黒木玄 Gen Kuroki
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2016年05月29日(日)
今更だけど、「NHK数学ミステリー白熱教室（エドワード・フレンケル教授）」の第3回をみる。フェルマーの最終定理を読んで感動したのを思い出す。モジュラー関数と数論の関係に最初に気づいた人はどんなことを思ったんだろう？数学をやることは神との対話といった人がいたけど声が聞こえたのかな。
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posted at 01:43:09
教授に「スターリングの近似は本当に凄く良い近似だよ」と言われて確かめてみたらガチ
だった。こんなに早いとは。アボガドロ数レベルじゃなくても三桁ぐらいで何も気にしないでいいんじゃないか。 pic.twitter.com/zVXpPOdXwR
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posted at 02:11:08
@genkuroki #掛算 掛算順序固定強制を氷山の一角とする算数教育の問題は長いので、すでに普通のまともな考え方の持ち主は算数教育を主導する立場から消え去っている可能性だってあると思う。そうでないことを祈りたい。
インターネットの影響は外部からの批判の形で根付くだろう。
タグ： 掛算
posted at 08:53:19
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@o_noyou @iidamatha 白状すると、子供の時に習った「掛け算の順序」がいまだに身にしみついていて、計算の時にいつも気になってしまう。
もちろんこれは無意味だし、だから他人の計算に文句を言うようなことはしない。
ただ、教育による固定観念の押し付けは恐ろしいってこと。
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posted at 10:03:11
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@genkuroki #数楽 続き。実は慣れてしまうとε-δの議論を使った方が様々な極限の取り扱いが楽になったりします。しかし、「実数の連続性→中間値の定理→閉区間上の連続函数が最大値と最小値を持つ→ロルの定理→平均値の定理→…」というような「伝統的」なやり方は結構「重い」。続く
タグ： 数楽
posted at 10:53:00
@genkuroki #数楽 続き。私自身は大学一年のときにそのような「伝統的」な講義を受けました(リーマン積分論もきちっとやった)。しかも一年かけて1変数の微積分だけをやった。数学科の学生としてはその授業はものすごく役に立ちました。数学科新入生向け講義として理想的だったと思う。
タグ： 数楽
posted at 10:56:52
@genkuroki #数楽 続き。しかし、その欠点は「重い」こと。直観に基いて論理的にややこしい議論を正確に行う技術は身につきますが、応用面を考えると内容的にものすごく薄くなってしまいます。おそらくそういう理由で数学科向けではない講義から「伝統的」なやり方が消えたのだと思う。
タグ： 数楽
posted at 11:00:34
@genkuroki #数楽 続き。その結果、大学新入生向けの微積分の講義のために書かれた多くの教科書から「一貫した考え方」が消えたように思えます。それだと教えていてつまらないし、聴いている方はもっとつまらないと思う。教えている側がつまらないと思ってやっている授業は最悪。続く
タグ： 数楽
posted at 11:04:17
@genkuroki #数楽 話を面白くするためには何か一貫していてかつどこでも通用する普遍的で優れた考え方が含まれている必要があると思う。ところが、微積分はあまりにも応用範囲が広いので何か一貫した考え方を適切に組み込むのは非常に難しい。
タグ： 数楽
posted at 11:06:27
@genkuroki #数楽 私の近所だけかもしれないのですが、大学新入生からもっともよくある質問は「いきなり他の授業でテイラー展開というのが出て来たのですが、これはナンですか？」です。テイラー展開さえ使えないと何もできないので、これは当然そうなるでしょう(笑)。
タグ： 数楽
posted at 11:09:01
@genkuroki #数楽 大学での理科系の授業では「普通の人」ならフーリエ変換やラプラス変換も使いたいはず。あと、計算量などのオーダーをO(n log n)とかいきなり書きたくなるのも人情だと思う。などなど。普段使っている道具や記号を使わずに講義をしろと言われても困るよね。
タグ： 数楽
posted at 11:11:40
@genkuroki #数楽 というわけで、(これは私の近所だけかもしれませんが)大学の講義では、数学の授業でまったく教えていないことが、他の分野の授業ではでは普通に使われまくることになる。これは昔からずっとそう。私が大学一年のときもそうだった。数学の授業が一番易しかった。
タグ： 数楽
posted at 11:14:17
@genkuroki #数楽 そういうことに気付いた学生(全部授業をサボらない限り絶対に気付く)にも面白いと思ってもらう数学の講義をするにはどうすれば良さそうかという話。これ、簡単に答えは出せない問題なのですが、講義をやるときには何か決めないといけない。マジ悩む。
タグ： 数楽
posted at 11:16:33
@genkuroki #数楽 私の場合には、理学部・工学部・経済学部などなどの新入生向けの解析学の講義では、最初の方では漸近挙動を調べる話の一番易しい話をすることにしています。「指数函数は多項式函数よりも大きな増大度を持つ」の二項定理を用いた証明を最初にやることが多い。
タグ： 数楽
posted at 11:19:35
@genkuroki #数楽 ε-δを知らなくても、指数函数が多項式函数に増大スピードで勝つことの証明ぐらい知っていないと問題ありだと思う。
a>1のとき、n→∞でn^k/a^n→0.
