黒木玄 Gen Kuroki
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- 自己紹介 私については https://twilog.org/genkuroki と https://genkuroki.github.io と https://github.com/genkuroki と https://github.com/genkuroki/public を見て下さい。
2018年07月19日(木)
f(t)の導関数＝1+t^2+t^4+t^6+・・・＝1/(1-t^2)
f(e^ix）の微分は、ie^ix/(1-e^2ix)＝-1/sinx この計算が間違いありそうな気がするが、いずれにしても虚部は0
だから、｜sinx｜＜1の範囲において、sinx+sin3x/3+sin5x/5+sin7x/7+・・・は定数。
よって、0＜x＜πで定数、π＜x＜2πで定数
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posted at 00:07:52
x＝π/2とすると、1-1/3+1/5-1/7+・・・となる。
arctanのテイラー展開からこれはπ/4となる。
よって、sinx+sin3x/3+sin5x/5+sin7x/7+・・・は、
xがπの整数倍のときは0
2nπ＜x＜(2n+1)πのときはπ/4
(2n-1)π＜x＜2nπのときはπ/4 n：整数
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posted at 00:15:46
@genkuroki 試行錯誤して、sinx+sin3x/3+sin5x/5+sin7x/7+・・・がxがπの整数倍の所以外では平らになることを示したのですが、計算間違いしているような気もします。
twitter.com/sekibunnteisuu...
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posted at 00:21:16
@sekibunnteisuu 最後の行が誤植なら(誤植を訂正によって)正しいです。
微分してx=nπ 以外で0になることを示せば簡単か！どこかでパクらせてもらうかも。
xが実数でz=e^{ix}のとき、1+z^2+z^4+… は条件収束さえしないのですが、Im x>0 とすれば絶対収束。一時的に複素領域に逃げると楽。
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posted at 01:14:28
Nature is Amazing ☘️ @AMAZlNGNATURE
Omg cutest thing ever! Sending help right now.. pic.twitter.com/Af1HFPyI0A
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posted at 01:58:35
OokuboTact 大久保中二病中年 @OokuboTact
毎月連載していた仲正昌樹氏の誹謗中傷日記がやっと掲載された。先月は珍しく休載（前回は５月２２日）。
自分の名前が出てくるのを楽しみしていたけど、無し。
山川ブラザーズでまとめられてしまったみたいだ。
今回は内容が薄いなあ、多忙なんだろうけど
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posted at 02:13:25
某教育者「エアコンを安易につけると、子どもたちは暑熱に弱い体質になり、どこででもエアコンを欲しがるようになります」
この教育者のプロフィールにあった一言。
「放射能が心配な地域に野菜無料供給」
心配すべきところを心配せず、心配しなくていいところを心配する。こういう人物は大変迷惑。
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posted at 02:35:56
OokuboTact 大久保中二病中年 @OokuboTact
仲正昌樹氏のブーメラン芸風が相変わらず
「俺を批判する＜俺より暇な奴＞はニートに違いない！ 根拠は俺の直感」
#現代思想 pic.twitter.com/RAejE1MKlC
タグ： 現代思想
posted at 03:05:30
OokuboTact 大久保中二病中年 @OokuboTact
#現代思想
続き
仲正氏の誹謗中傷日記を読んでいる人からすれば、「お前が言うな」としか思えない。
しかし現代思想なテーマで仲正氏の悪口を言うと、「山川ブラザーズ」と一括りにされてしまう。
「SNS匿名ブラザーズ」ではダメなのかなあ？ pic.twitter.com/eqY5FfzWdW
タグ： 現代思想
posted at 03:13:06
OokuboTact 大久保中二病中年 @OokuboTact
「反ポモ・ブラザーズ」でもいいんだけど
何度もツイートで指摘しているんだけど、
仲正昌樹氏はSNSの匿名批判に対する倫理的な批判をしているはずなのに、なぜか実名で仲正氏を批判している人への反論に、重点がズレて行く傾向が強い
#現代思想
タグ： 現代思想
posted at 03:17:17
OokuboTact 大久保中二病中年 @OokuboTact
#現代思想
東浩紀氏と仲正昌樹氏は、比較すると興味深い。
分厚く丁寧な思想解説書をたくさん出しているところは、仲正にあって、東浩紀にはない。
でも批判に対する返信で、支離滅裂なのは共通している。
仲正氏はブーメランな返信で、
東氏はメタな開き直り。
タグ： 現代思想
posted at 03:21:20
@genkuroki 有り難うございます。最後は、-π/4 でした。
虚部、実部にしなくて最初からsinθ＝[e^{ix}-e^{ix}]/2iとして処理しても同じ事ですね。
＞Im x>0 とすれば絶対収束。
x＝πだと駄目ですよね？ x≠π×整数でしょうか？
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posted at 07:06:45
内田良：新刊『だれが校則を決めるのか』 @RyoUchida_RIRIS
