黒木玄 Gen Kuroki
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2015年01月27日(火)
@TakizawaYasuko 協賛メーカーからの意向もあるのでCEROのレーティングは守ってますよ。 ow.ly/HZetR 他の被災地域で行ってる方のアドバイスでは暴力描写より水害や地震の描写の方を問題視してましたね。
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posted at 08:48:45
@genkuroki 「量子τ函数」の話の続き。無限自由度のソリトン系の量子化は場の量子論になってしまうので、今の段階では難しすぎる。だから、ひとまず、有限自由度への簡約(相似簡約、string equation)で最も重要なパンルヴェ系の場合に限った話。続く
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posted at 10:03:13
@genkuroki パンルヴェ系(古典的な6種のパンルヴェ方程式の一般化、モノドロミー保存変形を含む)の量子化は2次元量子共形場理論およびその変種。有理接続のモノドロミー保存変形の量子化はWZWモデルで、二階の線形常微分方程式の変形はBPZの場合になる。
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posted at 10:10:24
@genkuroki たくさんの種類の2次元量子共形場理論があるが、それぞれの古典極限はリーマン面上のなんらかのパンルヴェ系になっていると考えられる。Virasoro代数が特異点の位置を動かす変形(の量子化)を記述している。こういう見方が背景にある。
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posted at 10:20:11
@genkuroki もしも量子化される前のパンルヴェ系のτ函数が量子化されれば、量子化されたτ函数と共形場理論の関係がどうなっているかという問題も考えることができる(未解決問題)。現在はこの段階。
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posted at 10:22:17
@genkuroki τ函数の量子化では、τを函数ではなく、座標変数だとみなす必要がある。だから「唯一のτ」ではなく、「複数のτ」の側の立場に立つ必要がある。τ_1,...,τ_nは函数ではなく、あるPoisson多様体の座標変数の一部であると考えなければいけない。
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posted at 10:27:28
@genkuroki 問題は、τがPoisson多様体の座標変数の一部であるという立場で書かれた仕事が見つからないことだった。Poisson括弧の情報がないと、量子化で非可換性をどう入れたら良いかがわからなくなる。しかし、特別な場合の計算から、続く
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posted at 10:32:08
@genkuroki 続き、量子化されたτ_iは単純コルートに対応するパラメータ変数a_iの正準共役変数の指数函数であると考えるが正しそうなことがわかる。量子化したあとにはτ_i=exp(∂/∂a_i)となる。τ_iはパラメータ変数に関する差分作用素になる。
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posted at 10:36:26
@genkuroki τ_iは単純コルートの値を1増やす。すなわち、τ_iは表現論における基本ウェイトとほぼ同じものである。この観察はより深い形で正しいことが確認される。τ変数の単項式にはdominant整ウェイトを最高ウェイトμに持つ可積分表現L(μ)が対応している。
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posted at 10:42:34
@genkuroki 最高ウェイトμに持つ可積分表現L(μ)にはそれをテンソル積してさらに適切な部分表現を取ることによって定義されるtranslation functorが対応している。実は量子化されたτ函数はtranslation functorが化けたものになっている。
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posted at 10:45:18
@genkuroki 以上のようなことは、「τ函数は行列式になっている」という立場で書かれたたくさんの論文をどのように眺めていても出て来ない。「τは函数である」という立場でさらなる代数的な研究を行なうのは中途半端な立場だったのではないか？
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posted at 10:49:01
@genkuroki 訂正。
「dominant整ウェイトを最高ウェイトμに持つ可積分表現L(μ)」→「dominant整ウェイトμを最高ウェイトに持つ可積分表現L(μ)」
「最高ウェイトμに持つ可積分表現L(μ)」→「最高ウェイトμの可積分表現L(μ)」
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posted at 10:53:25
現在発売中の『数セミ2月号』前川淳［折って楽しむ折り紙セミナー］の作品は、「立方体に内接する正四面体」です。構造の中央に正四面体の展開図を持つモデルです。無駄のないきれいな構造で、近作の中でも前川氏の一番のお気に入りとのことです。 pic.twitter.com/Z3JRELSR5J
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posted at 11:19:24
@genkuroki 量子τ函数とKac-Moody代数の表現論の関係の続き。量子τ函数がtranslation functorの化身になっているという主張の内容を詳しく説明する。以下、λとμはdominant整ウェイトであるとし、wはワイル群の元であるとする。
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posted at 11:25:42
ワイル群のshifted actionをw.λ=w(λ+ρ)-ρと書く。Verma表現M(w.λ)をλ+μに対応するブロックに移すtranslation functorをTと書くと、T(M(w.λ))=M(w.(λ+μ))となる。M(w.λ)はM(λ)の部分表現であり、続く
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posted at 11:29:58
続き、T(M(w.λ))はM(w.λ)とL(μ)のテンソル積の部分表現なので、T(M(w.λ))はM(λ)とL(μ)のテンソル積の部分表現になっている。M(w.(λ+μ))はM(λ+μ)の部分表現であり、M(λ+μ)はM(λ)とL(μ)のテンソル積の部分表現になっている。続く
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posted at 11:33:39
続き。Verma表現M(λ)と可積分表現L(μ)の最高ウェイトベクトルをそれぞれv(λ)、u(μ)と書く。それらのテンソル積をv(λ)×u(μ)と書く。F_iたちのある具体的な非可換多項式F_w(λ)によってv(w.λ)はv(λ)=F_w(λ)v(λ)と表わされる。続く
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posted at 11:47:59
続き。登場した表現たちの包含関係を追うと
Δ(F_w(λ+μ))(v(λ)×u(μ))∈M(w.λ)×L(μ)=(U F_w(λ) v_λ)×L(μ)
が成立することがわかる。ここでUは普遍展開環で、Δはその余積で、×はテンソル積を表わす。これが重要な式。これより、続く
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posted at 11:54:03
続き。これより、
F_w(λ+μ))v(λ)∈U F_w(λ)v_λ
となることがわかる。すなわち
F_w(λ+μ)) F_w(λ)^{-1} ∈U.
割り切れる！割り切った結果が実は量子化されたτ函数τ(w(μ))にほぼなっている！続く
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posted at 11:57:41
続き。以上で説明をサボったがτ変数たちにはワイル群を双有理的に作用させることができる。μに対応するτ変数の単項式τ^μにワイル群の元wを作用させた結果としてτ(w(μ))が定義される。
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posted at 12:01:01
量子化される前のτ(w(μ))はJacobi-Trudi型の行列式表示(の一般化)を持つ。行列式の成分は従属変数について多項式なので量子化される前のτ(w(μ))も従属変数の多項式になる。この多項式性の量子化が
F_w(λ+μ)) F_w(λ)^{-1} ∈U
になっている。
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posted at 12:04:17
つまり、τ(w(μ))の多項式性の量子化は「singular vectorがsingular vectorで割り切れる」という結果になっており、その結果はtranslation functorを使って証明されるという仕組みになっているわけ。
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posted at 12:05:53
非可換環の元を成分に持つ行列式も「非可換行列式」(Gelfand-Retakh)ある。しかし、一般に非可換行列式は成分の多項式ではなく、非可換有理函数になってしまう。非可換な場合には行列式で書けていても、そこからすぐには多項式性は出て来ない。
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posted at 12:09:06
OMG, ピケティの英訳者は印税方式でなく、買い取りで翻訳したのか！ Epic fail!! www.marketplace.org/topics/economy...
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posted at 16:15:49
