黒木玄 Gen Kuroki(@genkuroki)/2022年06月/Page 19

#超算数
これを読んでいるが、「式にするときに、文章で与えられている数字を使わなければならないという思い込み」云々はマッチポンプの可能性がある。 twitter.com/keiosfcimailab... pic.twitter.com/zDrKhVj2HZ

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posted at 06:14:02

#超算数
私自身、「問題文に出てきた数だけで式を立てないと駄目」と言われたような記憶がある。以前、アンケート（見つけられなかった）したが、そう指導された人は多いようだ。

いろんな意味で、駄目な指導。
こんな人が、朝日小学生新聞で学習法指南の連載を持っていた。
selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-476... pic.twitter.com/XuHyjPeQjE

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posted at 06:37:53

@tomoak1n これだ。
twitter.com/genkuroki/stat...

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posted at 06:42:22

#超算数　 twitter.com/genkuroki/stat... pic.twitter.com/y786zGZlyl

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posted at 06:43:15

@keiosfcimailab #超算数

失礼します。これを読ませていただいています。

この「誤ったスキーム」ですが、学校でこのように教えているケースも多々あるようです。 pic.twitter.com/YCDohFUKJZ

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posted at 06:45:01

@keiosfcimailab #超算数　新井紀子もこう書いています。 pic.twitter.com/3RK1kfFlrx

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posted at 06:46:31

@keiosfcimailab #超算数　朝日小学生新聞で学習法指南を連載していた仲松庸次もこう述べています。

selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-476... pic.twitter.com/KJ8qQpuwN0

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posted at 06:48:06

#超算数
この本の中でも述べられているが、文章題をちゃんと理解して解いていない、問題文に出てきた数値でテキトーに式を作って答えらしきものを書けばいい、と思ってしまっているが、そもそも、正解を求めようという動機が欠如しているのが背景にあるのだろう。

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posted at 06:56:35

#超算数
現実の問題では、適切に推論していることが多いと思われる。
twitter.com/sekibunnteisuu...

算数の問題と言うことで、おかしなモードに切り替わってしまうと思われる。

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posted at 07:00:42

#超算数
 twitter.com/sekibunnteisuu...

誤解があるといけないので、ここで「マッチポンプ」と言ったのは、この本も含めて、学校や塾での指導を含めて、算数教育界全体を見たときに、一方で「問題文に出てきた数を使え」といい、一方でそれを誤りとている、ということであって、

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posted at 07:38:27

#超算数
著者自身が、マッチで火を着けて（問題文に出てきた数値だけを使え、と指導し）、ポンプを売り込んでいる（一方で誤ったスキームだ、と言っている）、という意味ではありません。

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posted at 07:40:06

@sekibunnteisuu @keiosfcimailab #超算数文章題で問題文の状況をイメージして問題を解くことについての研究では、子供の誤答の仕方のみを主に分析しようとする方針はまともな研究にならないと思います。

そういう研究をそのまま表に出すと、まるで子どもには元々おかしな考え方をする傾向があるかのようにされてしまいかねない。続く

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posted at 07:49:56

@sekibunnteisuu @keiosfcimailab #超算数子供は大人の教え方に大きな影響をすでに受けており、そのせいでおかしな考え方をするようになったのかもしれない。

実際、算数教育の世界では、文章題を解くための「やり方」として、問題文の内容をイメージせずに文を式に直させるという教え方が普通にされています。続く

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posted at 07:54:33

@sekibunnteisuu @keiosfcimailab #超算数算数プリントの文章題の解答欄はほぼ常に「しき　　　　こたえ　　」の形式で、図を描く欄が設けられていることは普通ではない。しかも、子供達は何らかの理由で「余計なことは書かない方がよい」と感じており、ちょっとしたメモや絵や数表を書いて問題を解くことを抑制され続けている。続く

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posted at 07:58:14

@sekibunnteisuu @keiosfcimailab #超算数「式　　　答え　」の形式の解答欄に子供達は「余計なことを書かずに、しき→こたえの順で正解を書き込まなければいけない」と感じさせながら、「たし算言葉が書いてあったらたし算の式を書く」～「わり算言葉が書いてあったらわり算算の式を書く」のように小学校6年間教わる場合がある。続く

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posted at 08:02:07

@sekibunnteisuu @keiosfcimailab #超算数実際、既出の新井紀子さんの本にはさらに、

わり算の言葉づかい

が書いてあったら、わり算の式を書かなければいけないとしています。分数が出て来て余計に難しくなってもそうしなければいけないとしている。続く twitter.com/genkuroki/stat...

