黒木玄 Gen Kuroki(@genkuroki)/2022年02月/Page 11

#統計以上では連続分布のみを扱いましたが、離散分布の場合の順位統計量の分布も同様に理解できます。

タグ：統計

posted at 00:03:58

#統計値がaᵢになる確率がpᵢである離散分布の累積分布函数をF(x)=(x以下になる確率)と書くとき、そのサイズnの標本の中で下からk番目の値をX(k)と書くとき、

(X(k)=aᵢとなる確率)
= F(aᵢ)ᵏ⁻¹ pᵢ (1 - F(aᵢ))ⁿ⁻ᵏ/B(k, n-k+1).

証明は優しいです。続く

タグ：統計

posted at 00:03:59

#統計

n個のk-1個、1個、n-k個への分割の仕方の個数
= n!/((k-1)!1!(n-k)!)
= Γ(n-1)/(Γ(k)Γ(n-k+1))
= 1/B(k, n-k+1)

P(サイズk-1の標本中の数は全てaᵢ以下)=F(aᵢ)ᵏ⁻¹

P(値はaᵢ)=pᵢ

P(サイズn-kの標本中の数は全てaᵢより大)=(1 - F(aᵢ))ⁿ⁻ᵏ

ここでP( )は確率を意味する。続く

タグ：統計

posted at 00:04:01

#統計ゆえに

P(X(k)=aᵢ)
=P(サイズnの標本の中で下からk番目の値はaᵢ)
=P(サイズnの標本の中で
　k-1個がaᵢ以下で
　1個がaᵢに等しく
　n-k個がaᵢより大きい)
=(1/B(k, n-k+1))F(aᵢ)ᵏ⁻¹ pᵢ (1 - F(aᵢ))ⁿ⁻ᵏ. q.e.d.

タグ：統計

posted at 00:04:02

TaKu @takusansu

参考情報
twitter.com/takusansu/stat...
大学生80名が対象で、順序はどちらでも良いを積極的に選択したのは僅か10．0％しかいません。
twitter.com/aromaticKam/st...

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posted at 00:10:47

#統計この場合も順位統計量X(k)の累積分布函数P(X(k)≤x)はベータ分布の累積分布函数で書けます。X(k)≤xとn個中k個以上がx以下になることは同値なので、

P(X(k)≤x)
= Σ_{j≥k} binom(n, k) F(x)ᵏ(1-F(x))ⁿ⁻ᵏ
= (1/B(k,n-k+1))∫_0^{F(x)} tᵏ⁻¹(1-t)ⁿ⁻¹dt

2つ目の等号は～続く

タグ：統計

posted at 00:13:34

#統計続き。2つ目の等号は、二項分布とベータ分布の一般的な関係から得られる。もしくは一様分布の場合の順位統計量の場合から得られる。

1つ前のツイートの結果は分布の連続と離散の区別なしに成立しています。

タグ：統計

posted at 00:13:36

#超算数これはひどいな。

sho.benesse.co.jp/qat/m/06.html

* 4と6の順序を入れ替えても正しい。

と

* 学校では4と6の順序を入れ替えたらバツにしている場合には学校に従え。

の組み合わせは教育的に最悪。

まともな教育とは決して言えない。

これをインターネット上で堂々と語っているのもすごい。 twitter.com/OokuboTact/sta... pic.twitter.com/TQuquDo2wf

タグ：超算数

posted at 00:26:03

#超算数算数でひどい教え方がされていることを知っていて、子供にはそのひどい教え方に従え、と堂々と言える人達には人間的に問題があるとみなされるべきだと思います。

すべての大人はまずそういう算数教育の現状を解決できていないことを子供に謝罪するべき。(私は自分ちの子には謝罪した。)

タグ：超算数

posted at 00:29:25

#統計 ℝ上の確率分布を連続と離散の区別なしにかつ初等的に(=測度論抜きに)扱うには、累積分布函数(いわゆるcdf)を扱うと楽をできる場合があります。

累積分布函数cdfの勧めについて続く

タグ：統計

posted at 00:37:54

#統計コンピュータで、確率分布のサンプルを大量に生成して統計量を計算するシミュレーションをするときに、統計量の分布をヒストグラムで確認しようとすると、離散分布の場合にはヒストグラムのビンの設定で見え方が変わる問題に悩まされます。続く