所沢市長（元中学校教員）のエアコン設置に対する考え（2018年）
●夏休みを除く「２０数日間くらい何とでもなる」
●健康面から「夏は汗をかくもの」
●エアコン設置で温暖化進む（緑化を優先）
●財源は有限
エアコンの是非を検討する際の貴重な意見です。
▼市長あいさつwww.city.tokorozawa.saitama.jp/mayor/message/... pic.twitter.com/MuqNV4fvyF
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posted at 07:52:39
子どもの教育に国が金を出さないのは、財務省が「財政危機デマ」を流して支出を渋ってるからです。財政危機なんてものはないので、国債でもなんでも発行して金を出せばいいのですよ。諸悪の根源は財務省
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posted at 08:36:05
もうさ、小学校に「学問的に正しいことを教えて。嘘を教えるな」なんて要望はとんでもない高望みで、「とにかく生きて返してくれ」って“お願い”しないとダメなの？って絶望感でいっぱいだ。
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posted at 08:56:45
お客様から「部屋のエアコンが効かないんです！！犬を飼ってる部屋なんです！！」って電話が来た。
事務員さんは「犬がかわいいんだねえ」みたいな冷ややかな反応だったが、ツイッターを通じて「犬は風では体温下げられない」と知っていたので割り込み最優先で取替工事した。
twitter.com/hiromu_morimur...
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posted at 09:07:25
“予防できるがん”としての子宮頸がんを考える／村中璃子
wezz-y.com/archives/56096 @wezzy_com
『HPVは子宮頸がんだけでなく、肛門がん、咽頭がん、陰茎がんなど、男性がんのの原因でもある。女子にうつさないために男児にもHPVワクチンを打つ国も。費用対効果で考えると女子しかしない国が大半』
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posted at 09:25:33
@sekibunnteisuu Im x > 0 とすると、xは実軸を離れるので、xはπの整数倍にはならないです。実軸にあるπの整数倍に戻るときに発散。
2i sin((2k-1)x) = e^{i(2k-1)x} - e^{-i(2k-1)x}
の e^{i(2k-1)x} ではxを Im x>0 にずらし、e^{-i(2k-1)x} ではxを Im x<0 ずらせばk=1,2,3,…に関する和が収束。
続く
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posted at 10:19:41
@sekibunnteisuu xをずらす方向が項によって違っていたり、xを虚数にずらして和を取ってからxを実軸に戻すという「相当に怪しげなこと」をやっているのですが、逆に全部こういうスタイルで「函数の一般化」(超函数)の理論を作ってしまった結果がいわゆる「佐藤超函数」(hyperfunction)です。
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posted at 10:23:17
@sekibunnteisuu 試行錯誤で計算をするときには「怪しげなこと」も積極的にするべきなのですが、背景に「大理論」が控えていることが多いです。
数学での「大理論」への褒め言葉は「深い」なので、「大理論」は奈落の底に住んでいる感じなのだと思います。奈落の底に落ちた人は別の誰かが落ちて来るのを待っている。
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posted at 10:27:38
@sekibunnteisuu 夏に「素裸で汗をかきながら計算」している人は奈落の底に落ちかけている。
添付画像は『佐藤幹夫の数学』(日本評論社)より。佐藤幹夫さんの1980年の談話。こういう本が全国の市町村の図書館にあると良いと思います。
私は直接講義を聴いたことがあるのですが、本当に添付画像通りのしゃべり方。 pic.twitter.com/Z0Xpz2Fwvv
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posted at 10:43:25
古いツイが回ってきたが
2013年3月「数学者は校費を定理を変える機械である」と誤字る余裕があった
2015年8月「校費を定理に変える機械」とつぶやくひとがいた
2016年11月「数学者は公費を定理に変える機械」とbotが流した
・・・
2018年 定理に変える校費・公費がなくなってきてtwも消えた
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posted at 10:51:58
非公開
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posted at xx:xx:xx
電子ジャーナルの購入とか、いろんな大学で研究大学としてのインフラを維持できる体制が整えられなくなってきているのは確かだと思う。数学単独ではお金が取りにくいので、全学での包括契約などがなくなると数学の購読雑誌もどんどん減る。校費がなければコーヒーを飲もう。
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posted at 10:55:06
普通の保護者は子供がかわいいから、左派は子供の人権のために、右派は美しい日本のために、経済右派は「子供への教育は効率的な投資であるから」という理由で、教育への投資を政府が借金で賄うことにみんな賛成するべき。
twitter.com/kikumaco/statu...