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posted at 08:07:17

@sekibunnteisuu @keiosfcimailab #超算数「○○算の言葉づかいに合わせて式を書く」という教え方は新井紀子さんの発明ではありません。非常に残念なことに普通の教え方になっています。

添付画像は以前積分定数さんが引用していた www.sing.co.jp/cms/of/list/fi... の一部分です。

「数がふえる言葉」「数がへる言葉」という教え方。続く twitter.com/sekibunnteisuu... pic.twitter.com/e3QMCfWOGZ

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posted at 08:15:34

@sekibunnteisuu @keiosfcimailab #超算数有名な「かけ算順序問題」はそういう問題の氷山の一角で、「ずつ」「1人当たり」のようなキーワードに基いて式を作らせたり、人個匹本のような単位(実際には言語依存の助数詞)に注目させて「答えと同じ単位の数をかけ算の式では先に書く」と教えられていたりします。

edupedia.jp/article/53233f... pic.twitter.com/NU7eZ0I0nl

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posted at 08:21:18

@sekibunnteisuu @keiosfcimailab #超算数要するに、子供達はキーワードの単純パターンマッチによって「式　　　答え　」形式の解答欄に書き込んで正解にしてもらえる式を作ることを繰り返し教わっていることを強く疑う必要があります。

そのように教わった子は読解力が破壊されるリスクがあると思います。続く

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posted at 08:25:42

@sekibunnteisuu @keiosfcimailab #超算数子供達の中には、算数の文章題の状況では、普通の考え方である

⭕️文→イメージ→答え

ではなく、

❌文→キーワードのパターンマッチ→式

という考え方を自動的にする癖がついている子も相当にいると思われます。

答えが「○○人」なので「14人×7」とかけ算の式を作ったのかもしれない。

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posted at 08:28:47

@sekibunnteisuu @keiosfcimailab #超算数子供達はキーワードの単純パターンマッチ教育を施されているせいで、「⭕️文→イメージ→答え」(算数では絵を描くときに答えがいきなり分かってしまう問題が多い)のように普通の文章読解を経由することを抑制され、数値を含む算数的な文章については正常な読解力を破壊されている疑いがある。

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posted at 08:32:37

@sekibunnteisuu @keiosfcimailab #超算数添付画像中で「子どもがもっている可能性が高い」としている考え方や、子供達がイメージの取り扱いをまともにできていない件については、まるで「子供は元々そういうものだ」という印象を安易に社会的に広めることは酷い行為であり、慎重な研究を行なっていないと社会的に評価されるべきです。 pic.twitter.com/IhXH9VRWtJ

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posted at 08:39:26

@sekibunnteisuu @keiosfcimailab #超算数注意・警告。「どうしてそういう教え方をするか」について知るために教師へのインタビュー結果を単純に信じるのも間違った研究の仕方です。実際、「どうしてかけ算順序が逆なら誤りだと教えるのか」という質問に❌「学習指導要領に書いてあるから」というウソを平気でつく人が実に多い。続く

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posted at 08:44:32

@sekibunnteisuu @keiosfcimailab #超算数 ❌「何も考えずに出てきた順序で数をかけているだけの子を判別するため」というウソも普遍的です。

実際に調査してみた例を見ると、「逆順」でかけ算の式を書いた子も正しく絵を描けている。 twitter.com/genkuroki/stat... pic.twitter.com/idZkaNvJ2R

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posted at 08:49:48

@sekibunnteisuu @keiosfcimailab #超算数ツイッターで教えてもらった歴史的な資料によれば、100年以上前から、「逆順」の間違った式を書く子供を正すためにかけ算順序が逆なら誤りとしていることが分かります。

ウソをついているかもしれない人達の言い分を鵜呑みせずにきちんと文献資料も調べないとまともな研究とはみなせません。 twitter.com/genkuroki/stat...