タグ：統計

posted at 00:42:24

#統計続き。その場合には、経験累積分布函数(いわゆるecdf)の

(件の統計量がx以下になる標本の個数)/(沢山生成した標本の個数)

を計算してプロットすると、ヒストグラムの使用時にビンの設定に悩まされるという問題を回避できます。

タグ：統計

posted at 00:42:26

#統計 ℝ上の2つの分布の累積分布函数のL¹距離はp=1のWasserstein距離に一致しており、 2つの累積分布函数をプロットすれば見た目でその大きさを判断できます。

ただし、分布の違いの大きさをKullback-Leibler情報量で測った場合とは様子がかなり違うことに注意。
↓ twitter.com/genkuroki/stat...

タグ：統計

posted at 00:46:11

#統計コンピュータでヒストグラムをプロットするときにも、ヒストグラムの作画函数では確率密度函数に合わせたプロットをするオプションを設定できるようになっているはずで、そのように設定すれば、確率密度函数と比較できます。

経験累積分布函数と累積分布函数の比較ではそういう注意は必要ない。

タグ：統計

posted at 00:54:12

Re: RTs わたしゃ、たった2週間の絶食治療で根を上げそうになっていた。最初の1週間は痛みもあったし。

ツイッターに限らず、食い物ネタの披露が多い。映画もアニメも漫画でも食べ物ネタは定番。

結局、絶食治療中は柳時熏さんの囲碁動画を見ているときが最も心休まる時間になっていました。

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posted at 01:18:59

仔猫を拾ったので @konekowohirotta

将来、急病で絶食治療になる可能性がある人は、囲碁のような趣味を1つ見つけておくと救われることがあるかも。😊

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posted at 01:20:56

1395日目。
猫じゃらしで黒猫じゃらす１歳児。
以前から何度かトライしている猫じゃらしはお気に入りの遊びの一環なのか、黒猫と１歳児のふたりでなんとなく片隅でホイホイやってるのを見るようになってきた。まだまだ拙いものの、猫じゃらし大好きな黒猫はよくじゃらされている。 pic.twitter.com/EJt9uhcD2F

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posted at 01:41:28

Chad Scherrer @ChadScherrer

Note to self: don't forget to benchmark pic.twitter.com/2YpnGUe0xh

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posted at 03:35:00

#統計 #Julia言語

四分位レンジ Q3 - Q1 の分布とその正規分布近似のグラフを追加した。nが増えるにつれて正規分布近似の精度が高まって行く様子が見える。

nbviewer.org/github/genkuro... pic.twitter.com/FdKvA7jFCm

タグ： Julia言語統計

posted at 03:41:46

#統計

 nbviewer.org/github/genkuro...

で使った正規分布近似のための公式は、ディリクレ分布の漸近挙動を使って導出したものです。 twitter.com/genkuroki/stat... pic.twitter.com/4hwU82vj3O

タグ：統計

posted at 04:29:18

#統計記述統計の定番は

標本平均
標本の不偏分散
中央値
四分位数
四分位レンジ(interquantile range)

などですが、無作為抽出の確率的揺らぎによるこれらの確率分布の大まかな様子を知るには、尖度、ベータ分布、ディリクレ分布についても知る必要がある。

タグ：統計

posted at 04:33:30

#統計標本平均と不偏分散の組は標本サイズ→大で2変量正規分布で近似されるようになります。そうなる様子のプロットが以下のリンク先にあります。

このスレッドと合わせると、

* (標本平均、標本の不偏分散)
* (25%値、中央値、75%値)

の分布の両方の様子を知ることができる。

非常に基本的な話。 twitter.com/genkuroki/stat...

タグ：統計

posted at 04:46:05

#統計さらに誰かがやった方がよいのは、2つの独立な分布から得た 2つの標本に関する

* (標本平均の差、その分散の推定量)
* (Mann-WhitneyのU統計量、その分散の推定量)

およびそれぞれでの「自由度」の推定量の分布を扱うこと。

2つの群の違いの検定で非常に基本的な話。

タグ：統計

posted at 04:51:32

@hgn_no_otaku twitter.com/yuduki_tedline...