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posted at 11:13:21
仮に教育への投資でみんな有能になると、同質同量の仕事をより少ない人数でできるようになる。雇用の椅子取りゲームで被害を受ける人を減らすための需要サイドの政策と合わせてみんなで豊かになって行きましょう。
厳しくしばき上げる政策は無くす方針で。
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posted at 11:17:55
#掛算 「意味が違うこと」と「順序が違うこと」の違いを明瞭に認識できていないとおかしなことを言って恥をかくので注意した方がよいです。
一番初歩的な大前提。
「3×2なら3本耳のウサギになっちゃうよ」と「3本耳のウサギと2本耳のウサギは違う」では話が全然違う。
twitter.com/takehikom/stat...
タグ： 掛算
posted at 12:13:08
#掛算 #超算数
和大の村川猛彦さんには是非とも算数教科書の教師用指導書の徹底したレビューをして頂きたいです。そこを避けるようだと「村川さんも所詮はその程度の男か」と私は思います。村川さんのことは色々信用しているので期待しております。
証拠物件へのリンク↓
twitter.com/genkuroki/stat...
posted at 12:13:12
#掛算 #超算数 かけ算順序問題のWikipedia ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%8B... にリンク切れになっていた伊藤宏先生の「論文」へのリンクを貼り直してくれたのも村川さん(T.m.930)のようです。みんな感謝しましょう。私も感謝しています。
ja.wikipedia.org/w/index.php?ti...
posted at 12:23:20
@genkuroki @sekibunnteisuu 項別微分定理より |z|<1 のとき f(z)=(1/2)log (1+z)/(1-z)
f(z) は単位円盤から±1を除いたところで連続なので
|z|=1, z≠±1 でも f(z)=(1/2)log (1+z)/(1-z)
(d/dx)f(e^{ix}) は実数なので
Im f(e^{ix}) は各整数 n について nπ<x<(n+1)π で一定
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posted at 12:24:20
非公開
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posted at xx:xx:xx
#数楽 不定積分で定義される函数
Cl^*_2(θ) = ∫_0^θ log(sin t) dt
にも名前がついているらしい。
Clausen函数，クラウゼン函数
例えば
math-functions-1.watson.jp/sub1_spec_040....
のClausen関数の節を参照。言うまでもなく、ポリログの仲間です。
私はこの手の「名前」は覚えられないタイプ。
タグ： 数楽
posted at 13:24:05
エアコン完備の教室で勉強して、充実した設備でスポーツやって、根性論じゃなく理論で組まれたカリキュラムで全方位のスキルを身に付ける私立通いの金持ちに、エアコンなんて贅沢だ掛け算は順番が大事だって教えられる貧民が勝てるわけがない。
タグ：
posted at 14:19:44
@tyamada1093 @genkuroki sinx+sin3x/3+sin5x/5+sin7x/7+・・・を微分して、
cosx+cos3x+cos5x+cos7x+・・・ とすると、xがπの整数倍以外のところであっても、収束しないですね。
［e^(2k-1)i+e^(-2k+1)i］/2のk＝1～mの有限和を取って、m→∞としても収束しない。
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posted at 14:29:20
@tyamada1093 @genkuroki 無限和の微分を、各項微分の無限和としてしまっている。
このあたり、もう少しデリケートな検証が必要なのでしょうね。
タグ：
posted at 14:30:32
@tyamada1093 @genkuroki ＞ f(z)=(1/2)log (1+z)/(1-z)
f(z) は単位円盤から±1を除いたところで連続
なるほど、収束半径1の丁度のところで、収束するzと収束しないzがあるのですね。
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posted at 14:32:46
#数楽 A.Weil『アイゼンシュタインとクロネッカーによる楕円関数論 』 www.amazon.co.jp/dp/462106374X でも紹介されていて、物理でも使われているらしいレルヒのゼータ函数
L(x,a,s) = Σ_{k=0}^∞ e^{2πikx}/(a+k)^s
の簡単な紹介を
genkuroki.github.io/documents/Calc...
