黒木玄 Gen Kuroki
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2015年08月26日(水)
#掛算 twitter.com/genkuroki/stat... 部分積分では∫_0^s √(1-y^2) dyがきえてくれないのに、扇型の面積は求められるというのは、不思議な感じがします。LaTeXで整形してみました。 pic.twitter.com/ztCm5uEUcQ
タグ： 掛算
posted at 00:11:50
甥っ子の宿題「りんごが10こ、みかんが7こありました。ちがいはいくつでしょう」で、「3こ」と答えて×されてた。正解は「りんごが3こおおい」らしい。問題文からは全く読み取れないし、小一にそこまで書かせるのもやり過ぎ。
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posted at 01:36:47
『部活動の顧問はしたくありません。』
と管理職に言えない先生方が多いのは重々わかる。
顧問拒否が成功したとしても，その後の教師生活に不安を感じるからだ。
校長の目。同僚の目。
保護者の目。生徒の目。
『教師は部活の顧問をやって当たり前』
この感覚が蔓延しすぎている。
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posted at 02:14:28
ビッグコミックスの『医者を見たら死神と思え』、とうとうスキルス胃がんを云々するそうで。いや、近藤誠氏は以前、「未分化胃がんはスキルス胃がん同然！ 放置で長生き！」って意図的混同やって失笑買ってたことがあるんですよね……。※もちろん別物。
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posted at 04:13:33
胃がんの分類の意図的混同なんて一般読者は分からない（ただし近藤誠氏が知らないなら無能、知ってたら捏造でどちらにしろダメ）、小学館編集者が近藤誠氏に騙されるのは多少仕方ないにしても、今の段階でそのレベルじゃそりゃあ文藝春秋から厄介ごと押しつけられもするなあと……。
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posted at 04:23:18
もちろん「専門家には一発でバレる」のですが、初っ端で「医者を信じるな（≒例外の俺だけ信じろ）」なカマシをしているので読者まで届きにくい、良心や患者さんの利益をさておくなら、信者商売としてはそこそこ有効な手法ですね……。
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posted at 04:24:58
マキァヴェリスト五箇条とか。「ちゃんと批判してくれるひとを揃えなさい」「愛されるより尊敬されなさい」「ありうべき危機に目を光らせなさい」「ひとりで全部背負おうとするのやめなさい」「ピンチのときこそ不敵に笑いなさい」。
twitter.com/odg1967/status...
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posted at 04:43:45
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Rate Hike Fever nyti.ms/1NP3kp6
クルーグマンさんのいつものやつ。サマーズさんは色々「悪名高い人」ではあるのですが、経済政策についてはいつも良いことを大声で言ってくれるキュートな人です。
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posted at 09:00:02
@genkuroki 続き。クルーグマンさん曰く【this attitude has the makings of a big mistake. Think Japan 2000; think ECB 2011; think Sweden. Don’t do it.】
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posted at 09:02:15
@genkuroki 歴史的なかなり鉄板の経験則として「早過ぎる金融緩和の中止は極めて高くつく」ということがあります。戦間期の世界大恐慌のときにも米国はヘマをやらかしている。そして、ヘマをやらかしたことがわかったのは経済学の発展のおかげ。
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posted at 09:06:50
もうすぐ二学期。学校が始まるのが死ぬほどつらい子は、学校を休んで図書館へいらっしゃい。マンガもライトノベルもあるよ。一日いても誰も何も言わないよ。９月から学校へ行くくらいなら死んじゃおうと思ったら、逃げ場所に図書館も思い出してね。
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posted at 09:11:01
「食育は栄養学。道徳だけでなく科学的な視点が必要」管理栄養士・成田崇信氏インタビュー blogos.com/outline/129459/
「我が国の伝統ある食文化を継承する」といったことが書いてあるのですが、そもそも先程も指摘したように、昔はそれほどいい物を食べていません。
それな。
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posted at 09:46:34
数年前から、学生さんが「当てはめる」という言葉を使うのを、たまに見かけるようになった。「 n が偶数の場合は当てはまるので」とか「平均値の定理を当てはめると」とか。ものすごい違和感を覚えるのだけど、誰か積極的に「当てはまる」って使ってるんだろうか。おはようございます。