あと二項定理のような等式が大きさを評価するための不等式を作るために役に立つ点もとても大事。
タグ： 数楽
posted at 11:25:09
@genkuroki #数楽 微分の話は剰余項付きのテイラーの定理とその応用を目標にしています。○○展開で「+…」と書かれる部分が無限和とは限らず、小さいと評価できる剰余項かもしれないという発想ができた方がよいと思う。ε-δを知らなくても、誤差の大きさの評価はできないと困る。
タグ： 数楽
posted at 11:28:46
@genkuroki #数楽 ロピタルの定理は面倒だし、いらないと思うのでやらないことが多いです。不定形の極限の計算は「増大度のオーダーの違い」と「分子分母のテイラー展開」で処理できるならそうした方がよいと思う。高木貞治『解析概論』にもロピタルの定理はない。
タグ： 数楽
posted at 11:31:44
@genkuroki #数楽 「分子分母を微分すれば簡単」な極限の計算は確かに多いですが、実際の応用では単純に極限を求める問題になることは稀できちんと漸近挙動を分析しなければいけない場合が多い。漸近挙動は「増大度のオーダーの違い」と「テイラー展開」で分析するのが基本だと思う。
タグ： 数楽
posted at 11:34:44
@genkuroki #数楽 「増大度のオーダーの違い」は、多項式に指数函数が勝ち、指数函数に階乗が勝つというような話のことです。x log x のx↓0での様子はまさにその手の話そのものになっています。個人的にはロピタルの定理で処理したくないように思う。(使ってもよいですが)
タグ： 数楽
posted at 11:37:33
@genkuroki #数楽 1変数の積分の話では、例としてフーリエ変換やラプラス変換などもやりたいのですが、そんなことまでやれるほど授業時間はない感じ。
正直に言えば圧縮して詰めこめるのですが、それをやると新入生に理解可能な授業にならないことは確実。
タグ： 数楽
posted at 11:40:43
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posted at xx:xx:xx
@genkuroki #数楽 剰余項とその絶対値の上からの評価を含むテイラーの定理の導出は f(x)=f(a)+∫_a^x f'(x_1)dx_1 のみ(部分積分も使わない)を使う方法が「どうしてそういう式になるか」が直観的にわかりやすいのでよいと思う(個人的な意見)。
タグ： 数楽
posted at 11:46:49
@genkuroki #数楽 ガウス積分I=∫_{-∞}^∞ e^{-x^2} dxの計算は、高校数学の知識からI^2が小山の体積だ解釈できるので、横に輪切りした断面積の積分∫_0^1(-π log z)dz=-π[z log z-z]_0^1=πで求めるのが楽だと思う。
タグ： 数楽
posted at 11:52:11
@genkuroki #数楽 「伝統的」には剰余項付きのテイラーの定理はコーシーの平均値の定理を用いて導出し、ガウス積分は二重積分の極座標変換の典型的応用例になっているのですが、それら以外の見方も授業で利用した方がいいように思えます。
タグ： 数楽
posted at 11:55:01
@genkuroki #数楽 教えていると無難な線として「伝統的」スタイルに束縛される方向に流れがちであることは気持ちの面で非常によくわかるのですが、基本的に「伝統的」スタイルに流されることは(流されてなければ問題なし)授業をつまらなくすると思う。
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posted at 11:57:05
@genkuroki #数楽 ガウス積分をやったなら、多次元のガウス積分もやって、さらにファインマン・ダイアグラムの話もできそうなのですが、そんなに授業時間はない。大した話ではないのに偉い人の名前がついている事柄は結構多いと思う。
タグ： 数楽
posted at 11:59:28
@genkuroki #数楽 解析学の講義では、図を描くと当然そうなるべきであることがわかる場合にはそういう説明をした方がよいと思う。図を描けば当然なりたちそうなことだと理解した上で証明を知らないのと、直観的に何をやっているかさえわかっていないのでは大違いだと思う。
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posted at 12:05:53
@genkuroki #数楽 テイラーの定理についても、一定の加速度aから移動距離をat^2/2+bt+cと計算するときのtの2次の項が1/2倍される理由と、テイラー展開の2次の項が1/2倍される理由が同じであることに気付きやすい方向で説明しないと、正しい教養に成り難いと思う。
タグ： 数楽
posted at 12:11:31