の最後に追加しておきました。
タグ： 数楽
posted at 15:10:24
@qvGLQ9YcVLJ0Gsd 成猫でも平均体重は５キロ行かないので、なかなか５キロ越える猫がいないのだと思います…私も実家に猫が６匹いますが、5キロ以上の子はいません。
なんとか輸血ができますようにと祈ることしかできず、歯がゆいです。 pic.twitter.com/kFeq26voXZ
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posted at 15:13:03
セールで買った『人を襲うクマ』を読んでいるのだけど、襲撃された人の体験談が恐ろし過ぎる。畳平バスターミナルの襲撃では、女性を助けようとした男性は、クマの前脚で頭部に一撃を食らって、右目が落ちて、上の歯がなくなっていたそうだ…… amzn.to/2uoNIXS
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posted at 15:43:00
畳平バスターミナルのクマ襲撃襲撃事件の詳細
www.asahi.com/shimbun/nie/ki...
ha3.seikyou.ne.jp/home/kmaita/no...
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posted at 15:45:41
人を襲うクマというとヒグマをイメージするけど、畳平バスターミナルはツキノワグマだった。神奈川県山北町（丹沢）の玄倉林道でクマに遭遇して、三脚で撃退した人の話は、おそらくツキノワグマだろうけど、これ運が良かったんだろうなー news.tv-asahi.co.jp/news_society/a...
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posted at 15:52:37
相模原とかあの辺は結構クマ出没情報があって、警戒はしていたのだが、あらためてクマの驚異を知ると、クマに遭遇したら、とにかく逃げるしかないと思った。自転車だったら逃げやすいけど、登山中だと……。とにかく背を見せてはいけないらしい
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posted at 15:54:43
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posted at xx:xx:xx
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posted at xx:xx:xx
小学校に教育実習に行った時に子供達がやたら”許可”を求めるのに驚いたんですよ。「そんなもん自分らで判断したらええがな」って言っても「先生に決めてもらわないと」って返ってくる。自分には学校教員は無理かもって思ったことのひとつ。
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posted at 16:15:02
非公開
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posted at xx:xx:xx
これほど熱中症の危険性について報道されているにもかかわらず、連日小中学校から熱中症で救急搬送される子がたえないというのが、医療現場の現状です。搬送にまで至る子は一部でしょうから、実際にはその何倍も搬送手前のしんどい子がいると思われます。→
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posted at 17:11:02
@sekibunnteisuu @genkuroki |z|=1 のときは 1+z^2+z^4+…=1/(1-z^2) が成り立たない（そもそも収束しない）のですがその場合でも±1を除いて (z+z^3/3+z^5/5+…)'=1/(1-z^2) が成り立っているわけです。
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posted at 18:04:41
@tyamada1093 @genkuroki log(1+z)＝z-z^2/2+z^3/3-・・・ これも、|z|＝1の範囲では、z＝-1を除いて収束するということでいいのでしょうか？
証明しようとして苦労しているのですが。
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posted at 18:14:40
直感の破壊者、Aaron/Aaron, @sanjutsu_yu
@sekibunnteisuu @tyamada1093 @genkuroki アーベルの定理で検索されるとよいかと
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posted at 18:15:50
twitter.com/froggysongs/st...
私の場合、1次方程式は相当早い時期からやらせる。試行錯誤して解を見つけることを繰り返していけば、学校で「移項」を習っても大丈夫。
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posted at 18:18:37
@sekibunnteisuu @takum97 @tyamada1093 一般論を知らなくても、|z|=1, z≠1 のとき,
z + z^2/2 + z^3/3 + … + z^n/n
がn→∞で収束することを素朴にやれば比較的簡単に示せます。積分版の
∫_1^r e^{iax}/x dx
の r→∞ での収束性を調べるのと比較すると理解し易いと思います。
和と積分は大体同じようなことができる。
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posted at 19:27:31
@sekibunnteisuu @takum97 @tyamada1093 振動しながら振幅が0まで減っていくものの和や積分は収束します。その辺は頻繁に出て来るので、
genkuroki.github.io/documents/Calc...
