黒木玄 Gen Kuroki
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2015年06月12日(金)
数学こねた。(x)_q=(1-q^x)/(1-q)とおく。これはq→1でxに収束する。xが数であるとき(x)_qはq-numberと呼ばれることがある。q数は普通の数のパラメータqによる変形とみなせる。q数は普通の数が満たしている多くの性質を満たしている。続く
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posted at 11:21:12
高校レベルの数学のこネタの続き。q=e^hとおき、(x)_qのhに関するべき級数展開を (x)_q=Σ f_n(x) h^n/n! と書いておく。f_n(x) は何であるか？ h→0、q→1で(x)_q→xなのでf_0(x)=xである。(0)_q=0なのでf_n(0)=0. 続く
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posted at 11:28:44
高校レベルのこネタ続き。(x+1)_q－(x)_q=q^x=e^{xh}=Σ x^n h^n/n! なので、f_n(x+1)－f_n(x)=x^n である。 f_n(0)=0だったので、正の整数kに対して、～続く
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posted at 11:31:56
続き～、n>0のとき、f_n(k+1)=f_n(k)+k^n=f_n(k-1)+(k-1)^n+k^n=…=f_n(0)+0^n+1^n+…+(k-1)^n+k^n なのでf_n(k+1)=1^n+2^n+…+k^nとなる。まとめに続く
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posted at 11:36:04
続き。要するに、q=e^hとおくとき、q数 (k+1)_q = (1-q^{k+1})/(1-q) のhに関する展開の h^n/n! (n>0)の係数は1からkまでのn乗の和になっている。q数は実はべき乗和の母函数であった。細かいところをミスっていたらごめん。続く
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posted at 11:46:10
続き。実は最初からx=k+1 (kは正の整数)とおいておけば、(k+1)_q=(1-q^{k+1})/(1-q)=1+q+…+q^kであり、q^j = e^{jh} = Σ j^n h^n/n! なので (k+1)_q が j^n の和の母函数であることは最初から明らか。
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posted at 11:50:20
続きのおまけ。よくある解説では、ベルヌイ数を母函数を使って定義して、ベルヌイ数を使ってn乗和を表わせることを証明しています(結構複雑)。そのスタイルと以上のq数を単純に母函数とみなす話を比較すると、q数の定義式の一部分にベルヌイ数の母函数が見えていることもわかります。
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posted at 11:57:19
続きの細かい話。q数を単純に母函数とみなすとh^0の係数がxになって、xにk+1を代入するとk+1になり、1からkまでの0乗の和になりません。これをどうにかできないでしょうか？さらにxにk+1ではなく、kを代入して1からkまでのn乗和が出て来るようにできないでしょうか？続く
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posted at 12:00:28
続き。そこをうまく処理するためには (x)_q をそのまま母函数とみなさずに、それに q をかけた q(x)_q = q(1-x^)/(1-q) を母函数とみなすとよいです。なぜならば正の整数kに対して q(k)_q = q+q^2+…+q^k だからです。
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posted at 12:03:36
続き。正の整数kについて、q(x)_q=q(1-q^x)/(1-q)のhに関する展開のh^n/n!の係数は1からkまでのn乗和になります。よくある解説のベルヌイ多項式の母函数はB(x,h)=-hq^x/(1-q)で、q(x)_q=(B(x+1,h)-B(1,h))/hです。続く
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posted at 12:16:11
続き。ベルヌイ多項式B_n(x)はB(x,h)=-hq^x/(1-q)のhに関する展開のh^n/n!の係数として定義されるので、等式q(x)_q=(B(x+1)-B(1,h))/hの両辺の展開を比較すればn乗和をベルヌイ多項式で表わす公式も得られます。
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posted at 12:18:45
Togetter（トゥギャッター） @togetter_jp
いまツイッターで話題のまとめはこちらです。「【カッコいい】パンをトーストしながら切ることができるナイフが様々な武器を喚起させ話題に！」 togetter.com/li/833479
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posted at 12:36:02
twitter.com/genkuroki/stat... の誤植。 「 q(x)_q = q(1-x^)/(1-q) 」は誤りで、正しくは「 q(x)_q = q(1-q^x)/(1-q) 」です。q^x は e^{xh} の便利な略記だと思っておくとよいです。
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posted at 12:37:45