.@genkuroki 高木貞治が概論を書く時に参考にしたと思われるグルサの解析教程でも初版(1902)には「ロピタルの定理」とは書いておらず、二版(1910)から出てきてます。微積の教科書でロピタルの定理はこのグルサ2版が初出らしいですし、不要と思うのも自然でしょう。
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posted at 12:58:01
すぐ公害病を引き合いに出す人のほうが、公害病の教訓を生かしていないように見えるよ。現実（疫学）を見ずに屁理屈を捏ね回してありもしない害を喧伝しているんだから
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posted at 13:02:23
津田敏秀さんは水俣病でのやり方(そちらは正しかった)をそのまま低線量被曝や甲状腺癌に持ち込もうとして失敗した。理由は、被曝についてはわりとよく分かってるから。わからないことがたくさんあるとはいえ、わりとよく分かってる
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posted at 13:06:44
そうそう、彼らのやっていることこそ、水俣病の原因は「日本軍の投棄した爆弾」だとか「腐った魚介類の毒」だとか主張して世を混乱させた当時の“御用学者”達と同じ。 ＞ 鼻血の件でも、ばかみたいな「ぼくのかんがえたさいきょうのひばくめかにずむ」を提唱する人
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posted at 13:37:12
[サンデー毎日での丸山ワクチンの記事について d.hatena.ne.jp/NATROM/2016052... ]。週刊誌の医学関連記事を読むと、他の分野の記事も信用しちゃいけないのであろうなあと思う。
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posted at 14:16:58
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隙あらば手を洗うなかさん(R.I.P.) @kanakasansakura
@tebasakitoriri 聡明な息子さんに脱帽☆
割り算を理解するためには意味は大事！本当にその通り。中学生に割り算の意味を教えて初めて割合の意味が分かったという子にどれだけ出会ったことか。
掛け算の式にはその意味はなくて、便宜的に借用していることの是非なら分かるのですが…
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posted at 19:42:03
須賀原洋行『うああな人々』『ゴキちゃん』 @tebasakitoriri
.@tebasakitoriri 最初からわしが間違えてた(＾ω＾；)
「割り算」じゃなく「掛け算」の書き間違えです。
掛け算を理解するために意味は大事、と申しております。
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posted at 20:18:57
須賀原洋行『うああな人々』『ゴキちゃん』 @tebasakitoriri
@nakatsuse 「掛け算」の書き間違えでした(＾ω＾；)。私も息子と意見は同じで、小学生に教える際に、意味は大事だと思います。
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posted at 20:20:51
luckdragon2009(rt多) @rt_luckdragon
これ、掛け算順序の話と別に、数学の掛け算概念「具象物(飴とか人とか)から、数字や式だけの抽象化にして考える」という視点を持ててない、という問題もありますよね。 RT @Mihoko_Nojiri 掛け算が可換なことに気がつかないようなやつに抽象的な作業とかできんって
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posted at 20:21:16
ほんとに理系もクソもないってw RT @rt_luckdragon: これ、掛け算順序の話と別に、数学の掛け算概念「具象物(飴とか人とか)から、数字や式だけの抽象化にして考える」という視点を持ててない、という問題もありますよね。
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posted at 20:22:10
須賀原洋行『うああな人々』『ゴキちゃん』 @tebasakitoriri
そう言えば、前にも「掛け算順序問題」をやってるのを目にしたのを思い出しました。小学校で算数を教える場のことを考えてみると、私は意味を一緒に教えることは間違っていないと考えます。 twitter.com/ski_and_cyclin...