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posted at 08:54:01

@sekibunnteisuu @keiosfcimailab 繰り返しになりますが、積分定数さんによる写真の引用部分を読んだ一般読者は、「子供はそのような性質を持つ」という印象を持つ可能性が高いと思う。

実際には教わった通りに考えようとしたが、その教わった内容がキーワードのパターンマッチ教育なせいで滅茶苦茶になっているだけかもしれない。 pic.twitter.com/oNK3ePJYa0

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posted at 08:59:02

@sekibunnteisuu @keiosfcimailab 「子供はそのような性質を持つ」という印象を安易に広めてしまうことは、我々の社会にとって負の貢献になり、子供達を苦しめ続けることの原因になると思いました。 pic.twitter.com/yURpG64wH0

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posted at 09:00:56

@sekibunnteisuu @keiosfcimailab 14×7=98と正しく計算できるほどの知性の持ち主について「文の意味を深く考えず」だとか「何でもよいから答えを出そう」としていると安易に言える人達は、間接的に子供達を虐待する非常に困った人達だと社会的に扱われる必要がある。

添付画像の引用部分を書いた人は反省しないとまずい。 pic.twitter.com/KoqGgwpP6B

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posted at 09:10:10

@sekibunnteisuu @keiosfcimailab 現実の子供は、びっくりするほど多くのことを考えています。

例えば、その問題は単なる調査のための問題であることを認識できるだけの知性を大部分の子供達は持っており、「わざわざ手間をかけて正解する必要がない」とする判断能力も持っている。この点に配慮していない研究も全く信用できない。

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posted at 09:14:04

サングラスにも碁盤がうつっている！ twitter.com/risakumapf/sta...

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posted at 09:19:51

@sekibunnteisuu 私は積分定数さんによる写真の引用部分を見て、「うわっ！これはひどいな」と思いました。正直、かなりビビった。怖すぎ。

子供の性質に関する印象を広めるときには細心の注意が必要だと思うのですが、そういう心配りがまったくないように見える。 twitter.com/genkuroki/stat...

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posted at 09:26:02

@sekibunnteisuu @keiosfcimailab 欲しいサンプルは「真面目に問題を解こうとした子の答案」のはずなのに、実際には「まじめに問題を解く気がなくなっている子の答案」のサンプルを集めただけなのかもしれない。

やる気が特に強く失せてしまっていた子の答案の誤答をピックアップすると、子供の性質をひどく誤解することになる。

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posted at 09:39:14

@genkuroki まだ途中なんだけど、私は正直、ここだけではそれほどひどいとは感じませんでした。

ただ、著者が　#超算数　についてどれほど認識があるのかは気になります。

例えばここ。

「そのときに学習していた単元で使う演算を使うことが多い」とあるけど、

誰がそうさせているのか？ pic.twitter.com/21kdgf7h8g

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posted at 09:40:00

@genkuroki #超算数
　1.5mのホースの重さが270ｇ、このホースの1mの重さは何ｇ？を、270÷3＝90　90×2＝180　180gと求めたら、今は小数の割り算の単元だから」とバツになった事例がありました。

　足し算の単元では足し算で求まる問題ばかり、というのもごく普通です。

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posted at 09:43:56

ピアジェの保存課題の件の続き
↓
twitter.com/genkuroki/stat...

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posted at 09:44:41

@genkuroki #超算数　一頃話題になった船長の年齢問題、この本だと、船にヤギ1匹、兎5匹、犬3匹乗っている、船長の年齢は？で、9歳と答えた、というのも例に挙げているけど、

その問題が出された状況の詳細を見ないで、子どもはこうしがち、というのは疑問。

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posted at 09:48:59

@genkuroki #超算数　なぞなぞだと思ったかもしれない。与えられた情報だけから、とにかく何らかの答えを出すことが求められたなら、それで正解が出るとは思えないけど、ダメもとで取りあえず全部足す、としても不思議はない。

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posted at 09:50:20

@genkuroki #超算数　
文章問題8問やらされた場合、途中で面倒臭くなって、テキトーにやる子もいるんじゃないかな？ pic.twitter.com/Vy9tGEa6Mb

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posted at 09:58:29

@sekibunnteisuu たまに調査用の試験の監督をしている先生が試験解答中に見に来るので、「なんか式と答えをテキトーに書いておこう」と思う子がたくさんいても全然不思議ではない(笑)

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posted at 11:39:44

@genkuroki @keiosfcimailab #超算数
ここで、単語や数値を拾い上げてテキトーに式を作ってしまうというようなことが述べられていますが、

そのように教えられていることに留意すべきでしょう。

黒木さんが例に挙げたかけ算の順序もそうです。
twitter.com/genkuroki/stat... pic.twitter.com/U8tTBGdeDZ

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posted at 14:33:20

@genkuroki @keiosfcimailab #超算数　算数教育の世界では「演算決定」なる用語まであって、「足し算なのか引き算なのかを判断させる」という授業があります。

問題文を読んで自然に情景をイメージして、要求されている答えを出す

というのとは異なる極めて不自然な思考を子供に要求しています。

www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sans...