の2.2節に書いておきました。
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posted at 19:32:39
@sekibunnteisuu @takum97 @tyamada1093 cos(x)+cos(3x)+cos(5x)+cos(7x)+… の収束先は普通の函数ではなく、何らかの意味で定義された超函数になります。素朴な計算で試行錯誤すると、必然的に超函数を扱うハメに陥る。
超函数の作り方の1つは「実軸から虚数領域に逃げる」という方法(佐藤超函数)。
他にもSchwartz流の方法もある。
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posted at 19:36:01
@sekibunnteisuu @takum97 @tyamada1093 佐藤超函数の方法だと、複素領域に逃げると全部直接普通に計算できてしまって、楽ちんになることが多い。
Schwartzの意味での超函数の考え方も慣れると直観的に「収束」を処理できるようになります。例えば「無限に振動すると局所的な平均が0に近付くので超函数として0に近付く」のような感じ。
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posted at 19:39:01
@sekibunnteisuu @takum97 @tyamada1093 sin(kx) とか cos(kx) は k→∞ で振動が無限に速くなるので超函数としては0に近付きます。
タグ：
posted at 19:41:22
@sekibunnteisuu @takum97 @tyamada1093 振動しまくっている函数を一部分だけ積分すると正負で打ち消しあって0に近い量しか残りません。
函数を観測することを「何らかの適切な意味で一部分だけ積分すること」だと定義したとしましょう。続く
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posted at 19:43:05
@sekibunnteisuu @takum97 @tyamada1093 「函数の一部分を何らかの意味で平均したものが観測される」と考えて、「0に近付くこと」の定義を「すべての可能な観測量が0に近付くこと」だと思えば色々理解し易くなる。
こういうことを函数解析では「弱収束」という名で習いますが、誰でも思い付くアイデアだと思います。素朴に考えれば問題無し。
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posted at 19:44:42
直感の破壊者、Aaron/Aaron, @sanjutsu_yu
@genkuroki @sekibunnteisuu @tyamada1093 チェザロ平均の類似と考えて良いですかね？
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posted at 20:23:59
ベルマーク廃止してほしい。
ベルマーク廃止して実施してた企業には、普通に学校とかへ寄付をしてほしい。
あの作業の時間の無駄感は、異常。 twitter.com/mittochi/statu...
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posted at 20:28:11
「エゾハサミムシの後翅」
コンパクトに折り畳むための柔軟性と飛翔時の負荷に耐え得る強靭さは相反するはずだが、飛翔タイプのハサミムシは見事に両立を果たした。最近の研究で折り目の内側にレシリンと呼ばれるタンパク質が存在し、これが重要な役割を担っていることが解明されたそうだ。 pic.twitter.com/JWZpgWWe1n
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posted at 20:29:16
@takum97 @sekibunnteisuu @tyamada1093 個人的にはチェザロ平均の類似な感じはしません。
∫_a^b e^{ipx} dx を計算して |p|→∞ とすれば0に収束することは明らかです。
「aとbの間で1で他で0の函数」のa,bを色々動かしてそれらの一次結合を考えると「任意の函数」を「近似」できます。「任意の函数」と「近似」の正確な意味は複数可能。
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posted at 20:46:26
@takum97 @sekibunnteisuu @tyamada1093 だから、「aとbの間で1で他で0の函数」で「うまく行くこと」を示せていれば(適切な意味で)「任意の函数」でも「うまく行くこと」を示せたことになります。
積分定数さんは、「うまく行くこと」として、
「Fouerier級数がもとの函数に戻ること」
を扱っていたはず。
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posted at 20:48:42
学校のクーラーが問題になっているなら、自校給食の現場の事も知ってほしい。
東京都内で給食室にクーラーあるのが五割くらいの区がまだまだある。
火を使うから、40度超えたり、その状態でサラダ和えたりするんだけど。
区の職員に、労働環境と食の安全性について言ったら、予算の話しかしなかった。
タグ：
posted at 21:08:44
@kingzory 【次の学年とかですかね】
そういう事が、きちっと明文化されて宣言されている訳ではありません。
そのために「本当に、#掛算 の順序はある（大人も、本当は守るべきだ）」と思い込んでしまう人もいます。（続
参考→ twitter.com/katuohm/status...
