黒木玄 Gen Kuroki
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2014年02月24日(月)
続き【ネタ】複素数α,βで|αの虚部|≦|β|を満たすものに対して、0でない複素数zと実数λでαz+β(zの複素共役)=λzを満たすものが存在することを示せ。
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posted at 00:20:52
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すでに√2とかやっているなら、複素数を導入する手間は i=√-1 でおしまい。xy平面も知っているなら、複素数とxy平面の点は同じものと思ってよいで複素平面の導入おしまい。三角函数(加法公式、極座標)も使えるなら、複素数の積と極座標の関係は簡単な練習問題。続く
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posted at 13:47:08
@genkuroki 複素数や複素平面を教えることが楽なのは、複素数の計算の仕方(
Iの2乗=-1)がすでに√2などを含む計算で生徒がすでに知っていると期待できることだけではなく、三角函数の加法公式など既知の結果を書き直すだけの部分が大きいから。
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posted at 13:51:15
@genkuroki 実平面の取り扱いに限れば、複素数は非常に面白い強力な道具。しかし、複素平面を使った問題の再定式化の結果は独特で平面以外の場合に直観を拡張するためには不向きな形になる。複素平面への習熟は、数学的な本質をわかりやすく表現したとは言えない定式化を容易にする。
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posted at 13:57:33
@genkuroki 個人的な意見では、複素平面を使った独特のやり方に習熟する余裕があるなら、平面の一次変換の概念を(x,y)→(ax+by,cx+dy) および対応する2×2行列で勉強しておいて、「あちこちで同じことになっている部分が多い」と理解した方がよいと思う。
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posted at 14:03:36
@genkuroki
ax+by=x'の形の式と
cx+dy=y'の形の式が
連立して出て来るのを何度も見たことがある人は多いと思う。a,b,c,dの部分だけを取り出して、
[a b]
[c d]
と書いて2×2行列と呼びます。m×nの一般の場合も同様です。もう高校では教えない。
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posted at 14:10:26
@genkuroki
ax+by+cz=x'
dx+ey+f z=y'
のばあいにa,b,..の部分を
[a b c]
[d e f ]
の形で取り出せば2×3行列が得られます。さらに
[x]
[y]
[z]
という3×1行列も考えて、3次元縦ベクトルと呼んだりします。
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posted at 14:20:37
@genkuroki 実際には縦ベクトルではなく列ベクトルと書いてある教科書が大部分なのですが、日本語圏数学ユーザーのあいだで縦ベクトルと言っても責められることはないでしょう。ちなみに横に数を並べた横ベクトル(1×n行列)は行ベクトルと呼ぶようです。
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posted at 14:26:24
実は行列どうしの積に関するルールを設定すれば、
ax+by=x'
cx+dy=y'
を
[a b][x]＝[x']
[c d][y] [y']
と表わせます。そして逆にこれとこの一般化が自然に成り立つような行列の積を自然に定義してやるといつもの行列の定義になります。
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posted at 15:08:35
適切な行列の掛算の定義を決めるためには
ax+by=x'
cx+dy=y'
と
[a b][x]＝[x']
[c d][y] [y']
を比較して、それらが同じ意味になるようにすればよいだけのことです。 pic.twitter.com/Fc2YnQmpWS
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posted at 15:26:14
ax+by
cx+dy
の形の式がまとめて出て来たり、
ax+by+cz
dx+ey+fz
gx+hy+kz
の形の式がまとめて出て来たりすることが珍しくないことを知っていれば、行列とその積演算は最初から役に立つことが確定している形に定義されているわけです。
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posted at 15:29:28
大学一年生向けの線形代数の講義では、適切に誤魔化して教えるために、「線形代数の世界はうまくできていて、２や3の場合に成立している良い直観はそのまま一般のnでも成立している」とよく言います。2～3次元の目で見える場合の直観がn次元でも使えると信じてもらいたいわけです。
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posted at 15:33:11
大学新入して一ヶ月後くらいに「n次元」とか言い出す時点ですでに世間一般の感覚では「あっちの世界」の住人です。しかし実用的には次元が極めて場合を扱うことはまれではない（たとえば統計データでまとめて扱う数の個数が2とか3はありえない。最低でも数十個の数をまとめて扱う。）
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posted at 15:34:59
所謂文系であってもそれは単に社会的にもしくはつまらない大人の都合みたいなもので文系に分類されているだけで、実際には何かしようと思ったら数学の助けが必要なことは少なくありません。数十個以上の数をまとめて扱うことになればほぼ確実に（間接的かもしれないが）行列とかのお世話になる。
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posted at 15:38:48
で、Googleの検索によれば、「遊び」感覚で3DCGを扱ってみることを決心した人は4×4行列による3次元ユークリッド空間の合同変換の表現を学ぶ必要があるらしい。ぼくにしては珍しくテクニカルワードをあっさり使って読者をおいてけぼりにしているが、わかってしまえば大したことではない。
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posted at 15:41:44
3次元空間内の物体を数学的に扱うためには、その物体の回転や平行移動をどのように数学的に表現するかを知っておかなければいけない。行列はそういう話とものすごく相性がよい。
