黒木玄 Gen Kuroki(@genkuroki)/2016年09月/Page 10

黒木玄 Gen Kuroki

@genkuroki

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2016年09月11日(日)

ζWalker(著書「アートで魅せる数学 @walker0226

16年9月11日

インドの切り師に負けじと、(sin z) /z 型の曲面切ってみた。

#切り絵
 #曲面 pic.twitter.com/FaRjgAQ9vi

タグ：切り絵曲面

posted at 00:14:03

亀＠渋研X（リハビリ中） @kamezonia

16年9月11日

「言ってることには反論できないが、お前の態度が気に食わないということだけは言わせてもらう」問題。なんの話題でも出てくるなぁ……。 / “「言ってることはわかるがお前のことが気に入らない」を軽視しすぎたらあかんのちゃうかな - あ…” htn.to/EnLEE4

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posted at 00:15:18

Hiroyasu Kamo @kamo_hiroyasu

16年9月11日

@kamezonia 「態度に文句をつけるおまえの態度が気に食わない」とだけ返して、以後、無視しましょう。

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posted at 00:20:14

フクダ @fuukuudaaa

16年9月11日

図書館で借りたエドワード・フレンケルの「数学の大統一に挑む（原題：Love and Math)」、この人こんな若い人でこんな男前やったんか！ってびくりしたです。映画を作ってたそうですが、三島に影響されているそうで、まったくおもろなさそう。天は二物を与えないのでうれしい。

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posted at 03:42:34

黒男 @kuroneko402

16年9月11日

小学6年生（現在中1）の女の子が田んぼの側溝に落ちたカエルを助ける為に考案した「お助けシュロの糸」がカエルばかりか生態系を救っており、側溝製作会社や世界の学会の学者までも共鳴させたって話いいなぁ。親御さんの見守るだけって姿勢もスゴイ pic.twitter.com/ORdJXlcL6h

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posted at 08:21:29

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽経験分布p_iが確率分布q_iに近ければ

nΣp_i log(p_i/q_i)
≈Σ(np_i-nq_i)^2/(nq_i)．

左辺はKL情報量のn倍で右辺はピアソンのカイ二乗統計量。この話を多項分布の話として説明した(教科書的にはイカサマサイコロの検定の話)。続く

タグ：数楽

posted at 09:07:17

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽続き。しかし、ピアソンのカイ二乗統計量は単純な多項分布ではなく、2×2の分割表で独立性検定で使う場合の方が多いのではないでしょうか？(一般にはm×nの分割表)

その場合にも単純な多項分布の場合の話はm×nの分割表の場合を理解するときにそのまま役に立ちます。続く

タグ：数楽

posted at 09:13:04

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽続き。なぜならば、分割表の場合における確率は単純な多項分布の条件付き確率になっているからです。付ける条件は線形なので何も悪さをしない。続く

タグ：数楽

posted at 09:17:16

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽続き。単純な多項分布ではn回の独立試行中にiが生じた回数をk_iと書くと、k_iたちの総和はnになります。観測度数k_iの総和がnになるという常に成立している自明な条件しか課さない場合が単純な多項分布の場合。続く

タグ：数楽

posted at 09:23:46

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽続き。観測度数の分割表のケースでは総和がnになる条件より強く、横方向の和が一定でかつ縦方向の和が一定という条件も課されます。分割表のケースはこのより強い条件のもとでの条件付き確率分布を考えることに相当しています。続く

タグ：数楽

posted at 09:28:48

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽続き。数式で書くと、r個のiとs個のjで分割された観測度数k_{ij}について、(k_{ij}のiに関する和)=m_i、(k_{ij}のjに関する和)=n_jという制限のもとで多項分布の条件付き確率を考えれば、分割表の独立性検定の話を理解できます。続く

タグ：数楽

posted at 09:34:19

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽続き。「多項分布の多次元正規分布による近似(中心極限定理)を知っていれば、それを分割表に伴う新たな条件で制限してやれば、独立性検定で使う確率分布の多次元正規分布による近似も得らる」という数学にちょっとなれていればノータイムで理解できる自明な話を以上でしました。続く

タグ：数楽

posted at 09:39:37

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽続き。以上で説明した分割表の話が自明に聞こえない人達がいたとすれば、私の説明の仕方が悪い(もしくは不親切)だから。

数学的なことを理解するときに大事なことは、自明な部分と非自明な部分を分離すること。自明に感じられる部分が広がれば広がるほど「見える範囲」が増える。続く

タグ：数楽

posted at 09:43:51

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽続き。以上の「自明」な話は、ピアソンのカイ二乗統計量

Σ((観測度数)-(期待度数))^2/(期待度数)

がサイコロの検定でも分割表での独立性検定でもユニバーサルに同じ形で出て来る理由の説明の準備。カイ二乗検定を習った人はこの普遍性に何らかの印象を持っているはず。続く

