黒木玄 Gen Kuroki(@genkuroki)/2019年04月

黒木玄 Gen Kuroki

@genkuroki

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2019年04月01日(月)

RussianGoFederation @GoFederationRu

19年4月1日

From the Russian painting contest for kids pic.twitter.com/orLHDjupwm

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posted at 00:33:23

ごまふあざらし(GomahuAzaras @MathSorcerer

19年4月1日

あふん・・・。

github.com/jheinen/GR.jl/...

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posted at 00:34:51

Hiromitsu Takagi @HiromitsuTakagi

19年4月1日

pic.twitter.com/FapZghuCS7

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posted at 00:43:27

YOSHINO Taro @tytyty

19年4月1日

元号と西暦の変換について産経新聞編集局長・乾正人氏
『元号は西暦換算が難しい、といわれてきたが、人工知能（ＡＩ）の発達で、新元号になっても簡単にできる。』産経新聞スゴイ
www.sankei.com/column/news/18...

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posted at 02:01:35

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽以下のリンク先の計算はそのまま多重Hurwitzゼータ

ζ(s, x; a_1,…,a_r) = Σ (x+a_1 k_1+…+a_r k_r)^{-s}

の移動平均

∫_0^1 ζ(s, x+a_i t; a_1,…,a_r) dt

の場合にそのまま一般化可能。上で k_i 達は0以上の整数全体を走る。以下も同様。続く

twitter.com/genkuroki/stat...

タグ：数楽

posted at 02:01:41

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽積分表示：

ζ(s, x; a_1,…,a_r)
=(1/Γ(s))∫_0^∞ Π (1/(1-e^{-β a_i})) e^{-βx} β^{s-1} dβ

iは1,…,rを走る。

∫_0^1 e^{-β(x+a_i t)} dt = e^{-βx}(1-e^{-βa_i})/(βa_i)

より、移動平均で分子分母の1-e^{-βa_i}がキャンセルし、

1/Γ(s)=1/((s-1)…(s-l)Γ(s-l))

も使うと、～続く

タグ：数楽

posted at 02:01:43

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽続き～、

∫_0^1 dt_1…∫_0^1 dt_l ζ(s, x+a_1 t_1+…+a_l t_l; a_1,…,a_r)
=1/(a_1…a_l(s-1)…(s-l)) ζ(s-l, x; a_{l+1},…,a_r)

が得られる。積分表示を使えば自明な計算。l重の移動平均でrがl個減り、sがlだけ減る。

これのr=l=1, a_1=1の場合が

∫_0^1 ζ(s,x+t) dt = -x^{1-s}/(1-s).

タグ：数楽

posted at 02:01:44

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽すなわちB_s(x)=-sζ(1-s,x)とおくと

∫_0^1 B_s(x+t) dt = x^s.

1つ前のツイートの多重Hurwitzゼータの移動平均の公式は、べき乗和を求めるために役に立つこの公式の大幅な一般化になっている。

しかし、その本質は

∫_0^1 e^{-βt} dt = (e^{-β}-1)/(-β)

という高3レベルの易しい計算。

タグ：数楽

posted at 02:08:18

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽 x=x_1+…+x_rとおくと、積分表示の被積分函数のa_1…a_r倍は

Π (-β a_i e^{-β x_i}/(e^{-β a_i}-1)) β^{s-r-1}.

そして

-β a_i e^{-β x_i}/(e^{-β a_i}-1)
= e^{-β x_i} /((1/a_i)∫_0^{a_i} e^{-β x_i} dx_i)

は[0,a_i]上の一様分布のカノニカル分布の密度函数。

twitter.com/genkuroki/stat...

タグ：数楽

posted at 02:20:56

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽要するに、[0,a]上の確率密度函数を

p(x|a,β) = e^{-βx}/Z(a,β),
Z(a,β) = (1/a)∫_0^a e^{-βx} dx = (1-e^{-βa})/(βa)

と定めると、多重Hurwitzゼータは本質的に

L(β) = p(x_1|a_1, β)…p(x_r|a_r, β)

のMellin変換になっているということ。

L(β)の類は統計学では尤度函数として頻出。

タグ：数楽

posted at 02:49:24

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽こんな感じで、r重Hurwitzゼータの多重化は、「サンプルサイズr」の場合を考えている感じになります。

多重ゼータまで載っている大学新入生向けの微積分の教科書があるかどうか知りませんが、「こういうのをやっておくと役に立つ教養が身に付きそうだよね」的な題材でもあると思う。

