黒木玄 Gen Kuroki(@genkuroki)/2018年07月/Page 18

#数楽ただし、

Li_r(x) = Σ_{n=1}^∞ z^n/n^r

の右辺の収束半径は1で、z=e^{2πix}は|z|=1でぎりぎりの場所になっていることには注意。

|z|=1でも、z≠1なら上のべき級数が0<r≦1で条件収束することを示せます。

ポリログが大変だと感じる人はr=1の場合を扱うだけでも十分。

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posted at 01:00:49

#数楽 r=1のときは

Li_1(z) = Σ_{n=1}^∞ z^n/n = -log(1-z).

普通の対数の話になる。ただし、zは複素数まで拡張されている。複素数まで拡張された対数は

z = |z|e^{i arg(z)} = e^w = e^{Re w} e^{i Im w}

の逆函数の

w = log z = log|z| + i arg(z)

になります。arg(z)の多価性に注意。

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posted at 01:00:57

#数楽

F(x) := Σ_{n=1}^∞ sin(2πnx)/(πn)
= (1/(2πi))Σ_{n=1}^∞ (z^n-z^{-n})/n
= (-log(1-z) - (-log(1-z^{-1}))/(2πi)

を計算したい。ここで z=e^{2πix}かつ

-log(1-z) = Σ_{n=1}^∞ z^n/n.

答：F(x)はノコギリ波になる：

F(x) = 1/2 - (x-[x])

ここで[x]はx以下の最大の整数。

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posted at 01:00:58

#数楽ただしその定義だと、F(x) = 1/2 - (x-[x]) は整数でない実数xについてしか成立しない。xが整数のときは例外的に[x]=x-1/2と定義しておけば全ての実数xで成立する。

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posted at 01:00:59

#数楽実際に F(x) = 1/2 -(x-[x]) となることは、

log z = log|z| + i arg(z)

となることを使えば容易に示せます。|z|=1、z≠1のとき、|1-z|=|1-z^{-1}| かつ arg(1-z)=-arg(1-z^{-1})なので

F(x) = arg(1-z^{-1})/π = (π-arg(z))/(2π)=1/2-x.

ただし0<arg(z)=2πx<2πのとき。

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posted at 01:01:00

#数楽 F(x)は周期1を持つので、F(x)=1/2-(x-[x]).

これで示したいことが、複素函数としての対数函数を使ってかなり初等的に示せました。

ノコギリ波のFourier級数がノコギリ波に確かに収束していることの確認は、複素領域まで視界を広げればFourier級数の一般論を仮定せずに素朴な直接計算で可能。

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posted at 01:01:01

#数楽同じ方法で、矩形波の場合もやってみると面白いと思います。

r=2,3,…の場合のポリログを使う場合には、収束先は本質的に周期化されたベルヌイ多項式になるのですが、ポリログの初等的な性質のみで示せるかどうかは(まだ)知らない。

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posted at 01:01:01

#数楽あと、

Σ_{n=1}^∞ z^n/n

は|z|<1で絶対収束しており、

Σ_{n=1}^∞ z^{-n}/n

は|z|>0で絶対収束しており、「住んでいる領域」が違っていて、それらの|z|=1での差の2πi分の1が

F(x) = Σ_{n=1}^∞ sin(2πnx}/(πn)

だったわけです。これは|z|=1上の佐藤超函数の例にもなっています。

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posted at 01:01:02

#数楽 Fourier級数の方を微分すると

F’(x) = 2Σ_{n=1}^∞ cos(2πnx)

となるのですが、F(x)がノコギリ波であることより、

F’(x) = Σ_{m∈Z} δ(x-m) - 1

であることもわかり、

1 + 2Σ_{n=1}^∞ cos(2πnx) = Σ_{m∈Z} δ(x-m)