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posted at 09:55:17
@genkuroki クルーグマンさんが言うところの Japan 2000 とは、日銀による2000年のゼロ金利解除のことです。あれが失敗だったことは少なくとも日本以外では常識になっていると思う。早過ぎる金融緩和解除が高くつくという経験則はかなり普遍的に成立しています。
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posted at 09:56:57
↓昔の食事はよかった食卓が欧米化してから云々というのを見るたびに、東北の生活記録運動にあらわれる食事の内容やらなんやら思い出して、ほへーと思っていただけに、下リンク先のような記事を読むとにまにまするね。
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posted at 09:59:45
@genkuroki たぶん、ぼくが今の高校生の立場ならば、クルーグマンのコラムを毎回読み続けるというようなことをやりたいと思うだろうな。英語の勉強にもなるし、経済に関する勉強にもなるし、コラム自体が面白いしで、良いこと尽くめな感じ。おすすめ。
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posted at 10:04:20
@genkuroki サマーズさんは検索してみればわかるように色々「評判の悪い人」です。そういう思い込みを廃して、サマーズさんをきちんと評価できるかどうかで、その人がどれだけフェアであるかを評価できると思う。日本の左翼はマクロ経済政策に関してサマーズさんに見習うべき点が多数ある。
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posted at 10:11:23
#掛算 「lim_{θ→0} sin θ/θ=1 の高校数学教科書における証明は循環論法だ」というデマの拡散元として、ウィキペディアの三角関数の項目も無視できないと思います。
ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89...
続く
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posted at 10:28:00
#掛算 続き。その項目を見ると、根拠となる文献として、川中宣明さんのこれ→ sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~kawanaka/sinx... が引用されています。おそらく、川中さんは高校数学IIIの教科書に「曲線の長さが速さの積分で表示されること」の解説があることを知らないのだと思う。続く
タグ： 掛算
posted at 10:30:48
#掛算 続き sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~kawanaka/sinx... の最初の段落に書いてあることは、私も概ね正しいと思います。そこには「循環論法である」という主張が発生する理由が書いてあります。循環論法であるか否かとは別にそういう主張が発生する理由について語ることができます。続く
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posted at 10:33:10
#掛算 続き。しかし、添付画像の形式で引用したその次の段落は誤りです。川中さんは高校数学IIIの教科書に曲線の長さを速さの積分で表示する話がきちんと書いてあるという事実を完全に無視しています。続く pic.twitter.com/FNIP6b9T68
タグ： 掛算
posted at 10:39:46
「放射線安全論」とか言ってありもしない藁人形を叩いている人たちは、「量の概念」が徹底的に欠けているんですよ。たとえば、自然放射線による日本人の年間平均被曝(内部・外部合わせ)は約2.1ミリシーベルトで、これは世界平均よりも２割ほど低いんです。こういうことを知ってほしいなあ
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posted at 11:21:07
よく見ると、注意のところに
「乗数と被乗数を入れ替えた式なども許容する」
という【アタリマエのこと】が書いてありますね。 twitter.com/MathEdr/status...
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posted at 12:23:10
もう１つ指摘しておくと、「求める式を書きましょう」に対して
480÷1.2
と書いても、
□×1.2=480
と書いてもよいわけです。これもアタリマエのことですが、「割り算にしないとダメ」なんてことはない。
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posted at 12:36:04
#掛算 平成27年度 全国学力・学習状況調査 割合の問題と正答率
www.nier.go.jp/15chousa/pdf/1...
www.nier.go.jp/15chousakekkah...
タグ： 掛算
posted at 12:39:21
#掛算 添付画像は twitter.com/awellbottom/st... からの孫引き。もちろん【弧の長さを求めるために積分を用いるのだが、ここに三角関数を用いる】という決め付けは誤り。三角関数を使う表示も使わない表示もある。続く pic.twitter.com/Ioxo0KUGWT
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posted at 12:42:52
#掛算 メモ
twitter.com/shiroyasu_NIT/...
twitter.com/MathEdr/status...