「陰山メソッドも、掛け算順序も出来ない子のためのもの。批判している連中は、勉強できた人で、そういう子のことを考えていない」

という、まあ一貫しているだけましですね。

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posted at 07:16:25

@hgn_no_otaku 自分は数学が出来ない。
フィールズ賞受賞者に数学的素質がない。

などと同一人物が矛盾したことを言うのがよくあるから、まあ一貫しているだけ、ましですねｗ pic.twitter.com/dK2nQtL7zw

タグ：

posted at 07:20:42

あおじるPPPP @kale_aojiru

「学校によっては決められた順番どおりに式を書いていないと減点する場合があります」は単なる事実なので、そこから何を言うかが指導者のスタンスを決定づけると思うんだが、これベネッセは「答案が正しいことよりもテストで○になることや教員に従うことのほうが重要です」と表明したのに等しい。 twitter.com/OokuboTact/sta...

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posted at 08:46:19

あおじるPPPP @kale_aojiru

これ書いた人、何の疑問も抱かずそれが当然であるかのような認識で書いたんだろうなあ

タグ：

posted at 08:47:33

私は「敢えて逆順にしてバツをもらい、画像をSNSにアップしましょう」とかいいそう^^

言わないよ。

「✖になっても構わないから」というよ。 twitter.com/kale_aojiru/st...

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posted at 09:46:51

以前、掛け算の順序指導には否定的だけど、子供には〇になってほしいから教師の望む順序で書くように言う、

という人とやり取りしたことがある。

タグ：

posted at 09:51:33

「✖になっても気にするな、と言うべき」に対して

「子供は〇バツに拘るもの。〇をもらえるのはうれしくてバツは嫌だから、〇になるような答案を書けるように言う」

「だから、それだとまずいから、バツでも構わないと教えるべき」

「子供は〇を欲するのだから・・」

の繰り返し。

タグ：

posted at 09:52:23

「子供は」じゃなくて、親がそうしている。

タグ：

posted at 09:52:45

@segawashin あんた一体何を見ているのですか？

掛け算順序指導をしている側の「根拠」を丁寧に批判して、「順序指導は教え方として間違っている」と言っているのを見てないのですか？

タグ：

posted at 10:09:46

@segawashin こんな藁人形叩きで勝ち誇った気でいるなんて、

間抜けで馬鹿ですよ。 pic.twitter.com/5lueZO9zCI

タグ：

posted at 10:11:31

@segawashin twitter.com/segawashin/sta...

これも馬鹿すぎます。

タグ：

posted at 10:15:05

@segawashin twitter.com/butayamagoriko...

＞掛け算順序問題とかを「金科玉条にしている教師」というのは管理教育恨み節の藁人形でほぼレアケース

そもそも、順序批判する側はそんな「藁人形」は作っていない。この人こそ、「批判派は藁人形を作っている」という藁人形叩き。

タグ：

posted at 10:16:50

@segawashin そして、あなたと同様、「順序批判をしている人は数学の話しかしていないが、教育上必要」と言うようなことを言っている。

タグ：

posted at 10:18:36

@segawashin 藁人形叩きはいい加減にしてください。

指導要領、教科書、指導書、各種論文など読んだうえで、そして実際に算数・数学を教えている人が、

掛け算順序は数学として間違っているのは言わずもがなで、そんなのは当然のことだが

教え方としても間違っている、と言っているのです。

タグ：

posted at 10:19:38

@segawashin 小学校高学年になってまで掛け算順序でバツになるケースがあります。

この指導に、いかなる教育的意義があるのか、答えてください。

タグ：

posted at 10:21:32

@segawashin これも馬鹿すぎる。分かってないのはあなたです。
twitter.com/segawashin/sta...

タグ：

posted at 10:23:34

ハガネの連勤術師 @hgn_no_otaku

@segawashin 馬鹿ですねｗ
twitter.com/segawashin/sta...