タグ：数楽

posted at 03:07:03

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽多重化されていないHurwitzゼータの話に戻る。Hurwitzゼータは、Fourier級数の易しい例を「sに関する特殊値(微係数も含む)」として含んでいる。

Fourier級数の重要な例として

Σ cos(nx)/n^r

や

Σ sin(nx)/n^r

が扱われることがあります。これらは本質的にpolylogと呼ばれるものなのですが～

タグ：数楽

posted at 03:12:06

非公開

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posted at xx:xx:xx

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽 0<x<1におけるHurwitzゼータζ(s,x)のsが0以下の整数の場合の特殊値と偏微分係数(どちらもxの函数になる)として、

Σ cos(2πnx)/n^r, Σ sin(2πnx)/n^r

が出て来ます。そういう公式を出すには、HurwitzゼータにPoissonの和公式を適用して、polylogが出て来る函数等式を作ればよい。

タグ：数楽

posted at 03:26:09

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽というわけで、

Σ cos(2πnx)/n^r, Σ sin(2πnx)/n^r

の形のFourier級数をHurwitzゼータは特殊値として含んでいます。

数論におけるHurwitzゼータはやはり極めて良質の教育的な例になっていると思います。 pic.twitter.com/dMFEVJwcRX

タグ：数楽

posted at 03:26:17

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽ガンマ函数も本質的にHurwitzゼータの特殊値:

log Γ(x) = ζ_s(0, x) + log√(2π).

Hurwitzゼータの積分表示を使った平易な計算で

ζ_s(0,x+1) = x log x - x + (1/2)log x + φ(x),

φ(x) = ∫_0^∞ (1/(e^β-1) - 1/β + 1/2) e^{-βx} β^{-1} dβ.

これより階乗の対数の精密な評価が得られる。

タグ：数楽

posted at 03:35:49

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽 Hurwitzゼータのs=1-r=(0以下の整数)での特殊値は0<x<1でベルヌイ多項式B_r(x)の-1/r倍に一致し、偏微分係数はガンマ函数の一般化になっている(Milnor)。ガンマ函数からsinを作ることの一般化も可能。B_r(x)とsinの一般化の0<x<1での値は先に述べたpolylog型のきれいなFourier級数表示を持つ。

タグ：数楽

posted at 03:42:50

味覚クリティカル @1806_04679

19年4月1日

@genkuroki 偏微分係数からガンマ関数を一般化したMilnorの論文ってどこで読めますか？？

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posted at 03:43:47

非公開

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posted at xx:xx:xx

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

@691_7758337633 twitter.com/genkuroki/stat...

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posted at 03:58:49

味覚クリティカル @1806_04679

19年4月1日

@genkuroki これはすごい！ありがとうございます！

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posted at 04:03:12

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽 Poissonの和公式を適用する対象としてHurwitzゼータを選ぶと函数等式の反対側にpolylog Li_s(z) が出て来て、1つの函数族で函数等式が閉じません。

Lerchの超越函数

L(τ,x,s) = Σ_{k=0}^∞ e^{2πikτ}/(x+k)^s

なら、函数等式がこれだけで閉じる。

twitter.com/genkuroki/stat...

タグ：数楽

posted at 04:08:33

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽せっかくPoissonの和公式を適用するなら、Lerchの超越函数に適用することがおすすめ。τとxの立場が交換される。

タグ：数楽

posted at 04:08:34

Julia News @julialang_news

19年4月1日

Think Julia: How to Think Like a Computer Scientist benlauwens.github.io/ThinkJulia.jl/... #reddit

タグ： reddit

posted at 06:34:15

Yuki Nagai @cometscome_phys

19年4月1日

修正ベッセル関数に関して「よってこのコードを「倍精度」で用いることはできない。」ってある

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posted at 07:20:04

山本弘　『BIS ビブリオバトル部』 @hirorin0015

19年4月1日

「人のあまりよろしくない行動を最低限上品に描こうと心がけました」　漫画家・竹宮惠子さんが画業50年を振り返る（好書好日） - Yahoo!ニュース headlines.yahoo.co.jp/article?a=2019... @YahooNewsTopics

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posted at 08:35:08

Ninja DAO | CryptoNi @CryptoNlnjaNFT

19年4月1日

まじ元号どうでも良い。というより廃止して欲しい。

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posted at 09:16:06

Haruhiko Okumura @h_okumura

19年4月1日

エイプリルフール記事かと思ったら2018-01-01だった twitter.com/tytyty/status/...

