黒木玄 Gen Kuroki
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2015年09月04日(金)
@genkuroki #函数 続き。なんとなくなんですが、学習指導要領が定められている高校以下の数学の世界では、数学的概念は天から降って来るものではなく、目的に合わせて心のある人間が整備するものであり、あなたにもそうする自由があるという観点が欠けていると思いました。続く
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posted at 00:04:45
@genkuroki #函数 続き。数学的概念は、人間が作った道具であり、誰もが目的に合わせて作り直して良いものである、という視点がないから、内積の概念があたかも天から降って来る自然な概念であるかのように錯覚させることに苦労しなければいけなくなるのだと思いました。続き
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posted at 00:07:51
@genkuroki #函数 続き。高校でベクトルの内積について教えるためには、内積の例を多数知っている必要があります。教える範囲よりも広い知識がない人がまともに教えることができるはずがない。高校では結果的に a_1 b_1 + a_2 b_2 となるものを内積としているの〜続く
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posted at 00:13:11
@genkuroki #函数 続き〜ですが、大学できちんと数学を習っていればそうならないものも内積と呼んでよいことをどこかで聞きかじっているはずです。平均の一般化として、荷重平均がありますが、内積も同様なやり方で一般化されます。函数と函数の内積についても知っておくべきです。続く
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posted at 00:17:30
@genkuroki #函数 要するに、内積は天与のものではなく、目的に応じて人間が選んで使うものなのです。そういう教養を当然のこととした上で、有益で発展性のある思考法をどのように教えるべきかを考えるべきであり、内積は天与のものではなく、人間が作ったものであり、役に立つから〜続く
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posted at 00:21:18
@genkuroki #函数 続き〜、学ぶ価値が高いということになっているのです。数学的概念が天与のものではないことと、実際に数学が役に立っていることを知っていれば、「役に立つ数学の道具箱をどのように整備すればよいのか？」のような考え方もできるようになるはずです。続く
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posted at 00:27:03
@genkuroki #函数 続き。ベクトルに様々な演算(和差、スカラー倍、そして内積！)を定めながら直観的イメージを豊かにして行く過程は、まさに「ベクトル」というラベルのついた数学の道具箱に次々に新しい道具を追加しながら、その使い方を直観的に説明していく過程そのものです。続く
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posted at 00:31:03
@genkuroki #函数 続き。しかも、ベクトルの概念の応用先(線形代数の応用先)がものすごく広いこと(デジタル計算機から量子力学まで)を知っていれば、高校で教えるベクトルの演算に関する直観はどこまでもどこまでも有効であることも知っているはずです。続く
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posted at 00:35:01
@genkuroki #函数 続き。2次元平面ベクトルに関する各種の直観は、適切に一般化すればn次元でも函数空間でも有効です。平面ベクトルが直交する場合のイメージは、函数と函数が直交する場合にも適用できる。線形代数の仕組みはそういう素性が極めてよいものなのです。続く
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posted at 00:37:53
大阪での育鵬社採択が目立つな。
【公立】
大阪市（中高一貫含む１３０校）歴と公
大阪市立特別支援学校（約５校）歴と公
四條畷市（４校）歴と公
東大阪市（２６校）公
泉佐野市（５校）歴と公
河内長野市（７校）公
【私立】
★清風中 公
★浪速中 歴と公
★同志社香里中 歴と公
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posted at 00:40:11
@genkuroki #函数 続き。内積の概念は高校数学で増強された統計学でも当然役に立ちます。相関係数の定義は内積を用いて計算された cos θ そのものです。内積と角度の関係に関する直観は相関係数の理解を深めます。2本のn次元ベクトル(n個の数の組)のあいだの角度は〜続く
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posted at 00:42:28
@genkuroki #函数 続き〜、n次元空間が目で見えないのですぐにはわからないのですが、内積の概念をきちんと理解していれば、cos θ は加減乗除と平方根のみを用いて機械的に計算できてしまうわけです。相関係数はcos θのことなので、実際そのようにして計算されます。続く
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posted at 00:45:16
@genkuroki #函数 続き。n次元空間は高校数学の学習指導要領には含まれていないのですが、高校で数学を教える側は当然知っておかなければいけないことだし、受験の指導もそういう教養を背景に行われるべきだと思います。数学の本質に学習指導要領は無関係です。
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posted at 00:47:37
@genkuroki #函数 いずれにせよ、人間が工夫して整備した道具箱の話なのに、天与のものであるかのような印象を与える教え方はまずい。誰もが使うことを拒否できる道具箱なのに、あまりにも便利なのでその道具箱をみんなが使うようになってしまっているという事実を伝える方がよいと思う。
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posted at 00:53:03
@genkuroki #函数 たとえば道具箱の中にあるペンチという道具の価値を太さが1mmの針金を曲げることだけで説明しようとするのはあまりにも不自然です。ベクトルの内積についても同様です。教える側は高校の学習指導要領の範囲をはるかに超えた教養を身につけておく必要があります。
