黒木玄 Gen Kuroki
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2016年08月26日(金)
#数楽 しばらく前のリンク紹介続き。
代数幾何や代数解析に似た用語として代数統計という用語があることを皆さんご存知でしょうか？
www.slideshare.net/mobile/motivic...
motivic氏によるスライド「幾何を使った統計の話」のうしろの方が代数統計の話。
タグ： 数楽
posted at 00:56:45
tsujimotter 日曜数学者 @tsujimotter
「明石写像」の話が付録 C に載っていてみつけたのですが、思いの外、前半部の Q 上の岩澤理論の話が読みやすかったので、あとでじっくり読みたいと思います。 twitter.com/tsujimotter/st...
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posted at 01:10:26
@llERihhimjdUBY4 @satokaneko 澤田石氏の呼びかけ文読みました
彼は、いくつかの勘違いの上に議論をしている事がよくわかりました
彼は、副反応の症状は他の疾患では説明できないので「新疾患だ」といっていますが、身体表現性障害と辺縁系脳炎を勉強するべきです
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posted at 01:12:25
@llERihhimjdUBY4 @satokaneko 未回復の副反応とされている症例の大半はこの既知の両疾患で説明可能です
既知の疾患に臨床症状が合致する方が大半であるにもかかわらず、わざわざ新疾患を提唱する意味が不明です
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posted at 01:19:12
@llERihhimjdUBY4 @satokaneko どうしても新疾患だというなら、身体表現性障害でも辺縁系脳炎でもCFSでもFMでも説明できない症状群の存在、または有意差の存在を示すべきですね
しかし、現実にはそのような症状群も有意差も認められていませんね
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posted at 01:27:51
@genkuroki #数楽 結構気になるのはKullback-Leibler divergence(以下KL情報量)が天下り的に「２つの確率分布の距離のようなもの」という形で導入されがちなこと。Sanovの定理に触れてそれが何なのかをはっきり説明してくれた方がわかりやすい。続く
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posted at 01:31:11
@genkuroki KL情報量D(p||q)は大雑把に言うと「確率分布qの独立試行をn回繰り返したとき経験分布pが得られる確率の対数のn分の1のn→∞での極限の-1倍」を意味している。その極限を計算するとD(p||q)=∫p(x) log(p(x)/q(x))dx となる。続く
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posted at 01:35:22
@genkuroki #数楽 つまり、KL情報量D(p||q)は確率分布qのもとでの経験分布pの生じ難さを表わす量なのである。p=qのときpの生じ難さは最小になり、D(q||q)=0となる。
これを知っているとKL情報量が出て来る式を納得しながら眺めることができるようになる。
タグ： 数楽
posted at 01:42:24
@genkuroki #数楽 以上で述べた数学的結果はSanovの定理と呼ばれており、確率論における易しい大偏差原理の典型例のひとつになっている。私が書いた解説は→ www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/...
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posted at 01:44:24
@llERihhimjdUBY4 @satokaneko それから、彼は因果関係調査の提唱も行っていますが、因果関係を調べる上では必ず対照群（コントロール）との比較が必要です
彼は対照群の無い調査を提唱していますが、これも意味がありません
他にも突っ込みどころ満載の文章でしたね
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posted at 01:48:33
「『南京事件』を調査せよ」（文藝春秋）は必ず「まえがき」から読んで頂きたいと思います。一行目からこう始まります。実はこれが大事な一文です。 pic.twitter.com/EmDwEGEigk
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posted at 01:57:51
@genkuroki #数楽 X_iは独立同分布な確率変数で未知の確率密度函数p(x)を持つとする。q(x)は未知の確率密度函数p(x)の推定値だとする。p(x)は未知だが、独立試行によって(1/n)Σ_{i=1}^n log q(X_i)は測定可能な量になる。続く
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posted at 01:58:10
@genkuroki #数楽 続き。そのn→∞での極限は大数の法則より∫p(x) log q(x) dxになる。さらに、D(p||q)=∫p(x) log p(x) dx - ∫p(x) log q(x) dx で、前者の項は未知であるがq(x)の取り方によらない定数で、続く
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posted at 02:04:33
@genkuroki #数楽 続き、後者の項は測定可能な量である。q(x)を動かしてD(p||q)を小さくすることと、測定可能な後者の項を小さくすることは同じことになる。こういう話が学習理論(機械学習)の話に出て来る。
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posted at 02:08:10
@genkuroki #数楽 続き。そのケースで、KL情報量D(p||q)は推定された確率分布qのもとで知りたい未知の確率分布p(x)の経験分布としての生じ難さを表す。そして、Σ_{i=1}^n log q(X_i)=log(q(X_1)…q(X_n)) は所謂尤度の対数。続く
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posted at 02:38:58
@genkuroki #数楽 どう読むのかすぐにはわからない「尤度」は「ゆうど」と読むようですが、英語ではlikelihood (確からしさ)です。尤度は推定された確率分布のもとで観測結果が生じる確率の大きさを意味し、確率分布の推定値のもっともらしさの指標としてよく使われます。
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posted at 02:43:42
@genkuroki #数楽 尤度そのものではなく、その対数をとってnで割って標本平均の形にするとn→∞で大数の法則が使える形になり、KL情報量と結び付くわけです。
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posted at 02:45:38
8/11に都数のTeX講習会で使用した資料を一部修正して公開しました．数学文書の作成に絞った内容になっています．マサカリは歓迎ですが，修正する気力が起きるとは限りませんので悪しからず． iso.2022.jp/math/texintro2...
