黒木玄 Gen Kuroki(@genkuroki)/2023年04月26日

#数楽解説。高校数学の範囲内での説明は苦しいので好きなように書きます。

調和級数

Hₙ=1/1+1/2+…+1/n

はガンマ函数の対数微分(ディガンマ函数)

ψ(x) = (d/dx)log Γ(x)

を使って、

Hₙ = ψ(n+1) + γ

と書けます。ここでγ=-ψ(1)はオイラー定数です。続く

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posted at 00:10:03

#数楽ディガンマ函数ψ(x)はガンマ函数が出てくる統計モデルの扱いでよく使われる特殊函数で、基本特殊函数ライブラリを使えばコンピュータで容易に数値計算できます。

この知識はガンマ函数を実用的に使いたい人にとって重要。

調和級数-γは役に立つディガンマ函数に連続的に拡張されます。

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posted at 00:10:04

#数楽ガンマ函数のx→♾️での漸近挙動(スターリングの公式)から、ψ(x)の漸近挙動がわかり、調和級数の漸近挙動が得られます:

H_n = log n + γ + 1/(2n) + O(n⁻²).

ゆえに、

H_{n+m} - H_n = log(1 + m/n) - m/(2(n+m)n) + O(n⁻³).

左辺は 1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/(n+m) に等しいです。

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posted at 00:10:05

#数楽このことから、mが大きめの数で、n >> m ならば、

1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/(n+m)

が

log(1 + m/n) ≈ m/n - m²/(2n²)

でよく近似されることが分かります。

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posted at 00:10:05

#数楽 H_n = log n + γ + o(1) だけですますなら、ディガンマ函数は必要ありません。高木貞治『解析概論』で足ります。

調和級数 H_n = 1/1+1/2+…+1/n は複雑ですが、n→∞での様子は log n + γ の形で非常にシンプルです。

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posted at 00:10:07

関連 twitter.com/hidetomitanaka...

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posted at 00:21:12

清水　団 Dan Shimizu @dannchu

ごまふあざらし(GomahuAzaras @MathSorcerer

@tchaikovsky1026 ありがとうございました。#julia言語　ではatan2はatanでいいそうです。0~2πで戻り値が欲しかったので、とりあえずmod(atan(y,x),2*π)としました。 twitter.com/mathsorcerer/s...

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posted at 06:37:49

ドキュメントをみるとrem2piやmod2pi という関数もあるようですね(´・ω・｀)b #Julia言語 twitter.com/dannchu/status...

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posted at 08:07:42

Hiroshi Nishiura @nishiurah

医療機関の皆さまへ：COVID-19患者様の情報登録の呼び掛けのドキュメントを以下で配布しています。どうか配布をお願いします。 twitter.com/metacovi19/sta...

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posted at 08:15:08

なみそ @omochi_nam01

登校していった息子のパジャマに猫が。息子が小学校から帰ってきたら教えてあげよう。君がいなくて、ネコが寂しがっていたと。脱いだ服は洗濯カゴに入れとけと。 pic.twitter.com/fEVUCP3mSx

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posted at 08:16:16

Shuhei Kadowaki @kdwkshh

宇宙開発の勢いに乗ってJulia関連のお仕事増えないかなー

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posted at 08:42:03

清水　団 Dan Shimizu @dannchu

@MathSorcerer ありがとうございます。よく使いそうなのはちゃんとあるんですね！#julia言語

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posted at 08:44:12

それ #実践Julia入門で紹介しています（p162、3-1-1. 演算系(1) 除算・剰余算系 → その他の除算・剰余算関連関数）。
`rem2pi` `mod2pi` #Julia言語 twitter.com/MathSorcerer/s... pic.twitter.com/vuvigzeqS3

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posted at 09:01:10

ごまふあざらし(GomahuAzaras @MathSorcerer

こっちも紹介すべきだった。簡単に説明も加えています（p163、3-1-1. 演算系(1) 除算・剰余算系 → その他の除算・剰余算関連関数）。 pic.twitter.com/NILCxKD2EP

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posted at 09:07:23

ごまふあざらし(GomahuAzaras @MathSorcerer

必要最低限のスクショはOkということか(´・ω・｀)

#実践Julia入門

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posted at 09:14:56

#実践Julia入門　のサンプルコードよ！

github.com/antimon2/Julia...

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posted at 09:19:19

Rui Ueyama @rui314

不思議なところで休んでいて二度見した pic.twitter.com/OQ8axVVw1m

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posted at 09:23:11

栗原裕一郎 @y_kurihara

あはは、ブロックされたよ。 twitter.com/y_kurihara/sta... pic.twitter.com/Zwl0anMW7x

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posted at 09:36:36

@MathSorcerer #実践Julia入門を書いた1つのモチベーションに、「それやる関数Juliaに標準であるよ」を伝えたい、というのもあるので、そのためなら。そういうのを体系的にまとめたドキュメントってたぶんないので。

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posted at 09:38:48

田中秀臣 @hidetomitanaka

それはケルトン＝MMT派の人がどうアベノミクスを評価しているかの問題ですよ。藤巻さんがアベノミクスをどう評価するのか、と同じ次元の話です。リフレ派のアベノミクスの評価を知りたければ、もよりのリフレ派にちゃんとききましょー（笑。 twitter.com/fujimaki_takes...