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posted at 10:24:19

「掛け算順序は導入時だけの制限だ」と言う人がいる側で、大人になっても数を柔軟に見れない人がいるわけで、そういう背景があるのを知らないでこういうこと言われるのはちょっと困るかな。

まあ、子供の喧嘩みたいになってるのは自覚あるけど。

タグ：

posted at 10:30:59

@yutan_1998_ 「小学生に教えるには掛け算順序指導が必要。実際に子供を教えてみろ」

に対して、

中高生に数学を教えていて、掛け算順序指導その他のおかしな算数教育の弊害を散々見てきた人が

「じゃあ、中高生を教えてみろ」

と言っているのです。

タグ：

posted at 10:37:19

あおじるPPPP @kale_aojiru

ベネッセも点をとらせる商売なので「学校によっては決められた順番どおりに式を書いていないと減点する場合があります」まではまあ仕方ないとして、そこからの「学校では、学校の先生の指導に従ってください」がクソだよなあ

タグ：

posted at 10:43:15

木村すらいむ✍趣味の大学数学 @kimu3_slime

@8EdoJx0gVorbQxK @segawashin 掛け算順序指導擁護論者の典型ではある。

実際にどういう教え方がなされているのか？
教えている人は何を言っているのか？
批判している人は何を言っているのか？

を全く知らないで、

脳内で作った「掛け算順序指導とその理由と、批判する人」を語っている。

タグ：

posted at 11:29:11

書いた！
式を与えるだけで解いてくれるから楽。

Julia（JuMP,GLPK）で線形計画法の問題を解く方法｜趣味の大学数学 math-fun.net/20220212/22273/

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posted at 13:55:13

#統計ごめんなさい。また間違っていました。

以下のリンク先の公式は誤りです。

ベータ分布の累積分布函数による順序統計量の累積分布函数の表示の方は正しい。

累積分布函数で考える方が安全で易しいことが、ここでも実証された。(^_^;)

twitter.com/genkuroki/stat...

タグ：統計

posted at 16:03:20

#統計どういう計算で自分の間違いを見つけているかについて参考になると思うので、こういうのも公開。
↓
nbviewer.org/github/genkuro...
離散分布の順序統計量の分布

確率の計算はよく間違うので、コンピューターでのシミュレーションの結果と手計算で求めた公式で求めた結果を比較はほぼ必須。 pic.twitter.com/ypVhwb64dD

タグ：統計

posted at 16:32:17

#統計名のある有名な解説などをカンニングすれば間違う確率を下げることができるのですが、

①名のある有名な解説もたまに間違っている。

②みんながそれをやると本質的に他人が書いたもののコピー＆ペーストで済ませた解説が世界中に蔓延する。

③面白くない。

ので、私は好きではない。

タグ：統計

posted at 16:34:10

#統計青の実線は、サイズnの標本中の下からk番目の値の確率(質量)函数をベータ分布の累積分布函数を使って求めたもので、橙の破線はモンテカルロ法で求めた結果です。

グラフ上ではピッタリ一致している。ベータ分布の累積分布函数を使って求めた結果は正しい。

nbviewer.org/github/genkuro... pic.twitter.com/y3IEbvJFSj

タグ：統計

posted at 16:38:21

#統計名のある有名な解説などを「答えが合っているいることの根拠にする」という意味でカンニングのために参照することは嫌なのですが、実際には、名のある有名な解説は可能な範囲内で相当に読んでいます。

タグ：統計

posted at 16:41:39

#数楽有名な文献Aに書いてあることを信じたせいで間違ったことを言ってしまい、間違いを指摘されても、文献Aを信じていたことが根拠だったせいで、自分でその間違いが本当に間違いであることを確認することさえできない

となるのが怖い。

そうなるくらいなら、自分で考えて堂々と間違う方がまし。 twitter.com/genkuroki/stat...

タグ：数楽

posted at 16:45:53

#数楽内容的に「コピー＆ペースト」的な解説が高等数学教育の分野で結構蔓延しているという問題は結構深刻だと思う。

日本語圏では例えば高木貞治『解析概論』の影響は非常に大きいように感じています。

『解析概論』の証明のコピペの蔓延はよくない。

twitter.com/genkuroki/stat...

タグ：数楽

posted at 17:01:06

#数楽具体的には、大学生向けのTaylorの定理の証明の解説がどうなっているかについて、系統的ではない調査をしたことがあるのですが、高木貞治『解析概論』と同じ方針になっていたり、積分を使っている場合にはなぜか部分積分しているものが多数派だったり、と色々「不思議」なことがある。