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posted at 04:18:55
南京事件や日本軍「慰安婦」問題について「証拠があるなら見せろ！」と言ってくる人間はもう山程経験したけど、いざ史料（史料集）のリスト見せたらちゃんと読んだという人間はいないからね。彼らが求めているのは「証拠」じゃない。
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posted at 07:47:43
@nejinoki
Wikipediaに日本語記事はないけど、英語記事はここ → The Third Wave (experiment) en.wikipedia.org/wiki/The_Third...
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posted at 10:23:04
@nejinoki 失礼します。映画も存在するので是非。割と最近の作品です。ご存知でしたらすいません。 pic.twitter.com/vEYnD8QPC5
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posted at 11:24:43
#数楽 twitter.com/waidotto/statu...
y.さんのLaTeX解説が非常に良いので拡散→ iso.2022.jp/math/texintro2...
amsthmでtheoremstyle definitionを使うと定理環境の中が斜体でなくなります。しかし〜続く
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posted at 13:01:06
@genkuroki #数楽 続き〜、「定理3.5 (主定理)」の「(主定理)」の部分が太字にならなくなる。amsthmでそこも太字になるようにする方法を www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/... で紹介しておきました。ただしその文書は時代遅れの部分があるので注意！
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posted at 13:04:45
@genkuroki #数楽 定理環境で斜体を使わずにかつ「定理3.5(主定理)」の「(主定理)」を太字で印刷する方法。
www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/... より pic.twitter.com/R3JtKvibey
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posted at 13:09:10
@genkuroki #数楽 日本語の定理環境で斜体になるのが嫌だから\theoremstyle{definition}にすることは私自身も昔からすすめていました(ちょっと汚いやり方)。
\newtheoremstyleしても手間は大して変わらないのでそうした方がいいかも。
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posted at 13:16:47
1000は期待値だと解釈できると主張して積分定数さんを批判した人達はすでに大恥をかいていると思う。ものすごくクリアな話。個人的に議論する価値がないと思うレベルです。私の頭の中ではバカ扱い決定中。【サ..「確率に関してのやりとり」 togetter.com/li/1014274#c30...
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posted at 14:22:57
積分定数さんは私ならまじめに相手をする価値がないと思ってしまうような人達にもいつも丁寧に対応していると思います。ここのコメント欄の読者はそういう積分定数さんの丁寧さを評価するべきだと思う。私には積分..「確率に関してのやりとり」 togetter.com/li/1014274#c30...
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posted at 14:29:44
EDO_0さんとbsb_hiryuさんはツイッターの方でミュートしました。今後その2人のメンションに私が反応していないときにはミュートしているからだと認識して頂けると助かります。「確率に関してのやりとり」 togetter.com/li/1014274#c30...