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posted at 00:59:49
@genkuroki #函数 ぐぐってみたら、ベクトルとベクトルの内積がベクトルではなくスカラーになることから「積」と呼んでよいかどうかを気にしている人もいたような気がします。そういう何をどう呼ぶかは非本質的問題なので気にする必要はないです。続く
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posted at 01:12:34
@genkuroki #函数 続き。加法がすでに与えられている状況では、分配法則を満たす写像はいかにも「積」ですという感じの公式を色々みたします。だから「積」と呼んでも違和感は小さいでしょう。続く
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posted at 01:15:13
なお、育鵬社教科書を前回も採択していたのは、東大阪市、清風、浪速のみです。他は全て新規採用。また、前回採用から不採用に変わったのは私立の相愛１校のみです。
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posted at 01:16:18
@genkuroki #函数 続き。線形代数では、双線形性や多重線形性を持つ写像がよく出てきます。そういうものも「積」の一種だとみなして問題ないです。たとえば、行列式は縦ベクトルたちについて多重線形なので縦ベクトルたちの積の一種だとみなせます。横ベクトルたちの積でもある。続く
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posted at 01:19:00
@genkuroki #函数 脱線。保護者の立場から色々調べる過程で知ったことですが、「積」と「乗法」を区別して異なる意味で使う人達がいるようです。そういう文化に染まった人はできる限り早く脱出した方がよい。通常「積」は「乗法」と「乗法の結果」の両方の意味で使われます。
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posted at 01:23:56
@sekibunnteisuu @kawai_yusuke この話題、もとの問題がよいので、非常に参考になりました。来年度、もしも新入生相手に線形代数を教えることになったら、問題をパクって使用することを検討します。
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posted at 01:30:36
@genkuroki #函数 脱線前からの続き。たとえば、3×3に並んだ実数たちの行列式は3本の3次元ベクトルたちではられる平行六面体の体積の±1倍になります。3本のベクトルのある種の積(行列式のこと)によって平行六面体の体積を計算できるわけです。これが役に立たないはずがない。
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posted at 01:38:20
@genkuroki #函数 2本の実2次元ベクトルのある種の積(行列式)によって平面四辺形の面積が求まる話が書いてある高校の教科書もありますね。行列式は面積や体積になっている。この面積や体積に関する直観でクラメルの公式などを説明することもできます。
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posted at 01:41:57
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@genkuroki @kawai_yusuke そういっていただけるとうれしいです。
算数の教科書を見ても、ある概念を導入するのに、唐突に天下り的に定義するというベタなスタイルが気になるようになりました。割合の導入も唐突に、入った回数÷シュート などとなっています。
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posted at 07:43:21
@genkuroki @kawai_yusuke 遠山啓が「子供は、速さの定義：距離÷時間、を習う前に速さの概念を持っている。徒歩より自転車が速いと知っている」と言うようなことを言っていて、「なるほどな」と思いました。
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posted at 07:47:29
@genkuroki @kawai_yusuke 実際、遠山啓は単位あたり量を、「込み具合」や「しょっぱさ」で導入しようとする。確かにこれなら、密度や濃度の概念を天下り的に導入しなくても、自然に出てくる。しかし一方で、関数を「ブラックボックス」なるもので無理やり導入したりもする
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posted at 07:49:45
@genkuroki @kawai_yusuke ある概念を最初に定義するのではなく、色々やってきて、「散々やってきたこれを、○○と言う」というように、自然に獲得していた概念を後から名前をつけるなどして意識化できないか？と思っています。
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posted at 07:52:12
@genkuroki @kawai_yusuke 座標上の点に関して色々やって遊んでいると、各成分同士の積の和、というのが頻繁に出てくる。これは何か重要なものに違いない、として特別に名前を付けよう
というような感じ。
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posted at 07:54:14
@genkuroki @kawai_yusuke 期待値も、高校数学の教科書だといきなり、E（X)＝ｘ_1・ｐ_1+・・・ と出てきますが、
「10本のうち、300円のあたりが1本、100円のあたりが2本のくじがある。1本引くのにかかる料金がいくら以下ならやったほうが得か？」
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posted at 07:58:35
マイナンバーはまずどこかで漏れるのが確実で、漏れると被害が出るのも確実なのだから、どれくらい速やかに人格盗難の被害を回復できるか、や、どれくらい漏れても社会的に許容できるのか、という議論があっても然るべき。精神論な「漏れないように万全を尽くします」みたいなのは責任回避。
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posted at 10:26:56
きっとそのバスの運転手も、我々と同様に、ギャン泣きしている赤ちゃんを「なんてかわいいんだ」と感じていたのではないか。＞バスで泣きやまない乳児 運転手の言葉、ネットで拡散：朝日新聞デジタル www.asahi.com/articles/ASH93...