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posted at 20:24:12
須賀原洋行『うああな人々』『ゴキちゃん』 @tebasakitoriri
@ken_ttf 掛け算の意味自体がわからない子も教育現場にはけっこういると思うのですよ。そういう子は機械的に掛け算を教えても、もしかしたら理解に至らないのではないかと。あと、息子はそう教えられたからではなく、自分で考えて言っております。
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posted at 20:28:08
須賀原洋行『うああな人々』『ゴキちゃん』 @tebasakitoriri
（ベネッセの掛け算の話への言及RTを削除して書き直し）
>RT)うちのアユムに意見を聞いてみた。「お母さんが正しいんじゃね？掛け算を理解するために意味は大事」
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posted at 20:31:00
須賀原洋行『うああな人々』『ゴキちゃん』 @tebasakitoriri
ちなみにさらに聞いてみたが、息子は数学の話としては「8×7」でも「7×8」でもどっちでも良い事はわかっている。で、その上で「物理だと意味が大事になるかも」とも言っている。
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posted at 20:35:33
@tebasakitoriri ふむ、そうなのですか。お手数ですが、「7個✕8人と8人✕7個はどのように意味が違うのか」について、息子さんにお聞きいただいてよろしいでしょうか。
なお私はこの問題に関心を持つ単なる個人です。質問は個人的な興味ですので、ご回答いただけなくとも文字数
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posted at 20:35:41
山本弘 『BIS ビブリオバトル部』 @hirorin0015
@hirorin0015 それにしても今回、愕然となったのは、「ホロコースト」でググってみると、上位に来るページの大半がホロコースト否定論だったこと。ええーっ!? いつの間にこんなひどいことになってたんだ!?
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posted at 20:41:56
須賀原洋行『うああな人々』『ゴキちゃん』 @tebasakitoriri
問題の、８人の子がいて飴を配る現場の状況を考えると、「8人✕7個」だとおかしい、と申しております。８人をなぜ７倍するのか、意味が理解できない、と。人を７倍したら５６人にならないか？、と。問題が聞いているのは飴の「個」数では？、と twitter.com/ken_ttf/status...
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posted at 20:42:49
山本弘 『BIS ビブリオバトル部』 @hirorin0015
@hirorin0015 つまりホロコーストについて学ぼうとした人がネットで調べようとしたら、かなり高い確率でホロコースト否定論に触れてしまうわけ。これは怖い！ このままだとどんどん否定論者増えていくんじゃないのか？
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posted at 20:43:43
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posted at xx:xx:xx
@tebasakitoriri ご返答ありがとうございます。「かけられる数とかける数」のような、自分の小学校時代の授業内容を思い出しました。
かけ算の概念を理解するには有用な面もあるとは思いました。しかしながら逆に、既に理解できている人には不要なルールでしかないとも思いますね…。
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posted at 21:03:33
須賀原洋行『うああな人々』『ゴキちゃん』 @tebasakitoriri
@ken_ttf うちの息子は数学フリークでもあるので、数式が現実の意味とかを超えた抽象化であることは十分理解しています。私は最初ベネッセの件で「どっちでも同じ」と息子が言うと思ってたので、教育現場の次元で考えたのは意外でした。でも、両方の視点を持てるというのは大事かもしれません
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posted at 21:13:45
@tebasakitoriri @ken_ttf 本当に出来る子は更にその上で数学がイメージになる。でも、それは数が少なすぎるので才能が必要な部分でそれを求めて小学校からやるのはやり過ぎな気もする
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posted at 21:19:45
@tebasakitoriri 横失です。8人を先に数えるか7個を先に数えるかの話になるのでしょうか？（8人に7個・7個を8人に）
つまりアユちんの理屈では７個を８人だと「個」が優先的な数となり56個となる？
こんな考えでよろしいでしょうか？
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posted at 21:21:43
@tebasakitoriri 確かに「教育として」という観点は視野を広げるものと感じました。もちろんそれ自体に対しても思うところは多々ありますが、ひとまず今回、私からは以上とさせていただきます。ありがとうございました。
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posted at 21:22:21
須賀原洋行『うああな人々』『ゴキちゃん』 @tebasakitoriri
.@nagoyoko 息子も夕飯の時「8×7」が成り立つ場合を考え、「皿の上に１個ずつ全員に配る作業を7回やると考えれば、その式でもいいかな」と言ってました。ただ、教室で教える先生はちゃんとそういう話をすべきだ、とも。
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posted at 21:22:29
須賀原洋行『うああな人々』『ゴキちゃん』 @tebasakitoriri
@landscape_iwa 問題文が「あめはなん個いるでしょう」なので、個を出すための式として教えた方が意味が理解しやすい、ということのようです。