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posted at 14:37:49
@genkuroki いやあびっくりした。
togetter.com/li/1014274 のコメント欄を見たら、添付画像の発言の1000を期待値だと解釈できるという説を本気で主張している人がいるように見えた。さすがにありえん！ pic.twitter.com/LWwOR7ozDI
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posted at 14:47:25
@genkuroki pic.twitter.com/LWwOR7ozDI 私なら「添付画像の中の1000は期待値の意味だと解釈できるというおバカなことを言ってきたのでコメント欄からブロックしました」としても全然問題ないと思います。相手をするだけ時間の無駄だと思う。
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posted at 14:49:43
@genkuroki 積分定数さんはそういうことを決してせずにいつも丁寧に対応していると思う。(丁寧な対応なのに攻撃的な態度だと決めつける攻撃的な人達が実に多い。) 私には決して真似できないことです。その丁寧な対応のおかげで私に得ることが不可能な情報を引き出しているときもある。
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posted at 14:53:26
@genkuroki 「サイコロを6000回ふることをワンセットにして、6000回ふることを何度も繰り返したとき、6000回中に1の目が出る回数はどのように変動するだろうか？」のように考えることができれば理解が一歩進むと思う。経験分布も確率変数であることの理解には慣れが必要かも。
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posted at 15:00:20
@AfpidShounika @satokaneko ワクチン否定派の方って、意図的に心因性障害を無視してる印象すらあるんですよね。HANSを提唱している医師も、思春期女児の心因性障害を見たことがないらしいですし。
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posted at 15:07:58
@genkuroki #数楽 nはそこそこ大きいとする(n≧30くらいとする)。サイコロをn回ふる行為をたくさん繰り返すとき、n回中1の目が出る回数はどのように分布するだろうか？たくさん繰り返せばn/6をピークとする釣鐘型の分布が得られます。続く
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posted at 15:08:42
@genkuroki #数楽 続き。分布のばらつきの幅を表す指標である標準偏差はσ=√(n(1/6)(5/6))であり、n/6を中心に左右に2σの範囲に95%程度が分布するだろうと予想することができます。
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posted at 15:16:24
@genkuroki #数楽 たとえばn=6000回サイコロを振ると1の目が出る回数が1000±58の範囲に入る確率は95%程度になります(どんぶり勘定)。
こういうどんぶり勘定の背景には「正規分布で近似できる」という中心極限定理があります。続く
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posted at 15:21:20
@genkuroki #数楽 それでは、1から6の目まで各々の目が出る回数を考えたらどうなるでしょうか？多次元的正規分布にあまり触れていない初歩的な統計学の教科書ではいきなりピアソンのカイ二乗統計量を持ち出して、「n→∞でカイ二乗分布に従う」と書いてあるかもしれません。続く
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posted at 15:27:36
@genkuroki #数楽 続き。個人的にそういう天下り的な理解をするのではなく、二項分布の正規分布による近似(分布がある特定の釣鐘型になる話)をすなおに拡張して、多項分布を多次元正規分布による近似を理解したい所だと思います。続く
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posted at 15:30:30
@genkuroki #数楽 続き。サイコロの場合にはn回中iの目が出る回数をk_iとすると、n回サイコロをふる行為を繰り返したときの6次元空間中の(k_1,…,k_6)の分布は、(n/6,…,n/6)をピークとする平べったい釣鐘型になります。続く
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posted at 15:35:32
@genkuroki #数楽 続き。分布が平べったくなるのは、1から6目が出る回数の総和はnになるので、条件k_1+…+k_6=nで定義される6次元空間中の5次元超平面に分布が制限されるからです。その分布のグラフを描くためには横軸5次元縦軸1次元の6次元が必要になる。
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posted at 15:40:32
@genkuroki #数楽 それは大変なのでコンピューターで計算してグラフを描いて感じをつかむためには、1から3の目が出るルーレットのようなものを想定して遊んでみた方がよいと思う。
タグ： 数楽
posted at 15:41:54
@genkuroki #数楽 1から3の目が等確率で出るルーレットをn回まわして1の目が出る回数をk、2の目が出る回数をlとすると、((k-n/3)/√n,(l-n/3)/√n)の分布はnが大きなとき分散1/3-(1/3)^2、共分散-(1/3)^2の正規分布で近似できます。続く