という有名な公式も得られます。

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posted at 01:01:03

#数楽 2Σ_{n=1}^∞ cos(2πnx) はどういう意味であるかも、複素領域まで視界を広げて、

|z|<1 での Σ_{n=1}^∞ z^n と
|z|>1 での -Σ_{n=1}^∞ z^{-n} の
|z|=1 における差

と定義されている(すなわち佐藤超函数として定義されている)と思えば簡単。

テスト函数で「観測」した結果を見なくてよい。

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posted at 01:01:03

#数楽文献をたどりやすくするために、「ポリログ」やら「佐藤超函数」のような専門用語を使っていますが、ポリログはオイラーさんの時代にすでにあったと思ってよいと思うし、超函数を含む函数を複素領域まで視界を広げてとらえる計算は佐藤超函数以前から普通にありました。

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posted at 01:01:04

#数楽基本の組み合わせだけで全部理解できることが大事。

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posted at 01:01:05

#数楽 Σ_{n=1}^∞ sin(2πnx)/(πn) のようなシンプルな例の魅力は、「ノコギリ波のフーリエ級数」「ギブス現象を直接計算で確認できる」「本質的にポリログ」「ポリログを佐藤超函数的に使っている」などなどたくさんの事柄を学べることです。楽しいです。

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posted at 01:13:27

#数楽 Σ_{n=1}^∞ sin(2πnx)/(πn) がノコギリ波のフーリエ級数であることをすでに知っていれば(複素領域まで視界を広げれば容易に示せる)、「ポアソンの和公式も示せる」ということにもなっています。

解説を

genkuroki.github.io/documents/Calc...

nbviewer.jupyter.org/github/genkuro...

の第2.6節に書いておきました。

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posted at 01:13:29

koji hasegawa @myfavoritescene

まあそうなるよな

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posted at 01:13:40

koji hasegawa @myfavoritescene

ついでに大学もAOの評価ポイントなんかに課外活動とか地域貢献とか入れないことだな

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posted at 01:14:51

#数楽ノコギリ波のフーリエ級数でのギブス現象(フーリエ級数の部分和の不連続点周辺でのオーバーシュート)を直接の簡単な(高校レベルの)計算で確認する話は

genkuroki.github.io/documents/Calc...

nbviewer.jupyter.org/github/genkuro...

の4.9節に解説を書いておきました。

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posted at 01:18:17

#数楽高木貞治『解析概論』にある

∫_0^{π/2} log(sin x) dx

の例とダイログの関係については

genkuroki.github.io/documents/Calc...

nbviewer.jupyter.org/github/genkuro...

の2.5節に解説を書いておきました。副産物として

Σ_{n=1}^∞ 1/n^2 = π^2/6

も得られます。

twitter.com/genkuroki/stat...

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posted at 01:42:17

三輪記子 @bi_miwa

Robert Geller; ロバート・ @rjgeller

2016年8月13日のスポニチコラムです。学校の部活で熱中症から脳梗塞を発症した事例を紹介しています。
大阪地裁判決では、熱中症発症の指針となるＷＢＧＴを計測できる温度計を設置していなかったことを学校側の落ち度と認めました。
(よろしければご一読を！) pic.twitter.com/MQbGF1QGFt

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posted at 07:31:11

フェースブック社はあえて極右サイトのフェークニュースと
ヘートスピーチを削除しない。収入確保を優先しているから、と。 www.theverge.com/2018/7/17/1758...

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posted at 07:57:34

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Akinori Ito @akinori_ito

大学の教養科目の歴史学で科挙と貴族階級の形成の話を聞いた。一見平等に見える能力選抜と経済的な流動性のなさが合体すると数世代で社会階層が固定されるという話。

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posted at 08:09:00

Akinori Ito @akinori_ito

金のある家は子供を科挙の予備校に通わせるのでそういう家の子ばかりが官僚になる、という話を聞いて当時はピンと来なかったのだが、いままさに同じことが日本で起きている

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posted at 08:10:25

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シータ @Perfect_Insider

田中一馬但馬牛農家の精肉店・田中畜産 @tanakakazuma

こういう形でオウムを持ち出して「役に立たない人文系」擁護論を張るのであれば、90年代前半にオウム礼賛の論評を書いた学者・知識人の多くが宗教学、哲学、思想という「役に立たない人文系」であることに触れないのはフェアでないかと。
twitter.com/YSD0118/status...