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posted at 15:45:07
そうそう、誰かやってくれないかなあ、と思っていることがあります。それは無限に平面に無限に広い海岸線が放物線の「大陸」があって、そこに都市も含めた風景が広がっているとします。その風景を眺めた様子を描いたCGを見たい。放物線の丸いところから無限遠の地平線までの様子を描いて欲しい。
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posted at 15:47:42
問題を再単純化すると「放物線を無限遠の地平線まで写生するとどのような絵が描かれるか？」という問題になるのですが、放物線の内側の無限に広い領域に都市も含めた風景が広がっている様子を見たい。特に地平線の近くの様子が大変なことになるので見たい。
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posted at 15:49:43
3DCGを扱うために4×4行列と4次元縦ベクトルの使い方を勉強した人は4次元縦ベクトルを
[x]
[y]
[z]
[1]
の形で常に最後の成分(もしかしたら最初の成分の場合もあるかも)を1に固定したものを扱っていることを不思議に思っているかもしれません。その感覚は素晴らしいです。
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posted at 15:56:49
実は、最後の成分が0でない数Wのベクトル
[X]
[Y]
[Z]
[W]
の成分をすべてWで割って得られる
[x]
[y]
[x]
[1]
(ここでx=X/W, y=Y/W, z=Z/W)を扱っていると考えることもできます。W=0の場合の4次元ベクトルは実は無限遠点に対応。
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posted at 15:59:38
日常生活内で3次元空間での無限遠点のお世話になることはほとんどないのですが、2次元平面の無限遠点についてはみんな子供のときから知っています。地平線や水平線は(近似的に)無限遠にあると考えられます。我々の世界には存在しない無限遠の様子が線に見えているのが地平線や水平線です。
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posted at 16:02:09
先の「平面に描かれた放物線を写生したときにどのように絵が描かれるか。特に地平線のそばでの放物線の様子はどのように描かれるか」はまさに地平線という無限遠の近くでの放物線の数学的性質がどうなっているかを問う問題になっています。これは3次元ベクトルと3×3の行列の話にもなる。
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posted at 16:03:51
無限遠にある地平線を画用紙上の有限の位置に描く操作までも何か線形な操作で表そうとすると2×2行列ではたらず、3×3行列が必要になります。そこまで理論を拡張しておいて、平面内で閉じた操作がどうなっているかを見ると、3次元ベクトルの最後の成分を1に固定した話が自然に出て来るわけです。
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posted at 16:09:29
続き。同様に、3次元空間の物体を4次元の世界から見て3次元の画用紙に写生する人がいれば、3次元の話を扱っているのに4次元のベクトルと4×4行列が自然に出て来ることになるわけです。3DCGと行列について検索すると出て来る最後の成分が1に固定された4次元ベクトルはこれの特別な場合。
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posted at 16:12:02
続き。まあ4次元空間とか言われた途端に心が神秘的な世界に言ってしまう人もしるかもしれませんが、そういう感覚だと以上の話は理解できない。2次元や3次元で目で見える場合の話を直観的かつ論理的に理解しておけばそれがそのまま直観も含めて4次元以上まで拡張される感じ。
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posted at 16:14:56
算数の段階も含めて数学的なことは「すでに与えられた定義を覚えることから出発する」という方針だと滅茶苦茶苦しくなります。最初の出発点の定義自体を自分で自然に作り出すセンスがないと何もかも余計でつまらないことを全部覚えなければいけなくなる。
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posted at 16:17:06
ある人は正確な定義を聞く前から直観的に「正しい定義」がどうなるべきかを知っていて、別のある人は教科書に書いてある約束事をすべて忠実に認めて覚えなければいけないと信じている。頭の使い方の効率が大差。同じスペックの頭の良さがあっても数学を理解できるのは前者の人だけになってしまう。
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posted at 16:19:48
@sekibunnteisuu √2は実数であるせいで、√-1よりも難しいところがあるかもしれません。整数全体の集合をZと書くとき、Z[√2]=Z+Z√2は実数全体の中で稠密。Z[√-1]=Z+Z√-1は複素平面の正方格子。後者の方がわかりやすいかも。
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posted at 16:30:55
無駄に専門用語を増やして本当は単純な話をあたかも難解で深淵であるかのように見せかける。そのために、クリアな説明をしなうように注意し、言葉の意味が曖昧であることを徹底的に利用する。相対主義は最も基本的な道具。ぼくがず～っと批判してきている主な対象はこのように要約できると思う。
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posted at 16:45:14
あと、正確な定義を聞く前から直観的に「正しい定義」がどうなるべきかにうすうす気づいている人は、もしも正確に定義を教えてらえたらな「どういうことをやるとおいしいか」についても当然わかっているはずなんですね。
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posted at 16:50:03
たとえば中学校で平方完成 ax^2+2bx=a(x+b/a)^2-b^2/aについて習っていて、よい話であることを知っていれば、正則な対称行列Aとベクトルb,xと内積(,)について (x,Ax)+2(b,x)の平方完成もすぐにできるはず。そこから最小二乗法もすぐに出る。
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posted at 16:59:49
中学校数学での平方完成は、グラフの形がお椀型の2次函数がどこで最小値になるかを調べるための手段としてよく使われており、その高次元化も数学ユーザーのあいだでは当然のごとく普通に使われている。最小二乗法も結局のところ中学校数学の平方完成の話と同じ話。