タグ：数楽

posted at 17:03:38

#数楽「何回も微分して同じ回数だけ不定積分すればもとの函数に戻る」という当たり前のTaylorの定理の証明が教科書に見当たらない。

この不思議な現象は「みんなコピペで教科書を書いている」と想定すると辻褄が合う。

これはよろしくないと思いました。

しかし、言うは易しで実践は超絶大変。

タグ：数楽

posted at 17:07:00

#数楽他人が書いた文献をたくさん読んで面白いネタを見繕うのは普通の良い態度だと思います。

しかし、教科書に書いてある特定の定理の証明や解説がみんな同じで、しかも技巧に走り過ぎているように見える証明や解説がコピペのごとく流行するのは、高等数学教育的には問題ありだと思います。

タグ：数楽

posted at 17:09:29

#数楽何回か微分して不定積分を繰り返してもとの函数を復活させるという操作は、高校の段階でも十分にやれる話。

例：まず、4回微分して1回不定積分して3階の導函数を復活させよう。

f^{(3)}(x_3) = f^{(3)}(a) + ∫_a^{x_3} f^{(4)}(x_4)dx_4 dx_4

タグ：数楽

posted at 17:26:48

#数楽もう一回積分すると、

f''(x_2)
= f''(a) + f^{(3)}(a)(x_2 - a)
+ ∫_a^{x_2}(∫_a^{x_3} f^{(4)}(x_4)dx_4 dx_4)dx_3

さらにもう一回

f'(x_1)
= f'(a) + f''(a)(x_1 - a) + f^{(3)}(a)(x_1 - a)^2/2
+ ∫_a^{x_1}(∫_a^{x_2}(∫_a^{x_3} f^{(4)}(x_4)dx_4 dx_4)dx_3)dx_2

タグ：数楽

posted at 17:26:49

#数楽とどめ

f(x)
= f(x) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2 + f^{(3)}(a)(x-a)^3/3!
+ ∫_a^x(∫_a^{x_1}(∫_a^{x_2}(∫_a^{x_3} f^{(4)}(x_4)dx_4 dx_4)dx_3)dx_2)dx_1

これで、

Taylor展開の3次までの項 + 積分表示された剰余項

の形の公式が得られた。これがTaylorの定理の積分剰余項版です。

タグ：数楽

posted at 17:26:49

#数楽「Taylor展開のn次までの項」の部分は、k+1階の導函数の不定積分でk階の導函数を正確に表すときに必要な「積分定数」達が何度も不定積分されることによって出て来るわけです。

Taylorの定理はこういう当たり前の結果に過ぎない。

加速度が位置の公式で1/2付きで出て来ることの一般化。

タグ：数楽

posted at 17:26:49

#数楽高木貞治『解析概論』のコピペを疑っているネタは他にもある。

Wallis積分経由でGauss積分を出す話の「流行」もそうなのではないか？

Wallis積分はベータ函数の特殊な場合で、そこからGauss積分を出す話はベータ函数のある種の極限でガンマ函数を出す話の特殊な場合になっています。続く

タグ：数楽

posted at 17:31:47

#数楽しかも、

Wallis積分→Gauss積分

の証明と

ベータ函数→ガンマ函数

の証明は内容的に本質的に同じです。後者の方がずっと一般的ですが、証明の方法は完全に同じ。

Wallis積分の技巧的計算だけを説明されてしまうと、多くの学生は、単に技巧的な計算をしただけ、と感じると思う。

タグ：数楽

posted at 17:34:03

#数楽上と本質的に同じことですが、

Wallis積分→Wallisの公式

は

ベータ函数→積分表示で定義されたガンマ函数の無限積表示

の特殊な場合になっていて、証明も本質的に同じです。

より一般的なことが分かっているのに、それに触れずに特殊な場合を技巧的に見えるように解説するのは問題あり。

タグ：数楽

posted at 17:36:33

#数楽高木貞治さんはこの件については無罪です。

高木貞治『解析概論』で紹介されている計算のネタは確かに面白く、『解析概論』は高木貞治さん独自のセンスで計算例が厳選されている素晴らしい本です。

タグ：数楽

posted at 17:38:19

#数楽 Wallis積分の計算についてはベータ函数の特殊な場合になっていて、Gauss積分はガンマ函数に、Wallisの公式はガンマ函数の無限積表示に一般化されて、しかも、一見技巧的に見えるWallis積分に関する計算を知っていれば、それをそのままベータ函数の場合に一般化できる。

タグ：数楽

posted at 17:40:19

#数楽 Wallis積分の計算を紹介している人達はものすごく沢山いるので、Wallis積分をベータ函数に一般化した場合にも触れている解説も珍しくなくなっているべきだと思うのですが、現実はそうなっていない。

これはなぜか？

タグ：数楽

posted at 17:41:46

#数楽たぶん、他人の計算例の紹介をコピペしている人が多いのだと思います。

タグ：数楽

posted at 17:42:23

#数楽誰かが解説を書くべきだと思ったので、高木貞治『解析概論』pp.116-117にあるWallisの公式の導出と同じ議論でガンマ函数のGaussの無限積表示を出す話の解説を

nbviewer.org/github/genkuro...