高校の数学教科書の範囲内で三角関数の導入を閉じさせるためには数学IIIの教科書に書いてある曲線の長さの積分表示に触れる必要があるよね。
タグ： 掛算
posted at 12:50:54
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@awellbottom そうです！ θ(s)=∫_0^s dy/√(1-y^2) はまさに「微小なdy/√(1-y^2)をyを0からsまで動かして足し上げたもの」です。高校数学IIIの教科書では「区分求積法」の項目に載っていた話を思い出してもらえればそれで十分です。 #掛算
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posted at 13:10:52
@genkuroki #掛算 物理を勉強している高校生は、数学で勉強した微積分を物理で役立ててほしいです。そうすると、「微分は傾き、積分は面積」だけじゃないとわかり、微積の理解にも役立ち一石二鳥。
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posted at 13:22:28
@sekibunnteisuu @genkuroki #掛算 カリキュラムとしては力学の速度や加速度（台車に紙テープをひっつけて運動させてドットインパクトプリンタの原始的なやつでドットを紙テープにうつ実験をする）って微積分を習う前だから微積分を使わずに苦しい説明をしてたやうな
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posted at 13:48:23
あ、すみません。積分定数さんでなく黒木さんの呟きにリプライしたように表示されてしまい、元の呟きを削除しました。塾の生徒さんが楽しんでくれれば、と思います（私もかつて楽しんだ系ｗなので）。 QT @sekibunnteisuu それは面白そう…
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posted at 13:48:59
@kankichi573 @genkuroki #掛算 むしろ、そこから微積分につなげればいいと思うのですが、別の先生が教えることになるし、難しいのでしょうね。
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posted at 14:00:49
.@sekibunnteisuu @kankichi573 おもりを落下させてドットを紙テープにうつ実験はぼくも高校生のときにやりました！ぼくの時代の物理の教科書では「Δx/Δt」のような記号法を採用していて、Δをdに書き直せば微積分で理解できるようになっていました。
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posted at 14:07:43
はい、そうなんです。だから答えだけ見ると大したことない、だからある種の生徒は憶えておしまいとなりがちで、そこをちゃんと掘ると意外な展開があり、シンプルな解にたどり着いてちょっとした驚きが味わえる、という。 QT @sekibunnteisuu 結果は意外とシンプル…
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posted at 14:11:09
ちょっと経済論戦に詳しい人達に質問。
philosophy.hix05.com/Economy/2014.3... を見ると何やら伊東光晴氏という権威があるらしいどこの何者か知らない人物wがまったく相手にする価値がないことを述べていたらしいのですが、これは本当でしょうか？続く
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posted at 14:35:00
続き。まず株価の上昇について。その人物は【株価の上昇は昨年11月13日から始まっている。政権交代の起こる前からである。その上昇の要因を分析してみると、～投機資金が日本の株式市場に流入したことの結果であり、アベノミクスとは何の関係もない】と株価について無知を丸出しにしたらしい。続く
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posted at 14:37:03
続き。株をやったことがある人もない人も「誰よりも株価上昇を先に予想し、実際に株価が上昇する前に株を買うことができれば儲かる」ことは理解できると思います。仮に政権交代後に株価上昇が予想されるとき何が起こると予想できるでしょうか？続く
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posted at 14:39:13
続き。株をやっている人はこう考えます。「政権交代後に株価が上昇するならば、株価が実際に上昇する前に株を買えば儲かる」と。その結果、何が起こると予想されるか。政権交代後に株価上昇が期待されるならば、実際には政権交代前に株価は上昇する！これが現実に起こったことです。続く
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posted at 14:41:17
続き。株価は景気の先行指数としてほぼ最強に近いものです。どうしてそうなるか。景気が良くなると株価は上昇します。景気が良くなると予想されるならば、実際に景気が良くなる前の段階で株を買ってしまえば儲かる可能性が高いです。だから、株価上昇が景気上昇よりも先に起こることになるのです。続く
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posted at 14:43:28
続き。以上のような話は普通に経済学の教科書を読んでも書いてあります。その人物(伊東光晴氏)がお嫌いらしい岩田規久男日銀副総裁が書いた教科書『金融』にも株価がどのように決まるかの簡単なモデルがしっかり書いてあります。以上で述べた話はそのモデルで説明できます。続く
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posted at 14:46:59
続き。次は円安について。なんとその人物は【日本の通貨当局による為替介入があるに違いない】と書いたらしいwww まあ、この人物は恥知らずなのでしょうか？現実には為替介入をしなくても、十分な金融緩和で円安になることが証明されてしまいました。続く
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posted at 14:49:40
@genkuroki www.nikkan-gendai.com/articles/view/...