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posted at 09:31:35

あおじるPPPP @kale_aojiru

19年4月1日

「くふうして計算しなさい」の文言だけで特定の解き方に縛れると思ってる小中数学、頭がおかしいとしか思えない。筆算だって先人の工夫の賜物やろ

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posted at 10:36:03

あおじるPPPP @kale_aojiru

19年4月1日

中3の教科書にすら出てくる pic.twitter.com/ThXD49HIQW

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posted at 10:49:32

あんちもん2 @antimon2

19年4月1日

JuliaTokai #02 を公開しました！令和最初のJulia勉強会（たぶん）です！ juliatokai.connpass.com/event/126348/?... #JuliaTokai

タグ： JuliaTokai

posted at 11:42:53

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽易しい話に戻る。

∫_0^1 B_n(x+t) dt = x^n

を満たすn次の多項式B_n(x)をベルヌイ多項式と呼びます。

多項式f(x)を多項式F(x)=∫_0^1 f(x+t) dtに移す写像は多項式函数全体のなすベクトル空間の自己線形同型。さらにd/dxや差分作用素f(x)↦f(x+h)と可換。続く

twitter.com/genkuroki/stat...

タグ：数楽

posted at 12:57:33

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽多項式f(x)を多項式F(x)=∫_0^1 f(x+t) dtに移す写像がd/dxやf(x)↦f(x+h)と可換な線形同型になっていることを使えば、x^nが満たす関係式から、ベルヌイ多項式B_n(x)が満たす関係式が自明に得られます。

dx^n/dx = nx^{n-1}

から

dB_n(x)/dx = nB_{n-1}(x)

が得られ、～続く

タグ：数楽

posted at 12:57:37

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽続き～、二項定理

(x+h)^n = Σ_k binom(n,k) x^{n-k} h^k

から

B_n(x+h) = Σ_k binom(n,k) B_{n-k}(x)h^k

が得られます。

ベルヌイ多項式B_n(x)達はx^n達と同じ公式を沢山満たしています。

タグ：数楽

posted at 12:57:37

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽さらに、tを1-tで置き換えると

∫_0^1 B_n(1-(x+t)) dt
= ∫_0^1 B_n(1-(x+1-t)) dt
= ∫_0^1 B_n(-x+t)) dt
= (-x)^n
= ∫_0^1 (-1)^n B_n(x+t) dt

なので

B_n(1-x) = (-1)^n B_n(x).

ベルヌイ多項式の x↦1-x に関する対称性の由来は移動平均を与える積分の t↦1-t に関する不変性。

タグ：数楽

posted at 12:57:38

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽ベルヌイ多項式の詳細な性質を示すには母函数表示

z e^{zx}/(e^z - 1) = Σ_n B_n(x) z^n/n!

を使うと楽だし、z=-βとおくと、左辺の母函数は[0,1]上の一様分布のカノニカル分布(統計力学の話)になっているので、物理的な意味もある。しかし、多項式の空間の同型写像を使うのも趣きがある。

タグ：数楽

posted at 12:57:38

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

@kyow_Q @kzcurl #数楽その話も面白いです。易しい公式

Σ_{a=0}^n a(a-1)…(a-r+1)
= (n+1)n(n-1)…(n-r+1)

に

Σ_{a=0}^n a^r

の計算を帰着させるためには a^r を a(a-1)…(a-r+1) の一次結合で表す公式が必要になり、自然に第2種スターリング数の定義を発見することになります。

twitter.com/kzcurl/status/...

タグ：数楽

posted at 13:45:59

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

@kyow_Q @kzcurl #数楽べき乗和ネタの解説を

genkuroki.github.io/documents/High...

の第3節に書いておきました。 #Julia言語の環境を整えればノートブック

nbviewer.jupyter.org/github/genkuro...

内の数式処理や数値計算を自分で実行していじれます。

nbviewer.jupyter.org/github/genkuro...

タグ： Julia言語数楽

posted at 13:50:29

ティファニー @kyow_Q

19年4月1日

@genkuroki @kzcurl 丁寧にありがとうございます！！Juliaの勉強の参考にもさせてもらいます！

タグ：

posted at 14:14:49

URA @kzcurl

19年4月1日

@genkuroki @kyow_Q 有難うございます！

タグ：

posted at 15:04:41

あ〜る菊池誠(反緊縮)公式 @kikumaco

19年4月1日

なんか言いたい人がいるらしいので、おしどりマコのめちゃくちゃ酷いツイートを貼っておきます。こういうことを言う人を議員にしていいかという話ですよ
#おしどりマコ擁立問題 pic.twitter.com/gilGAZewlU

