黒木玄 Gen Kuroki(@genkuroki)/2017年03月12日

黒木玄 Gen Kuroki

@genkuroki

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2017年03月12日(日)

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月12日

#数楽続き。Fのxy平面でのグラフとy=xはx=0,1/2,1で交わります。不動点が3個ある。y=x=1/2は縦方向線分[0,1]との交点であり、線分からそれ自身への連続函数の中間値の定理と似たようなことがそこで起こっています。

この例を見るといかにも位相幾何学的な話に〜続く

タグ：数楽

posted at 00:02:12

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月12日

#数楽続き〜感じられるのですが、n次元球体Dでの角谷の不動点定理の集合函数F:D→2^Dには、そのグラフΓはD×Dの閉集合でかつ各値は空でない凸集合になるという条件がつけられています。凸という非位相幾何学的な条件が出て来る。続く

タグ：数楽

posted at 00:08:55

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月12日

#数楽続き。そのようなFのグラフΓ⊂D×Dと対角部分集合Δ={(x,x)|x∈D}⊂D×Dが共通点を持つというのが、角谷の不動点定理の主張です。Fの値が凸集合になるという条件を除けば位相幾何学的な話に見える。

そこで同じような位相幾何学的定理について考えましょう。続く

タグ：数楽

posted at 00:12:08

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月12日

#数楽続き。集合値函数は扱い難いのでそのグラフΓ⊂D×Dの方で考えましょう。ここでDはn次元球体です。p:Γ→Dとq:Γ→Dをp(x,y)=x、q(x,y)=yと定めておきます。数学を知っていればここまでは当然紙にすらすらと書かれるべきことであると感じることでしょう。続く

タグ：数楽

posted at 00:17:45

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月12日

#数楽続き。簡単のためn≧2とし、n次元球体Dの表面(n-1次元球面)を∂Dと書き、∂DのグラフΓへの射影p:Γ→Dによる引き戻しp^{-1}(∂D)を∂Γと書くことにしましょう。そして、ブラウアーの不動点定理のよくある易しい証明法をそのまま使えるように次を仮定します。続く

タグ：数楽

posted at 00:24:26

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月12日

#数楽続き
(1)(p|_{∂Γ})_*:H_{n-1}(∂Γ)→H_{n-1}(∂D)は0写像ではない。(例えばそれが同型写像ならば0写像にならない。)
(2)H_{n-1}(Γ)≅0 (例えばp_*:H_{n-1}(Γ)→H_{n-1}(D)が同型写像ならそうなる。)
続く

タグ：数楽

posted at 00:31:51

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月12日

#数楽以上の仮定のもとで、あるγ∈Γが存在してp(γ)=q(γ)となることを示せます。すなわちΓ∩Δ≠∅となります。証明は教科書によくあるプラウアーの不動点定理の証明法と同様です。証明に続く。

タグ：数楽

posted at 00:35:26

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月12日

#数楽証明：結論を否定して矛盾を導けばよい。すべてのγ∈Γについてp(γ)≠q(γ)が成立すると仮定する。q(γ)からp(γ)に向けての半直線と∂Dの交点をφ(γ)と定めることによって連続写像φ:Γ→∂Dでその∂Γへの制限がpの∂Γへの制限に一致するものが得られる。続く

タグ：数楽

posted at 00:40:26

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月12日

#数楽続き。包含写像i:∂Γ→Γについて、φ⚪︎i=p_{∂Γ}:∂Γ→∂D。(1)より(φ⚪︎i)_*=(p_{∂Γ})_*:H_{n-1}(∂Γ)→H_{n-1}(∂D)は0ではない。しかし、(2)より0になるH_{n-1}(Γ)を経由するφ_*⚪︎i_*は0になる。続く

タグ：数楽

posted at 00:49:15

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月12日

#数楽続き。これはホモロジーの函手性に反するので、矛盾が導かれた。q.e.d.

Γが連続写像f:D→Dのグラフならば射影p:Γ→Dは同相写像なので上の主張の仮定は自明に成立しています。だから上の結果はブラウアーの不動点定理の一般化になっています。

タグ：数楽

posted at 01:00:05

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月12日

#数楽数学科の授業でホモロジー論について教えることはとても楽しい仕事になります。以上では図を一つも示しませんでしたが、図を描きながら考えることはとても大事。

タグ：数楽

posted at 01:02:38

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月12日

#数楽あと以上で紹介したホモロジー論の教科書によく書いてあるブラウアーの不動点定理の証明法はホモロジーの函手性がどれだけ強力であるかを鮮やかに示しています。

一般によい函手が得られると数学的に非自明な定理が極めて容易に得られます。よい函手を作るには非自明なアイデアが必要。

タグ：数楽

posted at 01:06:12

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月12日

#数楽角谷の不動点定理の設定でリンク先の仮定が成立していることを示せれば、角谷の不動点定理の純位相幾何的な証明が得られたことになります。射影p:Γ→DがΓとDおよび∂Γと∂Dのホモロジー群の同型を誘導することを示せば十分。続く
twitter.com/genkuroki/stat...

タグ：数楽

posted at 07:13:01

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月12日

#数楽続き。角谷の不動点定理の設定ではΓはコンパクトでp:Γ→Dは全射でpのファイバーはすべて可縮になる。ゆえにVietoris–Begleの定理より、pはホモロジー群の同型を誘導する。
en.m.wikipedia.org/wiki/Vietoris–Begle_mapping_theorem

タグ：数楽

posted at 07:20:50

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月12日

#数楽続き。これで角谷の不動点定理の証明もできました。角谷の不動点定理の設定で、ΓがD×Dの閉集合であることからΓがコンパクトであることが出て、pのファイバーが空でない凸集合であることから、pが全射でかつpのファイバーが可縮であることが出ます。めでたし、めでたし。

タグ：数楽

posted at 07:24:22

鰹節猫吉 @sunchanuiguru

17年3月12日

@temmusu_n @genkuroki その中心つき六角数というのがnの3乗になるというのは、「立方体を斜めから見ると六角形に見える。」ということですね。 #数楽

タグ：数楽

posted at 07:43:15

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月12日

#数楽というわけで、n次元閉球体Dについて、閉グラフΓ⊂D×Dを持つF(x)≠∅を満たす集合値函数F:D→2^Dに関する角谷の不動点定理では、「すべてのF(x)が凸集合」という条件を「すべてのF(x)は可縮」に弱められるということのようです。

タグ：数楽

posted at 08:11:47

天むす名古屋 Temmus @temmusu_n

17年3月12日

#数楽 @sunchanuiguru なるほど！n^3になることのこんな自明な説明があったとは。中心つき六角数1を1×1×1の立方体だと思って、それをCHex_2でくるむと一辺2の立方体ができる！n^4-(n-1)^4が四次元立方体の皮ともみなせることになりますね。 pic.twitter.com/W0HCZWE3So

タグ：数楽

posted at 16:51:15

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月12日

今日はひっさびさにCDの内容をパソコンに取り込む作業をしていた。ExactAudioCopyを使ってwav+cueで取り込んで、cueファイルをxrecode IIに食わせてエンコードした。同等の作業を「普通の人でもやる気になれる方法」でやる方法があると助かる。

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posted at 17:58:11

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

17年3月12日

他にも「Minecraftの家庭内サーバーを立ててみんなで遊ぶ」というのを最も楽に実現する方法を教えてくれる人がいると助かる。うちでは5人を超えて遊ぶことは無さそうなのでLogMeIn Hamachiを使って実現している。

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posted at 18:00:29