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posted at 12:15:02

霜降りのため身動きさせず、穀物でメタボにさせながらビタミンも与えず失明させる。こんなイメージは未だにある。霜降りは遺伝子。放牧で青草だけ食べても但馬牛はこんなふうにサシが入る。和牛がWAGYUと呼ばれ世界中で飼われるのはこの遺伝子が唯一無二だから。#一般人の方が時々誤解しておられること pic.twitter.com/cq3QOT479c

タグ：一般人の方が時々誤解しておられること

posted at 12:21:57

気温が40℃を超えた #多治見市では『寒暖の差での体調不良の防止など』を理由に『小中学校に全く #エアコンがない』そうです。正気なんですかねこのひとたち。 pic.twitter.com/hulPKVcjrT

タグ：エアコン多治見市

posted at 16:34:07

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kamanii @kamanii24

もう効かなくなったので別の能面にしました。 pic.twitter.com/Q11akpzibO

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posted at 18:50:43

積分定数 @sekibunnteisuu

@golgo_sardine @exleinekota #掛算　更に言うと、時間的な前後関係がある「増加」と異なり、最初からどちらも存在している「合併」は、彼らの中でも「どちらの順序でも良い。順序があるのは『増加』のみ」というものですが、

一部、「合併の場合は出てきた順」という、おかしな算数教育の流儀にすら反するおかしな教師がいます。

タグ：掛算

posted at 19:14:20

積分定数 @sekibunnteisuu

山本崇一朗.高木19ﾂﾊﾞｷ8将棋14 @udon0531

@golgo_sardine @exleinekota #掛算　とは言え、「文章に出てきた順の方が自然」というのは分からなくもない（同意しないが、そう勘違いする教師が希に出る）のですが、

これは、事実だとしたらそれをも凌駕するケースですね。
twitter.com/exleinekota/st...

算数教育の流儀が恣意的でわかりにくいので教師も混乱しているのでしょう

タグ：掛算

posted at 19:16:50

将棋のやつ　その８ pic.twitter.com/zMZhbkWUEL

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posted at 20:17:46

多分同じ委員だろうけど『エアコンとかの過剰投資に歯止めをかけねばらない』とか言ってて完全に歯止めが必要なのはお前だ状態になってる。 #多治見市 #熱中症から子どもを守ろう pic.twitter.com/FDF7wLvUf9

タグ：多治見市熱中症から子どもを守ろう

posted at 20:29:34

日本企業と契約を結んだときに「社印が必要です」と契約書を戻されたが、社印がないので代わりに古いミュータント・クロニクルズ（1993年のRPGのようです）の「皇帝により承認された」というスタンプを押して送ったらなにも言われなかったとのこと。

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posted at 20:35:17

さて、この中の誰かなー？ pic.twitter.com/9wNZ1sj6MJ

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posted at 20:47:07

あ〜る菊池誠(反緊縮)公式 @kikumaco

名簿はこんな感じかー。 pic.twitter.com/QAmM5UNTav

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posted at 20:52:57

小学校にエアコンを設置することに反対する狂った人たちが一定率でいることはわかりました。なんとなく高齢者層に多そうな気がしますが、まあそれは憶測です。ネオリベの一種ですかね。よくわからん。いずれにしても、そういう考えは単に狂っているので、要するに狂っています

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posted at 20:54:39

TaKu @takusansu

#超算数 #掛算言葉の式で、
「一つ分の大きさ×幾つ分＝全体の大きさ」は成り立つし、
「幾つ分×一つ分の大きさ＝全体の大きさ」も成り立ちます。
言葉の式を自分で考え出すのは数学的活動だと思うのですが、順序指導では何故か禁じられているようです。(続

タグ：掛算超算数

posted at 20:55:06

TaKu @takusansu

続) #超算数 #掛算「幾つ分×一つ分の大きさ＝全体の大きさ」は誤りと明記している資料を見た事がありませんが、どのような扱いなのか気になります。
　教えてないから使用不可
　この式を考えるのは捻くれているから強制が必要
　そもそも、この式は誤り
等の意見がありそうです。