に書いておきました。

高木貞治『解析概論』を持っている人は比較してみるとよいと思います。

タグ：数楽

posted at 17:47:17

#数楽「きれいな一般論を知っているおかげで特殊な場合についても分かる」だけではなく、「特殊で技巧的にしか見えない計算を知っていたおかげで、一般的できれいな場合についても分かる」場合もあることの実例を知っておくのは非常に大事なことだと思います。

タグ：数楽

posted at 17:50:06

@kuron_nano 文献を読む側の態度として、

❌査読付き論文や名のある有名な教科書に書いてあるから正しいと判断する。

のは権威に頼る非科学的な態度なので、高等教育を受けた人なら否定できないとまずいです。

⭕️査読付き論文や名のある有名な教科書に書いてあることは参考になる。

なら普通に正しい。

タグ：

posted at 17:56:14

@kuron_nano 自分で考えるだけだと思い付かないアイデアはたくさんあるので、そういうアイデアを説明してくれている文献は非常に参考になります。

しかし、名のある文献に書いてあるからという理由で「正しい」とか「合理的である」と判断することは、権威的な態度で良くないです。

タグ：

posted at 17:59:38

T. Mura @MWbotan

思いのほか拡散されたので補足しておくと、農学系での観測範囲で農業・林業・自然活用などに携わる学生さんが多く、農薬や放流の問題など最近の動向を知らないままなのはマズかろうという話でした。就職してからも気軽に大学に相談に来れて、その際に適切なアドバイスを得られる体制がベストかなと。

タグ：

posted at 19:43:03

勝又清和 @katsumata

2日制タイトル戦通算16勝1敗、ですか…

タグ：

posted at 19:56:07

KUMAKO @kuma_sakurairo

これも何度もtweetしてるが、小学校教員の勤務を早出遅出の二交代制にしないと無理な状況。8時半から16時近くまでの連続した授業。中学年から。こんな長い時間授業をこなし、その後、その他の業務をこなす。どう考えても無理があると思う。

タグ：

posted at 20:26:34

#統計ガンマ函数は階乗の一般化として有名ですが、

Γ(1/2) = ∫_{-∞}^∞ exp(-x²) dx = √π

なのでGauss積分の一般化にもなっています。

この事実はガンマ函数が実用的に重要な函数であることを示唆しています。続く

タグ：統計

posted at 21:56:16

#統計ガンマ函数がGauss積分の一般化になっていることは、統計学においてガンマ分布の特別な場合であるχ²分布が正規分布との関係で非常に基本的な役割を果たすことの先取りになっており、実用的にも非常に重要です。

タグ：統計

posted at 21:56:17

#統計 Gauss積分がガンマ函数に一般化され、さらにベータ函数がガンマ函数で書けることは、実用的には、中心極限定理によって普遍的に現れる正規分布関連の計算で、ガンマ函数やベータ函数及びそれらに不完全版が必須の特殊函数になることを先取りしています。

タグ：統計

posted at 21:59:13

#数楽「きれいな一般論を学んでそれを特殊な場合に応用する」というアイデアに基く勉強は弱く、「単に技巧的に見えて何の価値があるのか分からない計算が実は理論的にも実用的に重要な事柄に関係して行く」という見方ができるようになって行く方が力強くて好ましいと思います。

タグ：数楽

posted at 22:03:22

#数楽高木貞治『解析概論』を持っていない人は以下のリンク先を参照。

Wallis積分やWallisの公式の解説は『解析概論』とほぼ同じになっていることが多いです。

その議論はベータ函数とガンマ函数の場合にそのまま一般化されます。
↓
nbviewer.org/github/genkuro...
genkuroki.github.io/documents/Calc...
2.5節 twitter.com/genkuroki/stat...

タグ：数楽

posted at 22:14:28