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posted at 11:49:28
@genkuroki 「どなたか、赤ちゃんを泣き止ませることが得意な人、いませんか？助けてください！」と言えば、あやしげなおじさん・おばさんたちがニコニコ顔でワラワラと近寄ってくるのではないか。そういう世の中であってほしいと思う。
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posted at 11:54:16
@genkuroki #函数 続き。ベクトルの道具箱に便利な道具を追加したい。足算引算スカラー倍はすでに入っている。「掛算」と呼べる道具を追加したい。あなたはどんな「掛算」を追加したいですか？その道具で何をできますか？…のような流れの方が内積の位置付けがわかりやすいと思う。続く
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posted at 12:25:22
@genkuroki #函数 ベクトルu=(a,b)とv=(c,d)の掛算ですでによく使われているものには、内積(u,v)=ac+bd、行列式|u,v|=ad-bcやuv=(ac,bd)とかがある。どれも双線形。道具箱には汎用性の高い定番の道具がまとめて入っていてほしいのだ。
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posted at 12:39:29
@genkuroki #函数 続き。ベクトルの道具箱には本当は行列に関する道具一式も入っていてほしいのだが、大人たちによる合理的とは言えない経緯によって高校では実質的に行列の道具は扱えなくなってしまった。道具箱に入っていてほしい定番の道具が入っていないのは苦しいよね。
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posted at 12:44:38
@genkuroki #函数 しかし、現在なら、本屋でもインターネットでも数学に関する情報ならいくらでも簡単に手に入る。学習指導要領なんかは全部無視して、便利で定番の道具を自分の道具箱に入れておけばよい。
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posted at 12:50:47
@genkuroki #函数 内積は加減乗除と平方根だけで機械的にcos θを計算するためにも使えるし、長さ1のベクトルとの内積を取ることによって直線上へのベクトルの射影を瞬時に計算することもできるし、内積が0なら直交していることがわかるし、とにかく色々役に立つ道具です。
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posted at 12:55:13
@genkuroki #函数 行列式|u,v|=ad-bcはベクトルu,vを2辺とする平行四辺形の面積の±1倍になる。これが0になることは平行四辺形がペタンコに潰れることと同じ。面積の直観を使って、連立一次方程式を解く公式も作れる(クラメルの公式)。滅茶苦茶、役に立ちます。
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posted at 13:01:29
@genkuroki #函数 単純に成分ごとに掛算するだけのuv=(ac,bd)という演算も役に立ちます。これによって2次元のベクトル全体はRとRの直積環というものになります。以前scilabでKdV方程式を数値的に解くときにこのタイプの掛算を便利に使わせてもらいました。
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posted at 13:06:35
@genkuroki #函数 補足。KdV方程式は非線形偏微分方程式であり、函数の時間発展を記述しているとみなせます。離散化すると函数は数を並べたベクトルとみなされます。ベクトルの離散的時間発展の計算になる。非線形なので、ベクトルの成分ごとの掛算の演算が必要になります。
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posted at 13:12:57
鎌仲さんは相変わらず「保養で内部被曝が減る」というチェルノブイリ事故の話をしているけれども、福島ではもともと内部被曝がごく少ないので、その目的なら保養は必要も効果もないんです。鎌仲さんは福島の現状についてまったく理解してない
www.kahoku.co.jp/tohokunews/201...