これを読んだ印象としては、「世界」8月号にそのように書いてあったということは本当ではないか、と思います。
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posted at 14:51:40
続き。しかし、もしかしたら、その人物は『世界』2013年8月号に本当はもっとまともな意見を書いており、以上で私が孫引きしたような嗤える意見を書いてなかったのかもしれない。だから、詳しい人達に「こんなことを本当に書いたの？」と聞きたいわけです。続く
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posted at 14:52:14
続き。 www.google.co.jp/search?num=100... とググってみると、どうも本当にそういう無知無能丸出しの恥ずかしい意見を『世界』に書いたように見える。この人物(伊東光晴氏)のことを私はよく知らないwのですが、経済の世界では権威ある人物なのでしょうか？続く
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posted at 14:56:29
続き。さすがに、株価がどのように動くかに関する初歩的な事柄とか、為替介入しなくても為替市場の未来予想を変えるような金融緩和で為替が大きく動くことを知らなかったというのは、まじめに相手をしてはいけない人物であると判断せざるを得ません。「権威」を議論の根拠にしてはいけないと思います。
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posted at 14:58:02
続き。以上の発言は twitter.com/tadataru/statu... をRTしたら、理解が伴っているようには見えない権威的な態度で伊東光晴氏の著書を引用して偉そうにコメントをつけている恥ずかしい人を見付けたので、とどめを刺すために行いました。そういう文脈で読んで頂ければ幸いです。
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posted at 15:01:49
「サマーズ氏は…近い時期の利上げは「重大な過ち」になるとしたが、ツイッターでさらに踏み込んでＦＲＢは債券購入プログラム再開を検討すべきだと」 / “[FT]金融界の重鎮、ＦＲＢに量的緩和求める ：日本経済新聞” htn.to/4s26DE
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posted at 15:05:40
日本経済の不調がこんなに長く続いてしまったせいで、経済学の教科書を普通に読んで「なんとかならないか」と考える市井の人も増えました。経済統計なんかも積極的に見る人が増えて来る。そうやって増えたアマチュア有段者集団相手につまらない権威的な名前の引用はまったく役に立ちません。
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posted at 15:13:25
@kankichi573 @genkuroki #掛算 現行の多くの高校数学教科書は、微分の後に原始関数として不定積分を定義、そのあと面積が定積分になることを示し、区分求積はその後。だから区分求積が、「細かく刻んで足す」という積分のイメージを豊かにするというよりも、
タグ： 掛算
posted at 15:16:14
しかもそうやって増えた人達はサマーズさんとかクルーグマンさんとかが何を言っているかをチェックしているわけですよ。標準的な経済学を知っているから彼らが何を言っているかを十分に理解できる。「権威」に頼るなら、サマーズさんとかクルーグマンさんなどと同格の「権威」の発言を引用しないとね。
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posted at 15:16:21
@kankichi573 @genkuroki #掛算 生徒には「答えは簡単に出るのに、数列の総和を使ってわざわざ面倒なことをしている」という風に捉えられているようです。
タグ： 掛算
posted at 15:17:57
たぶん、伊東光晴氏の名前とかに権威を感じる人達はもう自分達が時代遅れになってしまったことに早く気付かないとダメだと思う。おそらく現代の高校生で経済に興味を持っている人達はインターネットで米国の一流経済学者の発言を直接読んでいるに違いありません。
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posted at 15:18:59
テレビでも飯田さんと金子勝さんの経済論戦対決なんかを見て、金子勝さんの側が全然ダメっぽいことにも若い人達は気付いていると思う。
心配なのはSEALDsのような方向に行ってしまった若い人達。上の世代のダメなところをきちんと否定できれば問題ないのですが。
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posted at 15:21:08
[FT]金融界の重鎮、ＦＲＢに量的緩和求める ：日本経済新聞 www.nikkei.com/article/DGXMZO...