タグ：おしどりマコ擁立問題

posted at 18:03:24

あんちもん2 @antimon2

19年4月1日

JuliaTokai #02 に参加を申し込みました！型システムか多重ディスパッチの話したいと思っています！（イベントページだけ公開して参加申込してなかった） juliatokai.connpass.com/event/126348/?... #JuliaTokai

タグ： JuliaTokai

posted at 18:22:24

おかゆ @okayu00knife211

19年4月1日

@kikumaco ほんと酷いなぁ…。

タグ：

posted at 18:34:25

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽 Milnor型の多重sin(の対数)をHurwitzゼータの導函数の特殊値で書けることと、そのシンプルなFourier級数展開の数値的確認を #Julia言語でやってみました。

nbviewer.jupyter.org/github/genkuro...
Hurwitzのゼータ函数の0以下の整数での特殊値と微係数

添付画像はFourier級数との一致を示すグラフ。 pic.twitter.com/NA61TCpajg

タグ： Julia言語数楽

posted at 18:47:41

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽

 #Julia言語のSpecialFunctionsパッケージにはHurwitzゼータを計算してくれる函数がすでにあるのでそれをそのまま流用。

ベルヌイ多項式はPython sympyのそれを流用。

特殊函数の数値計算は自分で実装すると勉強になり、数学の理解のためには一回以上は自分で実装した方が良いです。

タグ： Julia言語数楽

posted at 18:51:50

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽訂正：添付画像中の log S^M_r(x) の定義式の右辺の ζ は正しくはそのsに関する偏導函数の ζ_s が正しいです。これから、スクショを取る前の元の方を訂正しておきます。

twitter.com/genkuroki/stat...

タグ：数楽

posted at 18:54:23

ごまふあざらし(GomahuAzaras @MathSorcerer

19年4月1日

ラズパイの上で #Julia言語のDockerのコンテナを走らせてJuliaを動かしている様子。berrycondaも付属させて PyCall 経由で pythonも呼び出せることができる。 pic.twitter.com/ahuppruste

タグ： Julia言語

posted at 18:58:13

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽 #Julia言語

直した。

nbviewer.jupyter.org/github/genkuro...

添付画像は

Σ cos(nx)/n^r
Σ sin(nx)/n^r

型のフーリエ級数とフルヴィッツのゼータ函数の関係。 pic.twitter.com/IIsbtVYT9q

タグ： Julia言語数楽

posted at 19:06:19

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽 1つ前の添付画像のFourier級数展開の公式は、主要部分はシンプルでわかりやすいのですが、係数や符号はめちゃくちゃ間違えそうな形！

数値計算で確認すると安心する。

∂ζ(s,x)/∂s は素朴に小さな数 h に関する

(ζ(s+h,x) - ζ(s-h))/(2h)

で計算しています。In [10]を参照。

タグ：数楽

posted at 19:12:13

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posted at xx:xx:xx

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Otepipi @Otepipipi

19年4月1日

はてなブログに投稿しました
微分方程式を行列で差分化して解く　その３ - システムとモデリング otepipi.hatenablog.com/entry/2019/04/... #はてなブログ, #Julia言語, #Julialang

タグ： Julialang Julia言語はてなブログ

posted at 21:17:48

新帯秀樹 Hideki Shintai @hs_heddy

19年4月1日

AWS EC2 に Julia 開発環境を構築し MXNet.jl でGPU処理したい blog.regonn.tokyo/kaggle/2017/12...

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posted at 21:30:34

気になる宇宙 @Kininaruutyu

19年4月1日

【英知】宇宙望遠鏡がどれほど遠くまで観測しているかを理解できる映像

最後に現れる銀河はNASA・ESAのハッブル宇宙望遠鏡が2億光年先に発見した渦巻銀河"ESO 137-001"。2億光年彼方の銀河を鮮明に撮影できる、人類の科学技術の凄まじさを是非体感して頂きたい。 pic.twitter.com/5mORUmZnyW

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posted at 21:46:08

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

19年4月1日

#数楽 Milnor型対数多重正弦函数の0<x<1での値のFourier級数表示の証明を追加。

「Milnor型対数正弦函数」と言うと権威的に響くのですが、実際にやっていることは

1/x^s + 1/(x+1)^s + 1/(x+2)^s + …

の解析接続のs=(0以下の整数)での値と微係数を調べているだけ。

nbviewer.jupyter.org/github/genkuro... pic.twitter.com/9J0vM9qIct

タグ：数楽

posted at 22:00:35