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posted at 13:13:00
チェルノブイリ事故後の子供達に「保養」(妙な言葉だね)の効果があったのは、地元では放射性物質に汚染された食品を食べていたから。福島では食品からの放射性物質摂取は非常に少なくて、子供をホールボディカウンターで測定しても放射性物質は検出されない。チェルノブイリ事故とは全然違うの
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posted at 13:17:53
@genkuroki #函数 ベクトに関する「掛算」と呼べそうな演算で便利でかつ定番のものは複数あります。その一部だけでも高校時代に習うことができたとするとラッキー！平行四辺形の面積が行列式でかけることが実質的に書いてある教科書もいくつかあり、あれはとてもよい。
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posted at 13:19:52
少なくとも「子供の内部被曝対策として保養を」と言ってる人たちの「保養」には乗らないほうがいいと思う。根本的に間違っているから、とても怖い。そうじゃなくて、「気分転換に遊びにきませんか」程度のものなら、上手に利用すればいいんじゃないかな
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posted at 13:20:01
9月下旬新刊予定
『代数群と軌道』太田琢也・西山享 著 7560円（数学書房）
代数群の基本的性質からはじめて、その代数多様体への作用や、群の軌道と商多様体などについて多くを交えながら、解説した代数群の入門書。
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posted at 13:20:20
「福島の子供達を保養に招く」という活動をしているかたがたも、「気分転換に遊びにきませんか」以上の主張はしないほうがいいと思うんだよ。「外で存分に遊べないかわいそうな福島の子供達」という誤ったイメージにもとづいているなら、やめたほうがいいな
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posted at 13:22:59
@genkuroki #函数 高校の数学の教科書の複数をざっとチェックしたのですが、役に立たない話は何一つ書かれていない。こっそり大事なことを発展と称してねじこんでいたりもする。しかし、学習指導要領のしばりのせいで色々ねじまがっているので、教える側の数学的教養が問われる感じ。
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posted at 13:23:43
@genkuroki #函数 子供のときに自分の道具箱にどうしても欲しかった道具が追加されるのは至上の喜びだったはずです。数学でも同じです。内積があたかも天与のものであるかのように錯覚させるのではなく、道具箱に入れておきたい必須の道具と思ってもらえれば教育的には成功だと思う。
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posted at 13:32:38
9月下旬新刊
『複素領域における線形微分方程式』原岡喜重著 （数学書房）
この分野の基礎理論から始めて最先端であるKatz-大島理論まで到達し、微分方程式の変形理論、多変数の完全積分可能系についても必要十分な知識が得られるように内容を取りそろえた。
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posted at 13:40:21
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そもそも、特定のスポンサーが付いている民放番組、実態をいえば、利潤追求のスポンサーのために放送されている民放番組に、内閣総理大臣が出演して、余興のように国の在り方をトークするという事、これは世界が唖然とする非常識なのですよ。こういう点において、安倍氏は勿論、わが国は狂っています。
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posted at 16:11:28
Dr. Shin-ya Narusawa @Doro_tan
え！まじ？ まだよくわからないけど、ニュートリノが検出されたらしい。もしかして、ついに、（私たちの）天の川銀河で超新星が出現！！？？ アンタレス付近らしい
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posted at 16:14:54
@hori_shigeki さらに首相自ら我が国の経済が安泰のようなあんな言い方しちゃっていいんでしょうかね？給料もボーナスも上がってますし、って。GDPもマイナス、実質賃金なんて25ヶ月連続マイナスなんですけど…。
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posted at 16:19:35
@hori_shigeki @ishihara_shun 狂気ですね。正気の沙汰じゃないですから。分かっていても、情けないですね。狂気の国の国民です、わたくし。
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posted at 16:23:09
@genkuroki #函数 内積の定義を|u||v|cos θとしたときの分配法則を出すための図の話とcosをsinに変えたものは何になるかの2つに関する滅茶苦茶うれしい反応があったので計算用紙に描いた図を投稿します。
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posted at 16:29:01
