羽海野 @CHICAUMINO

17年2月20日

サラサラっとして泡切れよく良い香りですね #Magica #3月のライオン #5分間に合わなかった #読み方がニアミス #LION pic.twitter.com/MJnDiRtfZl

タグ： 3月のライオン 5分間に合わなかった LION Magica 読み方がニアミス

posted at 00:09:40

旧とべ @abcjdaprn

17年2月20日

そういえば学校教育は「掛け算の順番を指定」とかで考え方とかを(教員側にとって)教えやすくしてきたけど、プログラミング教育でそれやったら批判殺到だよなぁ…。

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posted at 03:08:06

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。圏Cの対象Xに対して、Y_X(A)=A^X=Hom_C(X,A)が米田函手。米田の補題は函手F:C→Setについて

Hom_{Set^C}(Y_X,F)≅F(X)
θ↦θ_X(id_X)
(f↦Ff(x))↤x

が成立するということ。続く

タグ： 数楽

posted at 09:06:38

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。米田の補題の証明は、圏Cでの射f:X→Aはg∈Hom_C(X,X)=Y_X(X)を自然にf◦g∈Hom_X(X,A)=Y_X(A)に対応させるが、g=id_Xにはf自身が対応することに注意すれば、その後は単純作業に過ぎない話になる(試行錯誤すれば納得できる)。続く

タグ： 数楽

posted at 09:13:32

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。圏Cの対象Xを集合F(X)に対応させる操作Fが与えられているとき、Fが函手でなくても、圏Cのすべての対象Aについて、

Φ(X)=Hom_{Set}(Hom_C(X,A),F(A))

はΦはXに関する函手になる。こういう自明な話が役に立っているんですね。続く

タグ： 数楽

posted at 09:19:44

非公開

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posted at xx:xx:xx

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。(Haskellなどで)型Xに型F(X)を対応させる操作Fを函手にするためのコードが書かれていないとき、Fを自動的に函手にする操作があればコードを書く手間を減らせます。FからΦ(X)=(∀A, (X→A)→F(A))を作る操作はまさにそれ！米田函手のアイデア。続く

タグ： 数楽

posted at 09:25:29

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。数学科卒業生などですでに数学を知っている人が米田函手やKan拡大のアイデアがプログラミングで役に立つという話を勉強するときには、それらの構成法が教科書的な範囲を超えた場合に適用されていることに注意した方がいいかもしれません。それらの構成法が函手以外に適用されている。

タグ： 数楽

posted at 09:28:39

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。ぶっちゃけ、自明な話。続く

タグ： 数楽

posted at 09:34:50

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。数学的には自明でつまらない話であっても人間がする仕事の手間を減らすために役に立つ道具は結構たくさんあるのだと思う。そしてそういう道具を見付けることには地道な創造性が必要な感じがする。こつこつ積み上げる仕事は実際にやってみないとどういう感じなのかわからない。続く

タグ： 数楽

posted at 09:38:03

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。リンクメモ

FreerモナドとCoyonedaについて
qiita.com/masaki_mori/it...
【当たり前のものに変な名前を付けるのをやめてほしい】

タグ： 数楽

posted at 09:39:21

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。リンクメモ

Freeモナドまとめ
qiita.com/masaki_mori/it...
【あえて同じ記号を濫用してわかりづらくすると】

感覚的なところに色々共感してしまった。

タグ： 数楽

posted at 09:42:45

DNSの仕組を学ぼう @beyondDNS

17年2月20日

「当たり前のものに変な名前を付けるのをやめてほしい」
よく言ってくれた。！！！ twitter.com/genkuroki/stat...

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posted at 10:29:41

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 Haskellにおける自由モナドとノイマン級数の話

まず、ノイマン級数。ノイマン級数と言うと難しい話だと誤解する人が出るのでよろしくないのですが、みんなそう呼んでいるようなのでそう呼ぶことにする。ノイマン級数とは次の等比級数のことです。

1+a+a^2+a^3+…

タグ： 数楽

posted at 12:33:01

積分定数 @sekibunnteisuu

17年2月20日

#超算数　７が正解で３は間違い、とドヤ顔で語る人がいるが、そもそもこんな問題を出すこと自体がおかしいと言うはなし。この問題が出される背景には等分除・包含除の区別があり、その背景には掛け算の順序があり、実にくだらないことである。
togetter.com/li/1081137

タグ： 超算数

posted at 12:33:28

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。ノイマン級数1+a+a^2+a^3+…は数学のあちこちによく出て来ます。高校では|a|<1ならば1+a+a^2+…=1/(1-a)となることを習う。大学の線形代数では正方行列の級数E+A+A^2+…が収束するならば収束先は逆行列(E-A)^{-1}になることを知る。