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posted at 09:41:04

#数楽 Eulerの定数

1/1+1/2+…+1/n = log n + (log nで割るとn→∞で0に収束)

は左辺と積分∫_1^n dx/x = log n の比較で容易に証明可能。その証明を微小に精密化すると、

1/1+1/2+…+1/n = log n + (ある定数) + (n→∞で0に収束)

も証明できます。

高木貞治『解析概論』§44, p.161より
↓ pic.twitter.com/ei1tLr8Wk5

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posted at 09:42:33

お湯 @oyuhanurume_40

サイゼリヤ警察が退職を表明した途端、大手企業をはじめ様々な方からの次の転職先を心配し提案する様子に朝から元気が出ますね

＃サイゼリヤ警察 pic.twitter.com/rNKErwfr06

タグ：サイゼリヤ警察

posted at 09:44:46

田中秀臣 @hidetomitanaka

浜田宏一先生が@StephanieKeltonさんのMMTとアベノミクスの関係についての発言を批判的に論じたものは以下を読むといい。
www.project-syndicate.org/commentary/mod...

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posted at 10:03:41

@tchaikovsky1026 @dannchu すでに解決している模様ですが #Julia言語は `atan()` 関数が引数1つのものと2つのものが存在して両方の役割をします。拙著 #実践Julia入門でも紹介しています（そういう「その機能Juliaにあるよ」をたくさん紹介しているのでみんな見て）。 twitter.com/tchaikovsky102... pic.twitter.com/UBSbJ2JEwK

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posted at 10:08:09

#数楽ディガンマ函数ψ(x)=(d/dx)log Γ(x)は

Γ(x) = lim_{k→∞} k! kˣ/(x(x+1)…(x+k))

より

log Γ(x) = lim_{k→∞} (log k! + x log k - (log x+log(x+1)+…+log(x+k))

であることと、この場合には微分と極限を交換できることより、

ψ(x) = lim_{k→∞}(log k - (1/x+1/(x+1)+…+1/(x+k))).

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posted at 10:16:42

#数楽特に ψ(1) = -γ = -0.5772…で

ψ(n+1) - ψ(1) = 1/1 + 1/2 + … + 1/n

なので、

ψ(n+1) + γ = 1/1 + 1/2 + … + 1/n.

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posted at 10:16:43

津田和俊／急激に進行した網膜剥離と闘って @kaztsuda

#数楽 x→∞でのStirlingの公式

log Γ(x+1) = x log x - x + (1/2)log x + …

の両辺も微分できて、

ψ(x+1) = log x + 1/(2x) + …

これより、n→大での近似

1/1+1/2+…+1/n = ψ(n+1)+γ = log n + γ + 1/(2n) + …

が得られる。

階乗のStirling近似は調和級数の評価でも使える。

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posted at 10:16:44

金子洋一神奈川20区（相模原市南区、座間 @Y_Kaneko

手術が済んでしまうと入院中は暇なので、先日実家に帰った際に宇都宮美術館で買ってきた図録を眺めています。
大谷石建築というと、宇都宮の人にとってはごくありふれたものであまり関心がありませんでしたが、生まれ故郷を離れてみるとその貴重さを知らされます。 pic.twitter.com/8U76p1CrnY

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posted at 10:31:48

アベノミクスとはなんら関係のないケルトン氏が、いくらすり寄ってきてなんと言おうとエビデンスにはなりません。それでは立憲民主党が『下関は統一教会の聖地だ』と言ったらその発言を鵜呑みに信じ込むのと同じではないでしょうか？twitter.com/fujimaki_takes...

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posted at 11:54:48

清水　団 Dan Shimizu @dannchu

@antimon2 @tchaikovsky1026 ありがとうございます。atan(y,x)は#julia言語の多重ディスパッチの恩恵なのですね！#実践julia入門も持っているので、確認してみます！

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posted at 12:10:32

アポロ小太郎 @lustigmusik

心臓バクバクする😱 恐ろしすぎる、、、一斉に子供狩りに出た。まさか罹患させて自然免疫獲得とか本気で思ってんじゃないよな？？？この決定に至るすべての過程を提示すべきだ。そして医学界はこれで良いと思っているのかも問いたい。
news.yahoo.co.jp/articles/93106...

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posted at 13:17:05

すみパン @aims2koz

プリンちゃんのお子 pic.twitter.com/SQJ2vz1RsV

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posted at 13:24:48

IKEYA, Tomonori @ikeyaT

@kaztsuda お大事に。
うつ伏せ寝が辛そうだ。

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posted at 13:41:15

Y Tambe @y_tambe

いやだから、不織布マスクでウイルス減らせるのは、静電効果より、単純に深部濾過の作用がメインだってば……

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posted at 17:03:28

中澤さんのこの手のコメントは非常に良いので、もっと影響力を持って欲しいと思います。

しかし、研究者達は「西浦さんのような目に遭いたくない」と本音では感じていると予想される。

「政治のトップが泥を被る」を徹底できないと優れた人達から有益な意見が出難くなる。

minato.sip21c.org/im3r/20230422.... twitter.com/nishiurah/stat... pic.twitter.com/mVp2CyiSjS

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posted at 17:08:12

Hiroshi Nishiura @nishiurah

津田和俊／急激に進行した網膜剥離と闘って @kaztsuda

@genkuroki 政治としても後から死亡が莫大になった時を想定すると説明価値が相当あるのですが、この国は側近のインテリジェンスが不足気味で短期的な利得ばかりに重みがありますね（それだけギリギリで運営しているのでしょうけれど）。戦争が起こるとマジでやばい。

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posted at 17:15:11