タグ： 数楽
posted at 16:01:42
@genkuroki #数楽 その二次元正規分布のグラフの形は添付画像のようになります(定数倍は無視)。等高線が楕円の釣鐘型の曲面になります。 pic.twitter.com/7DlNI43N0K
タグ： 数楽
posted at 16:03:23
@genkuroki #数楽 等高線は添付画像の通り。これらのグラフを見れば、それらが「二項分布を山型(釣鐘型)の分布で近似できる」という話がどのように3つ以上の目が出る場合(多項分布)の場合に拡張されるかがなんとなくわかると思う。 pic.twitter.com/BLSBB2HQuV
タグ： 数楽
posted at 16:06:28
@genkuroki #数楽 ピアソンのカイ二乗検定の話は、先のグラフのような形の確率密度函数を持つ多次元正規分布とカイ二乗分布(ガンマ分布)の関係から出て来ます。
タグ： 数楽
posted at 16:13:16
@genkuroki #数楽 「二項分布は正規分布で近似し、多項分布の場合にはピアソンのカイ二乗検定を使う」という理解は実用的には便利ですが、「二項分布も多項分布もどちらも同じように考えることができる」というようにも理解しておきたいものだと思います。
タグ： 数楽
posted at 16:16:36
@genkuroki １～３の目だけでて、それぞれの確率がp,q,r（p+q+r＝１）の場合、3項分布の極限としての３項分布は、Ａexp｛ー（x^2/p＋y^2/q+z^2/r）/2｝（x+y+z＝0）でいいのでしょうか？
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posted at 16:54:43
@genkuroki 訂正 3項分布の極限としての正規分布は
Ａはサボって計算していないけど、x+y+z＝0に注意して全範囲で積分して１になるように調整する。３項分布を√ｎで補正して、微分方程式を作って解いたのですが。
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posted at 16:56:37
男性の簡易生命表を見ていたんだけど、男性の生存50% のラインが 84 死亡率が一割を超えるのが86, 女性はなんと50% ラインが90 で一割超えるのが91. 案外先が長い。これは大変だ。
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posted at 17:31:57
@sekibunnteisuu そうはならないです。exp()の中にxyのような項も入って来ます。あと部分空間への「制限」は「デルタ函数」をかけることによって実現します。「デルタ函数」を避けるためには最初から変数の個数を少なくしておけばよいです。続く
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posted at 17:32:45
@genkuroki @sekibunnteisuu 多項分布と多次元正規分布の関係については例のノートに解説を書いておいたのですが、現在停電のせいでサーバー停止中。
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posted at 17:35:34
@genkuroki @sekibunnteisuu p,q,r>0、p+q+r=1とき、それぞれp,q,rの確率で1,2,3の目が出るルーレットをn回まわしたとき、1,2,3の目が出た回数をそれぞれK,L,Mと書きます。K,L,M自身が確率変数。常にK+L+M=nなので、続く
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posted at 17:39:37
@genkuroki @sekibunnteisuu 続い、独立な変数は2個。その2個としてK,Lを選びます。K,Lの平均値はそれぞれnp,nqでそれらの分散はそれぞれn(p-p^2),n(q-q^2)になり、それらの共分散は-npqになります。定義と計算はググって下さい。続く
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posted at 17:42:34
@genkuroki @sekibunnteisuu #数楽 だから、X=(K-np)/√n、Y=(L-nq)/√nはどちらも平均0で、それぞれの分散はp-p^2,q-q^2になり、共分散は-pqになります。この計算と中心極限定理を合わせると、nが大きなとき、(X,Y)が〜続く
タグ： 数楽
posted at 17:45:28
@genkuroki @sekibunnteisuu #数楽 続き〜従う分布はそれらと同じ平均、分散、共分散を持つ2次元正規分布で近似されます。知りたいのはその確率密度函数の具体的な形。対角成分が分散たちで、それ以外の成分が共分散の行列Aを分散共分散行列と呼びます。続く
タグ： 数楽
posted at 17:49:29
@genkuroki @sekibunnteisuu #数楽 以上の状況で、A={{p-p^2,-pq},{-pq,q-q^2}}なので、A^{-1}=(1/r){{(1-q)/p,1},{1,(1-p)/q}}となる(p=q=r=1/3のとき{{6,3},{3,6}})。
タグ： 数楽
posted at 17:56:07
@genkuroki @sekibunnteisuu で、一般に分散共分散行列がAで、A^{-1}=[b_{ij}]のとき、対応する平均0の正規分布の確率密度函数は
exp(-(1/2)Σ_{i,j} b_{ij} x_i x_j)/√det(2πA)
になります。
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posted at 18:02:05
@genkuroki @sekibunnteisuu p=q=r=1/3の場合の確率密度函数のグラフ(定数倍の部分は無視)はすでに投稿したグラフの画像の通りです。
www.wolframalpha.com/input/?i=z%3de...)