タグ： 数楽

posted at 12:35:38

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。行列Xが単位行列に何らかの意味で十分に近ければ、A=E-Xとおくと、E+A+A^2+…が(E-A)^{-1}=X^{-1}に収束し、単位行列に近い行列Xの逆行列の一つの計算の仕方が得られるわけです。行列の話は作用素の話に一般化される。続く

タグ： 数楽

posted at 12:39:24

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。適切な線形代数の授業を受けていれば、行列の成分は実数や複素数のようなタイプの数ではなく、デジタルコンピューター的に0と1だけであってもよいことを知っているはず。ただし、1+1=0と約束しておく。有限体上の線形代数は役に立つ数学の典型例の一つです。続く

タグ： 数楽

posted at 12:41:05

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 リンクメモ
メルセンヌツイスター 有限体 行列 を検索
www.google.co.jp/search?q=%E3%8...

擬似乱数発生法のメルセンヌツイスターは1+1=0の線形代数の典型的な応用例であることは有名だと思う。

タグ： 数楽

posted at 12:50:00

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 1+1=0と約束して有限体上の話にせずに、1+1=1と約束しても役に立つ数学を展開できる。すなわち足し算をOR演算とみなしても面白いことをできる。{0,1}における通常の掛け算はAND演算そのもの。足し算をOR演算とみなしても行列の積と和の計算の仕組みはうまく働く。続く

タグ： 数楽

posted at 12:54:56

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。集合Xの部分集合Aは0と1のみを成分に持つサイズが"X"のベクトルと同一視できる。すなわち、x∈Xについて、x∈Aならばx番目の成分は1で、そうでないならばx番目の成分は0であるようなベクトルはXの部分集合Aと同じ情報量を持っている。続く

タグ： 数楽

posted at 12:59:11

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。X={1,2,…,n}ならば普通のn次元ベクトルになる。

同様にX×Yの部分集合Rはサイズ"X×Y"の行列と同一視できる。第(x,y)成分が1か0であるかを(x,y)がRに含まれるか否かで決めることによってサイズ"X×Y"の行列が得られる。続く

タグ： 数楽

posted at 13:01:17

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。写像f:X→YからY×Xの部分集合{(f(x),x)|x∈X}が定まり、それから定まる行列をFと書こう。そのとき、行列Fとサイズ"X"のベクトルaの積Faはちょうど写像fでaに対応するXの部分集合Aをうつして得られるYの部分集合に対応している。続く。

タグ： 数楽

posted at 13:06:14

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。このようにして集合間の任意の写像は0と1だけを成分にもつ行列(一般に無限サイズになる)の特別な場合だとみなされる。こういう言い方をすると非自明だと誤解してしまいそうだが、以上の話は自明でつまらない話の典型例の一つでしかない。単なる言い直し。続く

タグ： 数楽

posted at 13:08:08

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。X×Xの部分集合R(このようなRはXにおける二項関係と呼ばれている)に対応する0と1だけを成分に持つ行列もRと書き、A=R+R^Tとおく(R^Tは転置行列)。このときノイマン級数E+A+A^2+…(和はOR演算)はRを含む最小の同値関係になっている。続く

タグ： 数楽

posted at 13:13:22

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。RからA=R+R^T(ここでR^Tは転置で+はOR演算)を作る操作で対称律(対称行列性)が保証され、ノイマン級数の単位行列Eの部分から反射律が保証され、級数の無限和によって推移率が保証される。ノイマン級数は推移律を保証するための最小の手続きになっている。続く

タグ： 数楽

posted at 13:15:48

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。数学では一般に「○○を含む最小の△△」のことを「○○で生成される(された)△△」と呼ぶ習慣になっている。その習慣を使えば「A=R+R^Tとおくとき、E+A+A^2+…はRから生成された同値関係になっている」と言うことができる。続く

タグ： 数楽

posted at 13:18:23

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。Haskellにおける「自由モナド」の実装もノイマン級数の方法によっているとみなすこともできる。Fのノイマン級数を一時的にF^*=1+F+F^2+…と書こう(後で別の定義に移る)。このとき1+FF^*=1+F(1+F+F^2+…)=1+F+F^2+…=F^*. 続く

タグ： 数楽

posted at 13:22:37

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。すなわち、Fのノイマン級数F^*はGを1+FGにうつす操作の不動点になっている。一つ前のツイートではFの左からの積と無限和を取る操作が可換であることを使ったが、そういうことを使わなくても、
F_0=1, F_{n+1}=1+FF_nと定義して、～続く