こういう文脈でいつも出て来るローレンス・サマーズさんがキュート過ぎ。
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posted at 15:28:47
定期的にチェックしている「真の失業率」
d.hatena.ne.jp/kuma_asset/tou...
雇用は遅行指数であることを忘れてはいけないのですが、雇用の改善が続いているかどうかはやはり重要。
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posted at 15:39:33
三角関数の定義1 原点中心の単位円上の点の(1,0)からの弧長がθのとき、x座標がcosθでy座標がsinθ。利点：最も直観的。欠点：三角関数を定義する前にユークリッド平面を定義しなくてはならないので、議論が長くなる。
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posted at 15:49:20
@moriokahiguma いきなり個人的な意見になってしまうのですが、今回激捨象された「性交回数と妊娠可能性の関係」なんて、一番大事なことだし、高校生だって知っておくべきことだと思うわけです。例：「残業へろへろ帰宅じゃ、子どもがほしくったってできない」を理解する基礎知識？
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posted at 15:49:56
三角関数の定義2 定積分で逆三角関数を定義し、その逆関数として三角関数を定義。利点：導入までの準備が少なくてすむ。欠点：周期関数となるよう拡張する必要があるが、その必然性が見えにくい。
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posted at 15:50:00
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@moriokahiguma おっしゃる通りかと思います。その架け橋部分の「科学的事実」を構成するためには、グラフの改竄が不可欠だったという悲しい背景が浮かび上がってきます。
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posted at 15:57:10
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@moriokahiguma 「意図」を読み込む必要はなく、経緯を分析するかぎりは、そうだったとしか理解できないということかと思います。グラフを改竄はごくカジュアルに行われたのでしょうし、それが見抜かれぬまま、「長年広く」（毎日のご本人の言）使われてきたという体制の問題。
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posted at 16:12:36
【田崎晴明『熱力学:現代的な視点』におけるカルノーの定理の証明の改良】
東工大の田中さんの素晴らしいアイディアのおかげで、拙著の最大の不満点が出版後十五年を経てついに解消しました。感無量です。
拙著で学習中の方は是非ともご覧ください。
www.gakushuin.ac.jp/~881791/td/com...
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posted at 16:18:48
@moriokahiguma しかしそのカジュアルな改竄から今回の高校生副読本使用にいたる間に、有村大臣によって、改竄グラフでない元論文のグラフが全国知事会配付資料として使われたという不思議（最終的にはこれのトレースミスにする線？） www.nga.gr.jp/ikkrwebBrowse/...