@genkuroki #函数 まず、cos θの場合。これは内積ですね。sin θの場合の図もほとんど同様です。ただし、sin θの場合には角度を測るときに時計と反対回りを正とするいつもの約束を思い出さないといけません。続く pic.twitter.com/hxCUaDMMnP
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posted at 16:32:15
@kawai_yusuke @genkuroki 3番目の人のあたりの確率は、模範解答が場合わけになっていますね。さらに酷い話を生徒から聞いた事があります。定期テストで場合わけしないと減点だと言うのです。生徒経由なので真偽は分かりませんが、事実なら教える人が分かっていない。
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posted at 16:32:39
Dr. Shin-ya Narusawa @Doro_tan
アンタレス付近からニュートリノが検出されました。それを検出した望遠鏡の名前も「アンタレス」というらしいです。X線も検出されたようです。
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posted at 16:32:46
@genkuroki #函数 次はsin θの場合。これは行列式の場合です。外積と呼ぶ人もいます。平行四辺形の面積の±1倍です。内積のcosをsinに変えたものも「道具箱」に常備されているいつものツールの一つになっています。 pic.twitter.com/tkQINrFgUx
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posted at 16:35:27
@hori_shigeki 堀先生、これはそうでもなくて、米国ではオバマもサタデイ・ナイト・ライブにでています。政治家がそういう芸人さん（コメディアン）のやっているトークショーにでるのは普通で、逆にトークショーではアホな話だけでなく、真面目な話もしています。
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posted at 16:39:28
@genkuroki #函数 学習指導要領やら教科書の記述にしばられていると、シンプルで重要なことをたくさん見逃してしまいます。大学受験においてもシンプルで重要なことがらを素直に理解している人の方が楽に高得点を取れる可能性が高くなると思われます。妙な勉強の仕方をすると損をする。
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posted at 16:42:26
ワラタｗ どこの国でも大統領や首相が民放テレビに出てるよｗ ほんとにあの界隈の方々はものを知らないね
//twitter.com/hori_shigeki/status/639697267943800832
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posted at 16:45:19
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Dr. Shin-ya Narusawa @Doro_tan
ニュートリノが来たのは、アンタレスそのものではないです。アンタレスの付近の領域です。ところが、そこに、よその銀河は未検出らしいです。また、よその銀河の超新星ならニュートリノは検出されない。これは、ますます、天の川銀河での超新星だったらいいな、と思えてきました。
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posted at 16:51:33
Dr. Shin-ya Narusawa @Doro_tan
ニュートリノが検出されたのは、９月１日07:38:25 UT です。超新星爆発なら、ニュートリノ検出の２、３日後に光学的増光があるはずなので、そろそろです。光学天文台 大忙し！ これは、歴史かもしれません。ついにXデーがきたかも。もし超新星でなくても、すごいことかも
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posted at 16:54:45
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長 高弘 （獣脚類ティラノサウルス科ズケ @ChouIsamu
超新星爆発による大量の放射線が降り注ぐなんて「歴史的事件」が起きない事を願うばかり…… twitter.com/Doro_tan/statu...
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posted at 16:57:03
Dr. Shin-ya Narusawa @Doro_tan
ただ、ちょっと不思議なのは、カミオカンデやよそのニュートリノ観測所で何も発表がないこと。ここは慎重にすべき。でも、同じ方向からX線もきているので、あながちデマでもなさそうです。続報に期待したいところです。アンタレス付近からニュートリノとX線が検出された
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posted at 16:57:12
Dr. Shin-ya Narusawa @Doro_tan
人類は、望遠鏡を発明してから４１０年ほど、天の川銀河に出現した超新星を目撃していません。ところが、ついに、歴史の時がきたかもしれません。９月１日に、さそり座アンタレス付近からニュートリノが検出されたようです。天の川銀河に出現した超新星かもしれません（だったらいいなあ）。
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posted at 17:03:53
@genkuroki #函数 三角関数に関連して内積についてもぐぐってみた（そしてうんざりした）という話はすでにしていますが、検索キーワードは「内積の導入」です→ www.google.co.jp/search?q=%E5%8...