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posted at 18:08:42
@genkuroki ありがとうございます。出目の確率がp,q,rでp+q+r=1、n回投げたときそれぞれの回数が、np+x，nq+y, nr+z (x+y+x=0) となる確率が
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posted at 18:24:02
@genkuroki {p^(np+x)}{q^(nq+y)}{r^(nr+z)}n!/^{(np+x)!(nq+y)!(nr+z)!} となるから、ここから、全体に√nをかけて、さらにx,y,zをx√n,y√n,z√nに置き換えてn→∞を求めたのですが、この先で間違えたのかな？
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posted at 18:27:41
ナショナリズムよりもこっちの結論の方がよっぽどpolitically incorrectな気がしてビクビクしますね．＞文化の違いは 「国家間」より「国内」のほうが大きい www.dhbr.net/articles/-/4433 via @dhbr_japan
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posted at 18:44:34
@sekibunnteisuu その方針での計算もStirlingの公式をぶちこんでがんばればできます。でもかなり大変。
特性函数の方でn→∞とするのが確率論の教科書によくある方針です。
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posted at 19:00:03
#数楽 某ノートから多項分布と多次元正規分布とピアソンのカイ二乗統計量の解説部分を抜き出して放流(1/4)
多項分布の定義と平均・分散の計算 pic.twitter.com/icTBfnO2xD
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posted at 19:13:54
子宮頸がんワクチンは男性も打って！アメリカがん協会が勧告
アメリカでは男性に対する接種の勧告も始まった。 medley.life/news/item/57bd...
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posted at 19:55:51
@genkuroki #数楽 可逆でない分散共分散行列を持つ正規分布も応用上自然に出て来るという事情があるので、多次元正規分布を定義するときに分散共分散行列が可逆という条件を課したくない。そのためのシンプルな方法は特性函数がexp(高々2次函数)になるという条件で定義すること。
タグ： 数楽
posted at 20:10:00
いくら丁なりバンカーのツラ目が出たとしてもポンコツが入ってない限りは確率は1/2ってだけのことで、なんでこんなに伸びるねん？「確率に関してのやりとり」 togetter.com/li/1014274#c30...
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posted at 21:34:53
中高生専用SNS「ゴルスタ」運営批判は威力業務妨害でBAN、復帰には協力姿勢と反省文という驚異の体制を見て震える人々 - Togetterまとめ togetter.com/li/1016394 @togetter_jpより
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posted at 21:36:06
@genkuroki #数楽 ひとことで言えば、正規分布(多次元版を含む)とカイ二乗分布の関係はベクトルとその長さの二乗の関係そのものです。
正規直交座標系における成分が(x_1,…,x_r)のベクトルの長さの二乗はx_1^2+…+x_r^2です。続く
タグ： 数楽
posted at 22:37:48
@genkuroki #数楽 続き。その話のベクトル(x_1,…,x_r)は平均0、分散1、共分散0のr次元正規分布に対応し、そのベクトルの長さの二乗はx_1^2+…+x_r^2は自由度rのカイ二乗分布に対応しています。ベクトルの長さの二乗に対応するのがカイ二乗分布。続く
タグ： 数楽
posted at 22:40:24
@genkuroki #数楽 プログラミングでの乱数のように参照するごとにある決まった確率である数値になる変数を確率変数と言います。たとえばXが標準正規分布にしたがう確率変数であるとは(a<X<bとなる確率)=∫_a^b (e^{-x^2/2}/√(2π))dxとなることです。
タグ： 数楽
posted at 22:44:54
@genkuroki #数楽 確率変数XとYが独立であるとは(f(X)g(Y)の期待値)=(f(X)の期待値)×(g(Y)の期待値)が常に成立することだと定義できます。3つ以上の確率変数の独立性も同様に定義します。確率が積になるという言い方で独立性を定義することまできる。