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posted at 14:36:39

@genkuroki @keiosfcimailab #超算数　たすのかな、ひくのかな、ふえるといくつ、なら足し算、などという指導が行われています。
www.onomichi.ed.jp/nishifuji-e/pa...

タグ：超算数

posted at 14:40:42

@genkuroki @keiosfcimailab #超算数　あと若干気になったのは、無回答への評価です。

　試行錯誤してあれこれ考えたけど分からないから無回答と、最初から諦念しての無回答は意味が異なるでしょう。とはいえ、大半は後者だとは思います。 pic.twitter.com/sYq8QVVFFP

タグ：超算数

posted at 14:43:20

@genkuroki @keiosfcimailab #超算数　
　その上で、無回答がないように、子供が意欲的になるように教えることは重要ですが、

　これまでの算数教育の状況を見ていると、「無回答は良くない」となると、「無回答は最悪だから、間違ってもいいからとにかく何か書け」という指導になってしまうでしょう。

タグ：超算数

posted at 14:45:21

@genkuroki @keiosfcimailab #超算数　
そうすれば、「とにかく問題文に出てきた数値を使ってテキトーに式を作って答えらしきものを出す」となるのは必然です。

　船にヤギ1匹、兎5匹、犬3匹乗っている、船長の年齢は？

で、全部足して年齢になるとは思わないがダメもとで、無回答よりはマシで、9歳、と答えるのも必至です。

タグ：超算数

posted at 14:47:25

@genkuroki @keiosfcimailab #超算数　子供たちが日々おかしな算数教育を受けていることにも留意してください。
togetter.com/li/901635

タグ：超算数

posted at 14:48:59

@tomoak1n @genkuroki @keiosfcimailab 1ページ目にもありますね。いろいろヤバい。

www.onomichi.ed.jp/nishifuji-e/pa... pic.twitter.com/yvpozVcrCp

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posted at 14:53:08

@genkuroki @keiosfcimailab #超算数　ここもそうだ。

「そのときに学習していた単元で使う演算を使うことが多い」

とのことですが、まさにそのように教えられているのです。

足し算の単元では、足し算で求まる問題ばかり、引き算では・・・となっているのです。 pic.twitter.com/p4Vj2w94sf

タグ：超算数

posted at 14:55:49

@genkuroki @keiosfcimailab #超算数　

　1.5mのホースの重さが270ｇ、このホースの1mの重さは何ｇ？を、270÷3＝90　90×2＝180　180gと求めたら、今は小数の割り算の単元だから」とバツになった事例がありました。

そのときに学習していた単元で使う演算を使わせているのです。

タグ：超算数

posted at 14:56:51

おかゆ @shatei_001

あんまりテレビ観ないから知らなかった。
池上彰まだ居たのか💧 twitter.com/genkuroki/stat...

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posted at 18:45:43

ふう。疲れた。

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posted at 20:01:35

#統計

(1) これ↓を見て、フィッシャーの正確確率検定(やピアソンのχ²検定)をいきなり適用しようとした人はちょっとまずすぎ。

(2)あと「ベイズ」とか言っている人達もかなり変なことを言っている人が目立つ感じ。

解説に続く。 twitter.com/sakatokuyt_tg/...