タグ：掛算超算数

posted at 20:55:06

wikiwiki.jp/stellaris/
starlit.daynight.jp/hoi4data/?Fron...
なんだかパラドゲーをご存知ない方にもRTされていっているようなので宣伝しますが、このツイートは「Stellaris」や「Hearts of Iron 4」といったPC用ストラテジーゲームを作っているParadox Interactive社の現CEOのツイートに関するものです。

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posted at 21:20:35

池田米造 @0811yone

閉園間際床にベッタリ寝るルイちゃん
#ニッポンツキノワグマ #東山動物園 pic.twitter.com/p67ztEhl0o

タグ：ニッポンツキノワグマ東山動物園

posted at 21:21:01

store.steampowered.com/app/394360/Hea...
store.steampowered.com/app/281990/Ste...
「Stellaris」「Hearts of Iron 4」はともに100万本以上売れた人気タイトルで、前者は宇宙を舞台にしたSFストラテジー、後者は第二次大戦を舞台にしたストラテジーとなっています。ご存知なかった方は初心者向け動画なども多数ありますのでぜひ！

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posted at 21:24:24

www.youtube.com/watch?v=Ru4TKI...
Stellarisであればこちらの動画はいかがでしょうか。バージョンアップの早いゲームなので少し古いバージョンでのゲームですが、非常に易しく解説されており、面白い動画と思います。

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posted at 21:27:49

www.4gamer.net/games/245/G024...
「Hearts of Iron 4」はHearts of Ironシリーズ4作目ですが、過去作をプレイしたことがなくても問題ありません。こちらの記事でどういうゲームか丁寧に解説されていますのでぜひどうぞ！（こちらもバージョンアップが早いゲームですのでだいぶ今はだいぶ変わっていますが）

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posted at 21:36:09

wikiwiki.jp/stellaris/%E6%...
starlit.daynight.jp/hoi4data/?MOD%...
なお、「Stellaris」「Hearts of Iron 4」はともにMod（ゲームを改造するファイル）で日本語化が可能です。導入も簡単で、Steam Workshopから「サブスクライブ」するだけ！　英語はちょっと……という心配はいりません。

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posted at 21:41:34

store.steampowered.com/app/203770/Cru...
store.steampowered.com/app/236850/Eur...
Paradox Interactive社はWW2よりも前の時代のゲームも作っています。「Europa Unversalis 4」は1444年から産業革命手前までの時代を扱ったストラテジー、「Crusader Kings 2」は中世ヨーロッパ（のちにインドやチベットまで拡張）を扱っています。

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posted at 21:44:53

store.steampowered.com/app/42960/Vict...
もう開発は終わってしまいましたが、「Victoria 2」という産業革命から第二次大戦手前までを扱ったストラテジーゲームもあります。こちらは詳細な人口（Popと呼ばれます）と経済の動きを取り上げているところがポイントとなっています。

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posted at 21:47:57

store.steampowered.com/app/255710/Cit...
「Paradox Interactive社……聞いたことないな」という方も、都市開発ゲーの近年の傑作「Cities: Skylines」の名前は聞いたことがあるのではないでしょうか。スパイク・チュンソフトのローカライズでPS4日本語版も発売されましたが、パラド社は本作のパブリッシャーです。

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posted at 21:53:28

twitter.com/simulationian/...
「Crusader Kings II」、CK2は中世ヨーロッパの領主になれるゲームです。中世ヨーロッパ風ネット小説が好きなみなさんにもおすすめ！「妻が実は不倫していて跡取り息子は実は自分の子ではなかった……」「浮気したら私生児が生まれてしまった」なんてこともあります。

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posted at 22:03:50

twitter.com/simulationian/...
「Europa Unversalis IV」、EU4は産業革命以前の全世界の国家でプレイできるストラテジーゲームです。海外のゲームですが、日本の室町～戦国時代の群雄割拠も非常にしっかり再現されており、天下統一の後には「太陽の沈まぬ帝国」を作り上げることも可能。

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posted at 22:09:20

TaKu @takusansu