タグ： 数楽

posted at 13:28:10

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き～、F(A+B)=FA+FBを使わなくても、
F_0=1
F_1=1+F
F_2=1+F(1+F)
F_3=1+F(1+F(1+F))
F_4=1+F(1+F(1+F(1+F)))
……
の極限F^*が適切な意味で存在すれば、F^*=1+FF^*を満たすはず。続く

タグ： 数楽

posted at 15:43:07

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。Haskellでの自由モナドの実装の仕方はまさに、以上のような考え方で函手FからHaskellの意味での自由モナドF^*=Free Fを作るようになっています。続く

タグ： 数楽

posted at 15:45:49

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。足し算は交わりの無い和集合(非連結和)と解釈すると、F^*=1+FF^*は

F^*(X) = X⊔F(F^*(X))

を意味します。Haskellっぽい書き方では

Free F X = Pure X | Free (F (Free F X))

となる。続く

タグ： 数楽

posted at 15:54:25

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 辞書

集合と写像 ⇆ Haskell
集合 ⇄ 型
写像 ⇄ 函数
直積 × ⇄ ( , )
直和 ⊔ ⇄ |
F^*(X)=X⊔F(F^*(X)) ⇄ Free F X = Pure X | Free (F (Free F X))

タグ： 数楽

posted at 15:59:43

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 例えば、F(X)={(op x x')|x,y∈X}のとき
F_0(X)={x}
F_1(X)={x, (op x x')}
F_2(X)={x, (op x x'), (op (op x x') x''), (op x (op x' x''))}
…
続く～

タグ： 数楽

posted at 16:04:43

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き～
F_3(X)={x, (op x x'), (op (op x x') x''), (op x (op x' x'')), (op (op (op x x') x'') x'''), …, (op x (op x' (op x'' x''')))}
…
続く～

タグ： 数楽

posted at 16:06:33

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き～となり、F_0(X), F_1(X), F_2(X), …の極限(今の場合は和集合)は「集合Xの元たちに二項演算記号opを形式的に有限回施した式全体の集合」になります。これがモナドになっていることはほぼ明らかです。続く

タグ： 数楽

posted at 16:09:00

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。「集合Xの元たちに二項演算記号opを形式的に有限回施した式全体の集合」をT(X)=F^*(X)と書くことにします。T=F^*がモナドであるとは、函数η:X→T(X)、( )^*:(X→T(X))→(T(X)→T(Y))が定まっていて、モナド則を満たしていること。続く

タグ： 数楽

posted at 16:12:09

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。函数η:X→T(X)=X⊔F(T(X))は単なる包含写像として自然に定まります。函数f:X→T(Y)は、Xの元x(型Xの要素x)へのYの元f(x)の代入を実行する函数f^*:T(X)→T(Y)を定めます。これらによってT=F^*は自然にモナドになります。続く

タグ： 数楽

posted at 16:16:59

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。たとえば、f(a)=(op x y), f(b)=(op y x), f(c)=z のとき
f^*((op a (op b c)))=(op (op x y) (op (op y x) z))) です。f^*はfの自然な拡張になっています。続く

タグ： 数楽

posted at 16:20:35

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。以上のT=F^*は函手F(X)={(op x x')|x,x'∈X}から生成される自由モナドになっています。このようなモナドもモナドの典型例です。そしてT代数は二項演算が定められた集合と同じものになります。T(X)は自由T代数になる。続く

タグ： 数楽

posted at 16:24:07

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。自由モナドは二項演算がopの一つだけではなく、k項演算(k=0,1,2,…)を複数個の場合にも同様に作れます。そのような自由モナドをTと書くと、T(X)は集合Xの元達に複数の演算記号を形式的に有限回施した結果全体の集合になります。続く

タグ： 数楽

posted at 16:26:57

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。そのときT代数は複数の演算が定義されている集合と一致する。この例を知っていれば、自由モナドとT代数の典型的な例が多数得られ、どうしてT代数という言い方でモナドが代数を定めるかのように言いたくなる理由もわかります。

タグ： 数楽

posted at 16:29:20

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 添付画像はHaskellでのT(X)という型の定義の例。":t"は型の確認用のコマンドです。 pic.twitter.com/GFjLalq8mM

タグ： 数楽

posted at 16:42:05

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 もしかしたら、モナドの典型例として以上のタイプの自由モナドの例を最初から説明した方がわかりやすかったかも。どうしてT代数を考えたくなるかも、演算子を含む形式的な式全体を作る操作が自由モナドになることを知っていればわかると思う。続く