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posted at 21:27:57
@tebasakitoriri なるほど、そうなるとアユちんの理屈は解ります。しかし、そうなると「人」「個」を使用した算数教育は危険に感じますね。「４分の１」を４個のうちの１個と勘違いしている人がいることも事実ですので何か考えるべきかもしれません。
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posted at 21:31:34
須賀原洋行『うああな人々』『ゴキちゃん』 @tebasakitoriri
@kmai53 多分「ゆとり教育」が始まって、教室の誰一人掛け算で躓く者を出さないぞ方式になり掛け算の意味の授業になったのでしょう。本当に数学の素質があればそういう授業からでも高度な数学に楽々移行できますが、中間層は抽象化で躓くかも。前者の躓きと後者の躓きどっちを優先して防ぐか…
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posted at 21:37:49
須賀原洋行『うああな人々』『ゴキちゃん』 @tebasakitoriri
@landscape_iwa 今さっき、かみさんさんへのリプで書きましたが、最初に掛け算で躓く子と、中学あたりで抽象化される数式で躓く生徒、どっちを優先して防ぐか、といった教育現場の問題もあったりするかもしれませんね。
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posted at 21:40:55
須賀原洋行『うああな人々』『ゴキちゃん』 @tebasakitoriri
@bow_wow_meow_00 それを、そもそも掛け算がどうしても理解できない小学２年生にどうやって教えればいいかという問題が残ると思います。
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posted at 22:24:39
またもや横失ですが。そもそも掛け算を教える上でただの一方便にすぎない掛け算の順序をさも大切な真理のように扱うのに違和感を感じるのです。5×6が正解なら、6×5だって正解にして良い、というのが私の考えです。@tebasakitoriri @landscape_iwa
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posted at 22:41:43
@tebasakitoriri @nagoyoko 掛け算とは〇個を〇回足すことですから、７個を８人に配るのと、８人に７回配ることは意味が違います。が、乗法は順序を入れ替えても結果は同じになることの説明がこれですね。先生はそれぞれきちんと教えるべきでしょうね。
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posted at 22:48:36
@spdv9qa9 @tebasakitoriri @nagoyoko #掛算 私はKENさんと同じ疑いを持っています。 twitter.com/ken_ttf/status...
「7個を含む集まりが8個ある場面」と「7個を含む集まりが8個あるときの全部の数」の区別をできない人が混乱する。
タグ： 掛算
posted at 23:03:26
@spdv9qa9 @tebasakitoriri @nagoyoko #掛算 私が調べたことの30%くらいは genkuroki.web.fc2.com/sansu/ およびそのリンク先に書いてあります。「7×8」のような情報が落ちまくっている表記で場面を表現するのは国語的には無理ゲー。
タグ： 掛算
posted at 23:11:57
#掛算 大日本図書中学数学教師用指導書、文字式。教わったとおりにしない生徒、自分で考えた解き方で解く生徒は矯正する。 pic.twitter.com/p2f0ynQw61
タグ： 掛算
posted at 23:27:39
@genkuroki @nagoyoko @spdv9qa9 @tebasakitoriri #掛算 続き。小3の段階で掛算の順序に関するローカルルールに子供達が従わない傾向が強いことについてはかなりはっきりした証拠があります。子供達も大人と同様にしたがわないのだから、〜続く
タグ： 掛算
posted at 23:30:57
@genkuroki @nagoyoko @spdv9qa9 @tebasakitoriri #掛算 続き〜、教える側は子供達の感覚(常識的な大人に近い)に合わせて教え方を組み立てるべき。とある調査によれば、小3で実質的に掛算の式の順序を問う問題の正答率は3割程度でしかない。
タグ： 掛算
posted at 23:33:51
@genkuroki @nagoyoko @spdv9qa9 @tebasakitoriri #掛算 ←このタグのどこかで出て来たデータによれば、子供達は、算数教育ワールドのローカルルールにしたがわずに、自分が都合がよいと思った順序で掛算の式を書くようです。これが現実。
タグ： 掛算
posted at 23:36:19
@genkuroki @nagoyoko @spdv9qa9 @tebasakitoriri #掛算 小3の平均的子供達が算数教育ワールド的掛算順序を無視して式を書く傾向が強いことについては twitter.com/genkuroki/stat... 以降の連ツイにソースが書いてあります。
タグ： 掛算
posted at 23:43:22
@genkuroki @nagoyoko @spdv9qa9 @tebasakitoriri #掛算 別の調査結果に基いた「子供達がどのようにしてどの掛算の式の順序を採用するか」に関して考えた件については twitter.com/genkuroki/stat... を見てください。
タグ： 掛算
posted at 23:48:54
Re:RT マインクラフトは面白いゲームなのでかなりおすすめ。可能ならば家庭内サーバーをたてて家族で遊んだ方が盛り上がるのですが、サーバーを立てても繋げるところまで行くのは結構大変だと思う。私はHamachiを使うという手抜きをした。もっと良い方法があるなら知りたい。
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posted at 23:56:59
@genkuroki マインクラフトがどういうゲームかについては、YouTubeに膨大な量のプレイ動画があるのでそれを見ればわかると思います。
パソコン版を遊ぶにはある程度以上のパワーがあるパソコンでないとダメ。古いパソコンだと多分遊べない。
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posted at 23:59:27