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posted at 17:03:40
行列の定義は「数を長方形型に並べたもの」に過ぎないのですが、まるで算数で加減乗除を習ったときのごとく、行列でも加減乗除(除は逆行列)について習います。数を長方形型に並べたものを算数における数のごとく扱う技術を学ぶことになる。こういうことができるのはとてもおいしい話なんですね。
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posted at 17:08:24
数および数が代入されるxやyのような変数を扱う数学は中学校の段階までにかなりやっている。二次函数の平方完成までやってしまっている。そういう蓄積をすでに持っている人が、行列を習ってしまうと、数や数が代入される変数xたちの数学がどこまで行列の世界に拡張されるかを確かめたくなるはず。
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posted at 17:10:50
行列だと掛算の順序を勝手に交換してはいけなかったり、行列で割る操作ができるだめの条件(逆行列の存在条件)が複雑だったりと色々苦労する点は多いのですが、数や数を代入できる変数でやれていたことの多くが行列の世界にも拡張できる。そうできた部分は「中学校数学と同じ」と理解できるわけです。
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posted at 17:13:06
たとえば、実用的によく使う最小二乗法の類は中学校で習う平方完成の話の（一般化の）特殊な場合に過ぎないので、行列を知ってしまった人には「中学校数学と同じ」ですませられるわけです。複雑なところを全部行列の中に押し込められる。
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posted at 17:16:06
注意：最小二乗法についての解説の多くは偏微分を使っています。それは中学校レベルのax^2+2bxをxで微分して2ax+2b=0を考えることの一般化になっています。微分を使うと高校レベルになる。しかし平方完成ですませれば中学校レベルですむ
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posted at 17:21:59
か、数が大変な事に、、 @kamo_hiroyasu: @genkuroki POV-Ray で、平面の上にビルに見立てた直方体を適当な密度で配置すればできそうです。
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posted at 17:46:51
@tsatie @genkuroki POV-RAY の繰返し構文を使うなり、POV-RAY を吐くプログラムを書くなりすれば、たいした手間ではありません。
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posted at 17:55:21
インタビュー：雇用足踏みなら消費税10％に反対＝浜田内閣官房参与 | ビジネスニュース | Reuters jp.reuters.com/article/busine...
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posted at 19:01:13
Shintaro Hayashi @Tonchi_Hotahota
この記事
bit.ly/1hooytC
にある栗原市の指定廃棄物最終処分場候補地の情報です。ここは荒砥沢地すべりと同じく栗駒山南麓カルデラ内。このカルデラが，第四紀火山である事を記載した論文がこちら。
bit.ly/1o0734O
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posted at 19:21:45
Shintaro Hayashi @Tonchi_Hotahota
@Tonchi_Hotahota このカルデラの年代（約60万年前）論文はこちらでした。大場ほか（2009）の「岩手宮城内陸地震土砂災害地域の層序」で，「岩手・宮城内陸地震被害調査研究（岩手・宮城内陸地震による土砂災害についての研究）」という報告書に掲載されています。
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posted at 19:57:55
いや、人間の手間は楽チンだと思います。 @kamo_hiroyasu: @tsatie @genkuroki POV-RAY の繰返し構文を使うなり、POV-RAY を吐くプログラムを書くなりすれば、たいした手間ではありません。
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posted at 20:26:34
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＃掛算 C言語などのいわゆるALGOL系の言語では演算子の優先順位はガチガチに決まってる（１６段も）けどわしゃいちいち全部は覚えてない。そんな覚えるコストかけなくても（）パレンで優先順位を明示すればすむこと。
www.bohyoh.com/CandCPP/C/oper...
タグ： 掛算
posted at 21:11:22
ですね。それなら大丈夫だな。期待してます。 @kamo_hiroyasu: @tsatie @genkuroki 長時間ぶん回せるコンピュータを用意できればなんとかなります。
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posted at 21:14:43
@tsatie @genkuroki youtu.be/Jrn66_hs4dg とか、無駄に光源を100個ぐらい散らしたためにやたら時間がかかりましたが、それでも2週間ちょっとでした。
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posted at 21:38:48
habari2011dunia @habari2011dunia
@genkuroki 初めまして. いつも興味深く拝読しております. Three.jsでこんなものを作ってみたのですが如何でしょう? habari2011dunia.github.io/parabolahorizo... @tsatie @kamo_hiroyasu pic.twitter.com/Iu2aq2b0of
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posted at 21:46:44
@genkuroki 大陸ではないのですが「放物線を蹴倒す」という動画を3年前の公開講座用に作成したものがあります。URL限定公開で置いておりました。36秒ほどの動画です。よろしければどうぞご覧下さい。 www.youtube.com/watch?v=zp_lOR...
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posted at 22:19:15