タグ： 数楽

posted at 16:45:58

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 一般に函手Fに対してF代数が「函数α:F(X)→Xが与えられたX」と定義されます。F(X)={(op x x')|x,x'∈X}ならば函数αは式(op x x')を評価して値を得る函数になります。これは二項演算opを持つ代数の一種です。より複雑な式は自由モナドで扱える。

タグ： 数楽

posted at 16:50:16

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 これでHaskellにおいて有名なモナドの例については大体説明が終わったことにしていいと思う。(何か忘れている易しい重要な例は残っているか？)

タグ： 数楽

posted at 16:52:33

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 高校で数学を習えば等比数列の和(ノイマン級数) a^*=1+a+a^2+a^3+…=がa^*=1+aa^*を満たしていることを理解できる。同様に F^*=1+FF^* によってFから生成される自由モナドF^*も得られる。やはり柔らかい頭で数学を勉強しておくことは大事。

タグ： 数楽

posted at 16:59:14

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。a=1/3についてa^*=1+a+a^2+…を計算するとa^*=3/2となることがわかる。数の計算なのでa^*を理解することは易しい。

それに対して、函手Fに対する1+F(1+F(…Ｆ(1+F)…))のネストを増やす極限F^*の理解はややこしい。続く

タグ： 数楽

posted at 17:02:51

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。似たような話は代数学入門として群論を勉強する場合にもよく出て来ます。有限群の元の個数は自然数になり、算数でたくさんの計算を練習したのですが、有限群に関する計算はずっとややこしくなり、簡単に理解することは難しくなります。続く

タグ： 数楽

posted at 17:05:24

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。しかし、「数でできていたような計算を函手や群でもできないだろうか？」と考えることはとても有益です。その手の曖昧な問題を考えるときには論理的に正確な推論能力がものすごく役に立ちます。論理的スキルがあればいい加減で曖昧なことを考えてもバランスを崩さずにすむ。

タグ： 数楽

posted at 17:07:31

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

#数楽 続き。将棋や囲碁の強い人達はまるで直観的に考えて結論を出しているように見えても裏では正確な「読み」の力が自動的に起動しているのと同じように、数学に関わるあらゆる事柄でも直観と論理が同時に働くような頭の使い方をすることは重要だと思います。

タグ： 数楽

posted at 17:12:12

砂___の___女 @vecchio_ciao

17年2月20日

小5次男、学校で理科の「振り子」実験やったらしい。
あとで詳しく聞く。

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posted at 18:08:29

科学雑誌Newton（ニュートン）公式 @Newton_Science

17年2月20日

「雑誌『Newton』刊行継続のご報告」と題するプレスリリースを2月20日に公開いたしました（公式Webサイトで公開したPDFを画像化したものです）。 pic.twitter.com/eWFraCYADo

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posted at 18:12:57

IKEYA, Tomonori @ikeyaT

17年2月20日

ニュートン何十年かぶりに定期購読再開するかのう。

タグ：

posted at 18:59:51

狂言 善竹十番@神戸 大蔵流 志芸の会 @zenchiku10ban

17年2月20日

狂言と九九の話。狂言から離れますが、能《大仏供養》の冒頭に、清水寺に「一七日参籠」という詞があります。ここで面白いのは、７日間×１回のつもりで言っているらしいこと。今の九九でしたら一七→「１×７」と考えますが、能・狂言の言葉と現代では「掛ける数」と「掛けられる数」が逆なのですね。

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posted at 19:00:52

砂___の___女 @vecchio_ciao

17年2月20日

#超理科 小5 #振り子

実験の結果、「重りの重さが大きい方が速くなる」「振れ幅が大きい方が速くなる」と書いたら、先生が「教科書に“変わらない”と書いてあるから書き直して」と“指導”したそうだ。

次男は、渋々その場は書き直したけど、「実験結果と違う」と納得していない。 pic.twitter.com/fkW54BABzT

タグ： 振り子 超理科

posted at 20:29:13

砂___の___女 @vecchio_ciao

17年2月20日

重さの違う重りは、「ガラスの玉」「金ぞくの玉」「木の玉」と書かれているが、実際には分銅の個数を3個、2個、1個で代用した。

教科書は大日本図書『新版 たのしい理科 5年』、『観察と実験』ノートは愛知県小中学校長会 編。

#超理科 #振り子

タグ： 振り子 超理科

posted at 20:38:31

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

「あれ？ワムウ？」
「ドメル将軍です」

タグ：

posted at 21:27:18

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

「もしかして承太郎？」
「いや古代進」(よくわかったな)

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posted at 21:28:00

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年2月20日

「このロンゲ、もしかして？」
「そう。花京院」

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posted at 21:29:22