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posted at 16:19:46
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@moriokahiguma まっとうな人を排除するかたちで成立しているある種の宗教政権ですから、通常だと最初の段階で気づかれるようなアレレが、「科学的事実」としてキャッチボールされて肥大化するということなのだと思います。
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posted at 16:25:45
#掛算 資料1/4
www.nier.go.jp/15chousakekkah... の3(3)からびっくりするほど正答率が低かった問題に関する部分を抜粋します。まず問題はこれ。 pic.twitter.com/03nkOPdT4C
タグ： 掛算
posted at 17:23:46
#掛算 続き。これで最後。資料4/4
学習指導に当たって
出た！教える側からの評判が悪い二重直線図。 pic.twitter.com/OuzkQfHANH
タグ： 掛算
posted at 17:28:34
#掛算 「答え」は400mLです。「式」(←出ました！我々が知っている式とは異なるもの)は【480÷1.2】【□×1.2=480】【480÷120×100】【(増量後のせんざいの量)÷1.2】が正解だそうです。続く
pic.twitter.com/OPzqSrr99s
タグ： 掛算
posted at 17:33:51
@genkuroki 自分は「あー、400じゃないかなー」と推測して、そこから検算する感覚で式を立てましたねｗ
結局その式は
ｎ × 1.2 = 480
となり、「1.2を掛けて480になるのはやっぱり400だよな」といういい加減な計算をしましたｗ
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posted at 17:42:22
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#掛算 続き。悲観する根拠は twitter.com/genkuroki/stat... で紹介していたように、とある調査では割合の問題の正答率が小6と中3でほとんど変わらなかったからです。私はその調査結果を見て、一生変わらないのではない可能性が高いのではないかと思いました。続く
タグ： 掛算
posted at 17:57:43
#掛算 続き。最近の学習指導要領解説や教科書で大流行中なのが二重直線図というやつです。もっと別の呼び方もあったと思います。どういう図であるかは添付画像を見て下さい。ぼくが知る限りにおいてこの図の小学校の先生のあいだでの評判は悪い。続く
pic.twitter.com/OuzkQfHANH
タグ： 掛算
posted at 18:09:43
#掛算 代案続き。
3. 視覚的イメージを重視する。
4. 式を使った計算を経由せずにおおざっぱな見積もりができるようになるように教える。
などなど。これらの方針は次のリンク先で紹介した授業の比較研究のパクりです。
twitter.com/genkuroki/stat...
タグ： 掛算
posted at 18:16:26
#掛算 続き。 twitter.com/genkuroki/stat... 以降の紹介も読んで下さい。教科書通り教えたT群と工夫して教えたE群では、正答率でも理解の質でもE群が圧勝しています。教科書通り教えたT群の理解の質は予想されるように低い。続く
タグ： 掛算
posted at 18:19:20
@genkuroki 結果的に「式」は出題者の意図通りなものが出来上がったんですが、思考経路は絶対に出題者の意図とは食い違ってるよね、などと。
最終的な値を出す計算も「400+40×2で480、よし合ってる」くらいのことはやってのけてる感じですｗ
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posted at 18:27:07
採択相次ぐ!｢育鵬社教科書｣本当の問題点
｢右・左｣だけでなく､グローバル視点で課題toyokeizai.net/articles/-/813...
インフレは悪いものだと東洋経済や記者、取材相手が思っているのが分かるが、育鵬社教科書も、帝国書院教科書もそういう態度で書かれているようだ。
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posted at 19:16:07
【圧力とか、誰かの息がかかった人が委員にいた、ということはなかったのです。そういうことだったら、対処は簡単です…/4年前の教育委員会で育鵬社が採択されたのは、分かりやすさ、面白さ、そして何となく自信が持てるといった要因からだと考えています】というところが肝。
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posted at 19:19:31
【教育委員会の出した結論は、世の中の雰囲気をよく表している】と育鵬社の教科書を採択した時の大田区教委委員長・櫻井光政氏。委員会決定の参考となる現役教員による評価では育鵬社教科書は最低だったはず。民主主義は専門性の独裁より喜ばしいが、ここまでダメなものをえらぶなよという気はする。
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posted at 19:25:49
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旧高月町立図書館（滋賀）が、不登校の生徒を図書館が受け入れていて、図書館に来れば学校に出席したことになる制度を設けていて、図書館の中に専用の部屋があり、先生（だったかな）もいたことを思い出した。 / “「学校が始まるのが死ぬほどつ…” htn.to/8qEETs
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posted at 20:22:45
がんばっている先生方は知っているのだけど、今は学習指導要領の謎な規定のために特に小学校の理科の教科書が部分的にトンテモ本化していて、中学校の先生はその尻拭いだけで大変そうです。 twitter.com/nojiri_h/statu...