タグ： 掛算
posted at 21:11:54
@takum97 @sekibunnteisuu @tyamada1093 あと、具体的な函数列 f_k が与えられているとき(例えば f_n(x)=e^{inx} のとき)、適当な範囲内のすべての函数 φ(x) について「n→∞で∫_{-∞}^∞ f_n(x) φ(x) dx→0となること」をチェックしたい場合には、特別な函数達 φ(x) についてのみチェックすれば十分。
タグ：
posted at 21:17:58
@takum97 @sekibunnteisuu @tyamada1093 この手の話題では例の計算が結構非自明。
一般論ですませることができれば自明になることが多いのですが、非自明な計算(論理的に厳密である必要はない)もやっておかないと理解がすっかすかになりやすい。
タグ：
posted at 21:21:54
直感の破壊者、Aaron/Aaron, @sanjutsu_yu
@genkuroki @sekibunnteisuu @tyamada1093 一応関数解析と測度論の初歩はやってるのですが、今の話は区画［a,b］の特性関数となるような単関数列による（超）関数の近似と等価ですかね？
タグ：
posted at 21:32:06
直感の破壊者、Aaron/Aaron, @sanjutsu_yu
@genkuroki @sekibunnteisuu @tyamada1093 でa,bが「近すぎる」極限がDirac Deltaですかね？
確かにこうやって一般論に展開した方が楽だけに例が大事そうです
タグ：
posted at 21:53:58
@takum97 @sekibunnteisuu @tyamada1093 デルタ函数に近付く具体的な函数列の例は非常に大事。f_nが δ(x-a) に近付くことの定義は、
適当なクラスの(例えば連続で有界な)任意の函数φ(x)について ∫_R f_n(x) φ(x) dx → φ(a) as n→∞.
区間[a,a+1/n]の特性函数の n 倍を f_n(x) とすれば例になっています。これだけだと例が足りな過ぎ。
タグ：
posted at 22:00:42
@takum97 @sekibunnteisuu @tyamada1093 周期2πを持つ函数を扱っている場合(Fourier級数論！)では
Σ_{n∈Z} δ(x-2πn)
に近付く具体的な函数列をどれだけ知っているかが重要。
タグ：
posted at 22:02:49
@takum97 @sekibunnteisuu @tyamada1093 積分定数さんがやりかけている「周期函数のFourier級数がもとの函数に収束する理由の納得」の話はもろに「周期的なデルタ函数 Σ_{n∈Z} δ(x-2πn) に近付く函数列が作れているか」という話の特別な場合になっています。
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posted at 22:05:34
@takum97 @sekibunnteisuu @tyamada1093 函数列 ρ_n(x) が δ(x) に収束していれば、n→∞で
f_n(x) := ∫_R f(y) ρ_n(y-x) dy → ∫_R f(y) δ(y-x) dy = f(x)
なので、ρ_n(x) という函数列を使えばもとの f(x) に近付く函数列 f_n(x) を作れる。
周期函数の場合には実数直線R全体ではなく、周期分だけ積分する。
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posted at 22:09:11
@takum97 @sekibunnteisuu @tyamada1093 そこで出て来るのが、z = e^{ix} に対する
Σ_{n∈Z} z^n = … + z^{-2} + z^{-1} + 1 + z + z^2 + …
の類のxが実数なら普通の意味では収束しない級数です。
よくあるFourier級数の教科書では
D_N(x) = Σ_{n=-N}^N z^n
をディリクレ核と呼んで、グラフの図が掲載されていたりします。
タグ：
posted at 22:12:42
@takum97 @sekibunnteisuu @tyamada1093 グラフを描けば、なんとなくデルタ函数に収束しそうな形をしていることがわかります。しかし、実際には色々微妙で、その微妙さがFourier級数論を難しくしている。
D_N(x)にあたるものの定義を変えればデルタ函数によりスムーズに近付くようにできます。(こちらはある意味チェザロ和の話の拡張)
タグ：
posted at 22:14:42
@takum97 @sekibunnteisuu @tyamada1093 D_N(x) = Σ_{n=-N}^N e^{inx}
のグラフを気軽に描ければ、理解が進みやすいです。
本に載っているのを眺めるのと、コンピューターを使って自分が好きなようなスケールとサイズでグラフを描くのでは、印象が全然違う。
タグ：
posted at 22:16:14
6歳息子の質問に答えられません。どなたか教えてください。「Z n(亜鉛)とBi(ビスマス)の原子量を足すと274.35なのに、本にはニホニウムの原子量が284と書いてあった。なんで？電子で原子量が増えたのかなぁ？」と聞かれましたが、意味がわかりません。
タグ：
posted at 22:18:41
@takum97 @sekibunnteisuu @tyamada1093 別の考え方として、
Σ_{n∈Z} z^n