タグ：統計

posted at 20:20:05

#統計分割表のFisher検定やχ²検定を適用できるためには、Fisher検定を与える統計モデルがこの問題設定で妥当かどうかを最初に考える必要があります。

統計モデルの妥当性の確認抜きにいきなり検定を始める人たちは統計学を全然理解していないと判定できます。続く

タグ：統計

posted at 20:20:05

#統計分割表の通常の統計モデルでは何らかの形で独立同分布性を前提にしています。

2人について毎回同質同量の商談の勝負が独立に繰り返されるのような状況を想定しないと、分割表の通常の統計モデルの適用は不適切です。

まあ、この場合はやめておいた方が良いでしょう。続く

タグ：統計

posted at 20:20:06

#統計分割表の通常のFisher検定やχ²検定の適用が不適切になる設定にいくらでもできる問題設定であることを理解した上で、ビジネス的には非現実的な仮定のもとで、分割表の通常の統計学の計算をしてみるというのであれば問題ないと思います。

タグ：統計

posted at 20:20:07

#統計そういう非現実的な想定であることを知りつつあえて遊びでやってみたという設定の元であっても、

❌頻度論よりベイズがいいのではないか

と言ってしまった人達もかなりまずい。

大体において「頻度論」という言葉を使う人はろくなことを言わない場合が多い。

タグ：統計

posted at 20:24:17

#統計おそらく、

　2つの二項分布モデル+共役事前分布を使えば
　事後分布が2つのベータ分布になるということ

を想定しているのだと思います。ベイズ統計を使っても計算はシンプルなままで済むと。

確かにそれはそうなのですが、この場合に「頻度論よりベイズがよい」と思ってしまうのはアウト。

タグ：統計

posted at 20:26:47

#統計なぜならば、この場合にはモデルがシンプルすぎて、おとなしめの事前分布(平坦事前分布やJeffreys事前分布)の場合は、どちらでもやっても、適切に比較すれば、ほぼ同じ結果が得られるからです。

ほぼ同じ結果を与える方法に優劣はつけられません。

タグ：統計

posted at 20:30:33

#統計添付画像は、分割表

1 4
40 60

の場合に、オッズ比とリスク比のP値のグラフを描いた結果です。

オッズ比の場合には2種にFisher検定とχ²検定とJeffreys事前分布の場合のP値(ベイズ版P値)に対応する値をプロットし、リスク比の場合はχ²検定とベイズ版P値をプロット。

続く pic.twitter.com/nNdd4zCopB

タグ：統計

posted at 20:35:22

#統計後者のグラフ

データが「5回中4回勝ち」の側の敗率パラメータpとデータが「100回中60回勝ち」の側の敗率パラメータqの比RR=p/qをリスク比と呼んでいます。

仮説RR=ρの2種類のP値をプロットしている。

通常のχ²検定版のP値(スコア検定のP値)とJeffreys事前分布のBayes統計版のP値。続く pic.twitter.com/IJIz0ngQnZ

タグ：統計

posted at 20:40:19

#統計このグラフを見れば、データが

1 4
40 60

と小さな値のセルがあるにもかかわらず、通常のχ²検定のP値とJeffreys事前分布のBayes統計の方法で作ったP値が互いに相手を近似し合う関係になっていることがわかります。

これで優劣をつけろと言われても無理。 pic.twitter.com/4DqIWfTepy

タグ：統計

posted at 20:42:58

#統計ベイズ版のP値は添付画像のグラフのリスク比の事後分布を使って作っています。

事後分布とP値を直接比較せずに、事後分布からP値の類似物を作ればフェアな比較をできる仕組みになっています。

ソースコード nbviewer.org/github/genkuro... を確認すれば何をやっているかが明瞭になります。 pic.twitter.com/5ZDfHZAxIk

タグ：統計

posted at 20:48:29

#統計オッズ比版には、2種のFisher検定のP値函数もプロットしています。

これを見ればわかるように、χ²検定のP値とJeffreys事前分布のBayes版P値は非常に近く、Fisher検定のP値との差はずっと大きくなることもわかります。 pic.twitter.com/CNbDeLbraU

タグ：統計

posted at 20:51:10

#統計通常のよく見るFisher検定やχ²検定は「オッズ比パラメータはOR=1である」という仮説のP値のみを使いますが、ロスマンさんの疫学の教科書によれば「OR=ω」という仮説のP値をωの値を全部動かしてプロットするべきです。 pic.twitter.com/T5Cd4jDnSw

タグ：統計

posted at 20:54:21

#統計

1 4
40 60

のように値が小さなセルがある場合には、χ²検定は不適切であり、Fisher検定を使うべきだとする奇妙な説がまるで定説のように教えられていますが、騙されている人はどこかで考え方を訂正するべきです。