タグ： 数楽
posted at 22:49:54
@genkuroki #数楽 確率変数の言葉を使えば、ある特別なr次元正規分布から自由度rのカイ二乗分布を正確に定義できます。標準正規分布にしたがう確率変数X_1,…,X_rは独立であることと、ベクトル値確率変数(X_1,…,X_r)は特別なr次元正規分布にしたがう。続く
タグ： 数楽
posted at 22:53:29
@genkuroki #数楽 続き。このとき、ベクトル値確率変数(X_1,…,X_r)の長さの二乗X_1^2+…+X_r^2 (これも確率変数)が従う確率分布を自由度rのカイ二乗分布と呼ぶ。これがカイ二乗分布の数学的に正確な定義です。まさにベクトルの長さの二乗そのもの！続く
タグ： 数楽
posted at 22:57:41
@genkuroki #数楽 独立な標準正規分布に従う確率変数X,Yを並べたベクトル値確率変数(X,Y)が従う2次元正規分布の確率密度函数はe^{-(x^2+y^2)/2}/(2π)になります。そのグラフは添付画像で pic.twitter.com/SdGrFD1Pt8
タグ： 数楽
posted at 23:04:47
@genkuroki #数楽 この特別な2次元正規分布で等高線はすべて原点を中心とする真円になっています。そして真円は原点からの距離が一定の点の集合です。そしてその距離の二乗はx_1^2+…+x_r^2 (今の場合はr=2)と表されます。続く
タグ： 数楽
posted at 23:08:51
@genkuroki #数楽 一般の二次元正規分布では先の特別な二次元正規分布での真円が楕円に変わります。たとえばz=const. e^{-3(x^2+xy+y^2)}を確率密度函数のグラフは添付画像の通り。 pic.twitter.com/GBrBkfakIT
タグ： 数楽
posted at 23:13:20
@genkuroki #数楽 続き。等高線は楕円になります。このようなケースであっても適切な座標変換(直交変換した後に各軸方向をスケーリングする)をすれば先の特別な2次元正規分布が得られ、そこから自由度2のカイ二乗分布に従う確率変数も得られます。続く
タグ： 数楽
posted at 23:16:55
@genkuroki #数楽 続き。そのようにして得られたカイ二乗分布に従う確率変数は、確率密度函数の等高線が楕円であるような2次元正規分布における原点(期待値)からの確率的な意味での距離の二乗というような意味を持っていると考えられます。楕円的な距離を考えている。
タグ： 数楽
posted at 23:19:08
@genkuroki #数楽 一般にr次元の台を持つような任意の多次元正規分布から同様の手続きで自由度rのカイ二乗分布に従う確率変数を標準的に作れます。これは大学一年で習う線形代数の話そのもの。そのことを理解していればカイ二乗分布の正体はわかったと言ってよいと思います。
タグ： 数楽
posted at 23:21:57
@genkuroki #数楽 どうしても、実対称行列の直交行列による対角化の話からにげることはできない。実対称行列の対角化もまた普遍的に役に立つツールの典型例なのでそこから逃げるのは不健全な行き方だと思う。
現実の授業では不健全な道に入り込むことの方が多いのですが。(ごめん！)
タグ： 数楽
posted at 23:24:57
@genkuroki #数楽 で、カイ二乗分布の統計学への応用のためにはこれで話が終わらず、多次元正規分布からカイ二乗分布が得られるという話以外に、ピアソンのカイ二乗統計量を導入しなければいけない。ピアソンのカイ二乗統計量はn→∞でカイ二乗分布にしたがうようになります。
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posted at 23:29:34
@genkuroki #数楽 ピアソンのカイ二乗統計量は多項分布に対して定義されます。そして中心極限定理によって多項分布が多次元正規分布で近似できる場合に、ピアソンのカイ二乗統計量はその多次元正規分布から得られるカイ二乗分布に近似的にしたがいます。
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posted at 23:31:52
@genkuroki #数楽 色々違うものに「カイ二乗」というラベルがついていて、「用語の体系が混乱を招くように作ってあるのではないか」と疑いたくなるほどなのですが、統計学特有の用語をすべて忘れて普通に数学的に理解すれば、シンプルなことしかやっていないことがわかります。
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posted at 23:34:40
@genkuroki #数楽 以上の準備のもとで、添付画像の形で紹介した私によるピアソンのカイ二乗統計量に関する解説を twitter.com/genkuroki/stat... で見れば理解できる人はかなり増えていると思います。線形代数の威力！
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posted at 23:37:55