のような無限和を n≥0 と n<0 にわけて、それぞれで |z|<1 と |z|>1 に(すなわち Im x>0 と Im x<0 の複素領域に)「逃げて」収束を確保してから、x軸まで解析接続することも考えられます。 xが2πの整数倍のところには解析接続されず、デルタ函数になる！
タグ：
posted at 22:19:22
@takum97 @sekibunnteisuu @tyamada1093 これも、xをほんの少しだけ実軸から話した場合のグラフをコンピューターで描けば、デルタ函数に近付きそうなことがすぐにわかります。
複素解析のCauchyの積分公式を知っていれば、「本当に」デルタ函数になっていることもわかる。
こういう計算は別に一般論を知らなくても全部できるはずのこと。
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posted at 22:21:22
@takum97 @sekibunnteisuu @tyamada1093 以下のリンク先は、実軸の上側の正則函数と実軸の下側の正則函数の実軸上での「差」で「函数」を定義したときの、その「函数」のグラフを色々描いたものです。デルタ函数などの例がプロットされています。
nbviewer.jupyter.org/gist/genkuroki...
nbviewer.jupyter.org/gist/genkuroki...
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posted at 22:30:58
@takum97 @sekibunnteisuu @tyamada1093 デルタ函数は 1/z の定数倍を実軸の上下に分ければ得られ、ヘビサイド函数は適当に分岐を選んだ log(z) を使って作れます。log(z)の多価性のおかげで、ヘビサイド函数の段差を作れます。
積分定数さんによる矩形波のFourier級数の計算でもlogが出て来ています。 矩形波とヘビサイド函数は仲間。
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posted at 22:33:48
@takum97 @sekibunnteisuu @tyamada1093 あと、Abelの連続性定理は、積分定数さんが扱った場合ではある意味オーバースペック。
積分定数さんが扱った場合では|z|<1で収束するべき級数f(z)=Σc_n z^nが|z|=1まで例外的な幾つかの点を除いて連続的に延長されてます。Abelの連続性定理はそういう条件を仮定しなくても成立する事柄を扱っている。
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posted at 23:06:32
@takum97 @sekibunnteisuu @tyamada1093 これもまた例が重要。Abelの連続性定理の応用として、
1-1/3+1/5-1/7+… = π/4
しか書いていない教科書があるしたら、ちょっと問題ありになります。なぜならば、Abelの連続性定理を使わずに、Abelの連続性定理の結論よりも強い結論を出せるからです。Stolzセクターの内側から近付く必要がないはず。
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posted at 23:12:52
@takum97 @sekibunnteisuu @tyamada1093 以上の件なんですが、間違っていたらごめん。私はよく間違えます。
英語版のWikipediaでは、Stolz角の内側から近付く必要がある例を挙げていました。日本語版Wikipediaの例は1-1/3+1/5-1/7+…だった。これはつらい。英語版にならうべきだと思う。
en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_...
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2...
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posted at 23:15:32
@takum97 @sekibunnteisuu @tyamada1093 1-1/3+1/5-1/7+…=π/4 の証明にAbelの連続性定理を使うのは論理的には誤りではないですが、個人的には「あまりわかっていない人の解答」に見えてしまいます。
私が教えた大学新入生は何も知らない段階で正しい方法で収束を証明していました。誤差項を積分で書いてしまえば簡単です。
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posted at 23:18:06
@takum97 @sekibunnteisuu @tyamada1093 arctan 1=∫_0^1 dt/(1+t^2) に
1/(1+t^2) = 1 - t^2 + t^4 -…+(-1)^n t^{2n} + (-1)^{n+1} t^{2n+2})/(1+t^2)
を代入して, 最終項に
|(-1)^{n+1} t^{2n+2})/(1+t^2)| ≦ t^{2n+2}
という評価を適用して積分すると
|arctan x - (1-1/3+1/5-…+(-1)^n/(2n+1))| ≦ 1/(2n+3) → 0.
初等的。
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posted at 23:28:46
