいんですか?

のようなツッコミが入ることが多いと思います。

行間を埋めさせると色々大変なことになりがち。 twitter.com/genkuroki/stat...

タグ:

posted at 22:42:09

Naoki_O @nananao2236

23年7月9日

なんか「あべしね」な人たちが、引用RTで必死に否定してますねぇ。彼らがそう宣伝したからこそ、山上容疑者は安倍晋三氏をターゲットとするをよしとしただろうと、容易に想像できますけどね twitter.com/kikumaco/statu...

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posted at 22:51:03

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽 多くの場合に A ⇔ F の証明は片方の向きが易しく、その逆向きの証明だけが実質的に問題になることが多いです。

片方の向きが優しいなら易しい方をサクッとやっつけてから、逆向きの証明についてよく考えた方がお得な場合が多いです。

逆向きの証明は対偶を証明で実行したい場合も珍しくない。

タグ: 数楽

posted at 22:51:15

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

23年7月9日

#数楽

  A
⇔ B
⇔ C
⇔ D
⇔ E
⇔ F

のようなスタイルで証明を書いてもよいですが、上で説明したスタイルと両方を試してみて、簡潔さとギャップの小ささを比較した方がよいと思います。

タグ: 数楽

posted at 22:53:49

渡辺 明 @watanabe_1984

23年7月9日

なぜ顔ハメがバズる🤔

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posted at 23:01:52

台風 @taifu21

23年7月9日

@diceken 【実社会とリンクさせると単位って概念が入り込むから順序を意識させてるのは理解する】

実社会とリンクさせると
単価×個数も
個数×単価も
両方あるのですから、
掛け算の順序を意識させる意味は理解できなくなるのでは?
なぜ理解できるのですか?

twitter.com/genkuroki/stat...

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posted at 23:30:29

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