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posted at 20:58:19
#掛算 学テが許容する式の種類は、算数教育界の通常の許容範囲よりを超えているようにみえる。掛算の順序については2010年bit.ly/1JlLSHD以降、毎年【乗数と被乗数を入れ替えた式なども許容する】という式の評価基準が定められている。2015年度も同様。
タグ： 掛算
posted at 20:59:22
ちょっと前まで教科書検定基準にあった「小学校の理科の教科書に載せる月の満ち欠けの図は二つまで。満月と半月を三日月を並べたらアウト」なんて、正気とは思えません。
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posted at 21:00:37
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posted at xx:xx:xx
ゆとり期の学習指導要領解説（文部科学省編）はどの教科もすごかったですよ。いたるところ「○○は扱わない」「△△に深入りしない」ばかりで、「□□を掘り下げる」はほとんどありませんでした。
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posted at 21:08:50
育鵬社の公民教科書・教師用指導書。日本国憲法9条の原案（英文）を生徒にみせて、ＧＨＱはどのように考えていたのか？と発問。 pic.twitter.com/bCFECVdniK
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posted at 22:23:18
@genkuroki #函数 xy平面における原点を中心とする単位円周を考え、点(1,0)を始点とする長さθの弧(ただし長さは時計回りなら負の値を取ると考える)に対して、弧の終点のy座標を sin θ と定義します。これは高校の教科書に書いてある定義と本質的に同じです。続く
タグ： 函数
posted at 23:21:23
@genkuroki #函数 続き。(説明の仕方がちょっとひどいのですが、許して下さい。) しかし、高校の教科書で円周上の弧の長さを微積分で表すためには、数学IIIの教科書を終わりの方まで読まなければいけません。そこまで読んで初めて弧の長さの概念が明確になったと考えるべき。続く
タグ： 函数
posted at 23:24:54
@genkuroki #函数 続き。数学IIIの教科書の終わりの方に曲線の長さが∫_a^b √((dx/dt)^2+(dy/dt)^2) dtと表示できることの解説がある。これを曲線の長さの定義だと思ってもよいし、別に曲線の長さが定義されていてこれは定理だと思ってもよい。続く
タグ： 函数
posted at 23:30:15
@genkuroki #函数 続き。xy平面上の単位円とは方程式x^2+y^2=1で定義される多様体のことです。多様体を知らない人は適当にこの手の用語を無視して下さい。多様体は大した話ではないです。単位円上の弧の長さは単位円上の微分形式の積分としてきちんと定義されます。続く
タグ： 函数
posted at 23:36:35
@genkuroki #函数 続き。あ、微分形式という用語も適当に無視して下さい。微分形式の話も大したことないです。以下の話は数式を見れば必要なことは全部わかります。単位円の右半分に含まれる弧の長さは〜続く
タグ： 函数
posted at 23:39:51
@genkuroki #函数 続き〜 dy/√(1-y^2) の積分で書けることが、高校数学IIIの教科書を全部読んでいればわかります。弧をパラメータt=yによって(x,y)=(√(1-y^2),y)とパラメトライズして、曲線の長さの公式を使って下さい。続く
タグ： 函数
posted at 23:46:31
@genkuroki #函数 続き。単位円の上半分に含まれる円弧についてもxとyの立場を取り替えれば同様です。ただし、時計と反対回りに積分すると正の値が得られるよう平方根の正負を選んで下さい。単位円の右半分と下半分も同様です。続く
タグ： 函数
posted at 23:50:30
@genkuroki #函数 続き。これによって、単位円の右半分、上半分、左半分、下半分に含まれる弧の長さが積分で書けることがわかりました。どれか一つの◯半分に含まれ切らない弧の長さは積分を繋ぎ合わせれば計算できます。(微分形式の積分とは要するにこういうこと。)続く
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posted at 23:54:47
@genkuroki #函数 以上において多様体とか微分形式とか口走ってしまいましたが、実質的な内容は高校数学IIIの教科書の終わりの方に書いてある曲線の長さを単位円に含まれる弧に適用しただけです。単位円に巻き付くような「弧」の長さも積分をつなぎ合わせれば計算できます。続く
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posted at 23:58:22