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posted at 17:06:48
@genkuroki #函数 内積は道具箱の中のドライバーやペンチのようなもので、内積が導入される必然性を内積の話をしただけで納得してもらえるはずがない。ドライバーの特徴をどんなに詳しく説明しても、どうして道具箱にドライバーが入っていないと困るかは理解してもらえないだろう。
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posted at 17:09:35
@genkuroki #函数 保護者は子供の道具箱の中にあるものを勝手に捨ててはいけない。ゴミにしか見えないものであっても、子供の工作に必要不可欠なツールの一つなのかもしれない。数学も同様。「自力で道具箱を豊かにする」という発想ができるだけで楽に楽しく数学をできるようになる。
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posted at 17:13:24
@genkuroki #函数 道具箱の中にある限られた道具だけを使って試行錯誤しながら、色々な道具の使い方をおぼえて、様々なものを作るのは楽しいものです。数学も同様なのですが、数学的道具はお金を出すだけでは手に入らず、ある種の努力をして心の中に道具を焼き付ける手間が必要になる。
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posted at 17:19:19
Dr. Shin-ya Narusawa @Doro_tan
ニュートリノを受けたANTARESという装置は、私ははじめて聞いたんですが、フランスの装置らしくて、地中海、２５００mの海底にあるらしいです。それにしても、カミオカンデや、その他の観測所がニュートリノ検出を発表していないところが、とても気になる。（アンタレス方向からニュートリノ）
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posted at 17:48:46
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坂井先生の本、そもそも第1章の書き出しからして格調高いし、しかも微分方程式について「方程式から解を求めることだけでなく、解の函数と方程式とその対応を含めた構造全体の理解」が大事だと説かれており、安直に「微分方程式は解けたらうれしいね」とだけ思ってた僕には土下座するより他なかった
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posted at 19:25:05
(つづき) しかも1階正規系微分方程式の解の存在と一意性定理についても、積分方程式に書き直して逐次近似列の極限として解を構成する方法のみならず、形式巾級数で作った解の収束を示す方法と折れ線近似の極限で解を構成する方法も紹介されており、他の本より一段も二段も深い。
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posted at 19:34:29
(つづき) ちなみに、今のような「(微分方程式を) 色々な方向から眺めてみよう」という発想は、たとえば「超幾何函数の三位一体 (巾級数 / 微分方程式 / 積分表示)」とか、微分方程式の特別な解を指定するにはどういう条件の仕方があるかとか、いろんな場面で出てきます。
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posted at 19:41:04
@genkuroki #函数 ベクトルu=(a,b)とv=(c,d)の内積ac+bdと外積(行列式、±平行四辺形の面積)ad-bcに関する高校生向けの話はもう少し続きます。高校では複素数について習います。実は複素数の積をじっと眺めると内積と外積が見えます。続く
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posted at 20:41:12
@genkuroki #函数 続き。ベクトルu,vのそれぞれに複素数z=a+biとw=c+diを対応させます。そして、zの複素共役z^*=a-biとwの積を計算すると(a-bi)(c+di)=(ac+bd)+(ad-bc)iとなり、ちょうど内積と外積(行列式)が出て来る。続く
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posted at 20:43:33
@genkuroki #函数 続き。複素数は2次元平面における様々な数学を極めて綺麗な方法で表わす方法にもなっていて、内積・外積との関係以外にも多数の綺麗な話があります。高校でやることはそのほんの一部分に過ぎません。
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posted at 20:46:45
「日本おわた」と言いたくなるようなニュースですね。消費税率引き上げ後に消費が戻って来ていないことを示すチャートを見せてもらってないのかな？＞17年4月の消費増税、予定通り行う＝安倍首相 jp.reuters.com/article/2015/0... @Reuters_co_jpさんから
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posted at 20:54:15
@genkuroki もしも2017年4月に消費税率が再引き上げが実施され、その1年後の2018年4月に日銀トップが引き締め派に入れ替わったとする。これは怖いですよ。本当に怖い。よほどの神風でも吹かない限り、大変なことが起こる可能性が高い。
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posted at 21:00:49
@genkuroki 回転の表現との関わりで、複素数と四元数は次元が小さな特別な場合(2次元と3次元)と相性が抜群の道具として使われています。一般次元の回転とはClifford代数(スピノルの話)の相性がよいです。しかし、私はそういう話までしていたつもりはないということです。
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posted at 21:24:06
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