タグ：統計

posted at 20:56:45

#統計この場合はFishet検定の誤差が非常に大きくなる場合になっており、Fisher検定を使う場合にはそのことを理解して使う必要があります。

添付画像は第1種の過誤の確率のプロット。Fisher検定の第1種の過誤の確率はこの場合には名目有意水準より大幅に小さくなります。 pic.twitter.com/vFSIFNV9Lr

タグ：統計

posted at 20:59:44

#統計 Fisher検定と比較すると、(連続性補正無しの)χ²検定では、第1種の過誤の確率が名目有意水準に近くなりやすいです。

その代わりに、第1種の過誤の確率が名目有意水準より大きくなる場合があるという欠点がある。

どれを使っても利点と欠点がある。

タグ：統計

posted at 21:01:47

#統計そんなこんなで

1 4
40 60

という分割表のデータに小さな値のセルがあるという理由で「Fisherの正確確率検定」を使うべきだと思って使った人達も理解度の点で問題を抱えていると判定できます。

この辺は地雷が大量に埋まっているので要注意な話題です。

タグ：統計

posted at 21:05:28

#統計検定の基礎になっている統計モデルの妥当性を確認せずにいきなり検定を使おうとするだけで完全にアウトなのですが、「これは遊びなので」という理由でその点を看過しても、色々おかしなことを考えていそうに見える点がつらいところ。

タグ：統計

posted at 21:08:34

#統計

p=qという仮説のχ²検定のP値は37%です。

Jeffreys事前分布の場合の事後分布で p < q となる確率は81%です。これと上のP値の関係は

2(100% - 81%) = 38% ≈ 37%

です。この近似は普遍的に成立しています。 pic.twitter.com/KZIS143s3O

タグ：統計

posted at 21:36:27

質問者2 @shinchanchi

野党意識は捨てて欲しいのです twitter.com/shinchanchi/st...

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posted at 22:05:48

akina @nakixa

こういうの真面目に考えるの好き✨

ちなみに、私は「4回勝った人」など表現を過去形にした方が伝えたい事が伝わる広告になったのでは？と思いました。 twitter.com/genkuroki/stat...

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posted at 22:14:43

ビトバン @beatboard1

小倩老師スーチェン先生の中国語台湾華語教 @Bebe_taiwanese

> 積分定数さんが望む答えを私が言わない限り、ずっと続きそうで、

多分そうではなくて、あたたたたーさんが不可解なことを言うから質問をせざるを得ないと言うことだと思う twitter.com/81I6VVboj7h2Bq...

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posted at 23:04:25

ニンニク臭いってよく言うじゃないですか？
私的には納得いかないんですよね。ニンニクはとても良い香りで嗅ぐと食欲そそるし、中華やその他アジアンでもイタリアン料理でもまずニンニクを炒めて香りを出さないと始まらない。
声を大にして言いたい！
「🧄大蒜不臭！大蒜是很香的～😋」

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posted at 23:09:32

自分の解決よくじゃなくて、公教育の苦い手がお粗末な理解なので驚き呆れている。

「辞めて（ママ）もらっていいですか？」と言われた後は、私は自分の疑問点を述べて終了している。 twitter.com/81I6VVboj7h2Bq...

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posted at 23:22:53

Analysis Fact @AnalysisFact

Γ(x) ≈ 2/(4 - x) on the interval [2, 3].

The approximation is good enough that it's hard to tell the plot lines apart.

Plot[{Gamma[x], 2/(4 - x)}, {x, 2, 3}] pic.twitter.com/jG7x1VURcw

タグ：

posted at 23:23:52

Analysis Fact @AnalysisFact

The maximum error in the approximation is about 0.01.

Plot[Gamma[x] - 2/(4 - x), {x, 2, 3}] pic.twitter.com/XFyOK6uFKi

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posted at 23:25:24

@kankichi57301 @kankichi57301

必要最低限と唯一解（もしくは規範）は別の概念 twitter.com/FFFuuukkkkkkyy...

タグ：

posted at 23:28:14

Analysis Fact @AnalysisFact

If you can approximate the gamma function over any interval of length 1, you can approximate it everywhere.

For example,

Γ(5.2) = 4.2 Γ(4.2) = 4.2*3.2 Γ(3.2) = 4.2*3.2*2.2 Γ(2.2) ≈ 4.2*3.2*2.2*2/1.8

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posted at 23:32:46