タグ：数楽

posted at 09:52:10

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽続き。

Σ(観測度数-期待度数)^2/(期待度数)

の形の統計量が普遍的に出て来る理由を理解するためには、多項分布の中心極限定理および、(線形代数と多次元正規分布についてマスターしていないと)非自明なある数学的結果を使う必要あります。続く

タグ：数楽

posted at 09:56:56

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽多項分布の中心極限定理：多項分布(例：サイコロ博打)における確率はnが大きなとき

C exp(-χ^2/2)

で近似される。ここでCは確率の総和を1にするための定数で、

χ^2=Σ(観測度数-期待度数)^2/(期待度数)

です。カイ二乗統計量はこの形で出て来る。

タグ：数楽

posted at 10:06:35

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽分割表に伴う条件付きの場合の確率の正規分布による近似式の形も自明に

C exp(-χ^2/2)

の形になります。ただし、条件を付けて可能な場合を制限しているので、確率の総和を1にするための定数Cは変化する。χ^2の部分の形は変わりません。このツイートの内容は自明。

タグ：数楽

posted at 10:11:14

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽線形代数と多次元正規分布についてマスターしていないと非自明な結果とは「多次元正規分布の確率密度函数が

C exp(-y/2)、yは斉次二次函数

の形のとき、統計量yはカイ二乗分布に従う」という結果のことです。そのカイ二乗分布の自由度は確率密度函数の台の次元になる。

タグ：数楽

posted at 10:17:53

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽何でも自明と言ってしまうとまずそうなので、非自明であることを強調しましたが、実際には、カイ二乗分布(ガウス分布とガンマ分布の話)、多次元正規分布、実対称性行列の対角化について理解していれば自明に見えてしまうようになります。地道に勉強すれば自明に感じられる領域は増える。

タグ：数楽

posted at 10:20:58

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽学生時代には「こんなの一生かかっても理解できそうもない」と思いつつ、相当な時間を勉強に費やしました。寝る時間と授業に出る時間を惜しんで勉強した。めちゃくちゃ楽しかった。授業に出なかったせいで友人には助けられました。そういうのも楽しかった。あせりは禁物。楽しむことが大事。

タグ：数楽

posted at 10:25:19

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽まとめ

(1)多項分布の正規分布による近似にカイ二乗統計量χ^2が現れる。分割表のケースでも自明に同様。

(2)任意の多次元正規分布において、(1)でちょうどχ^2が現れた部分の統計量はカイ二乗分布に従う。

ゆえにχ^2は近似的にカイ二乗分布に従う。

タグ：数楽

posted at 10:30:52

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽続き。以上のストーリーで理解すれば、サイコロの検定でも、分割表での独立性検定でも、

χ^2=Σ(観測度数-期待度数)^2/(期待度数)

が近似的にカイ二乗分布に従う統計量として普遍的に登場することは当たり前になります。カイ二乗分布の自由度が何になるかもわかる。

タグ：数楽

posted at 10:34:10

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽多項分布の中心極限定理を理解するための最短コースは、スターリングの公式を準備しておいて、多項分布の確率の式に代入することだと思います。副産物としてKullback-Leibler情報量とは何かに関する理解も得られるので、かなり美味しい経路だと思います。

タグ：数楽

posted at 10:37:49

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽多項分布の確率の式にスターリングの公式を代入する計算は www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/... の第1.8節に書いておきました。(最初に読むときにはo(√n)の部分を0とおいて計算する方がよいと思う。)

タグ：数楽

posted at 10:40:47

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽そこには一般のs次元正規分布と自由度sのカイ二乗分布の関係に関する短い解説もあります。多次元正規分布を理解するとめには実対称行列の対角化についての理解が必須です。そういう基本的なことをノータイムで処理できないと数学を楽しむときに色々困るので努力をサボってはいけないと思う。

タグ：数楽

posted at 10:44:49

天むす名古屋 Temmus @temmusu_n

16年9月11日

@LimgTW #言娯大門本の主語基準、1. 「が」をとる、2. 動詞の尊敬語化、謙譲語化を引き起こす、だと、「私」も「答え」も両方の基準はクリアしません。私から「は」を除去すると「私に…分る」となる。一応、王氏のように「ができる」という述語を考えるのが通説。

タグ：言娯

posted at 10:57:29

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽スターリングの公式を最短で出すためには www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/...
の第2.3節と第3.1節のガンマ函数にラプラスの方法を適用するやり方が簡単だと思います。その解説ノートはついさっき第3.1節をかなり訂正してVer.0.28になりました。

タグ：数楽

posted at 11:27:00

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽スターリングの公式の証明について日本語でググるとなぜかよく見つかるのが、Wallisの公式を初等的に示す経路をたどる証明(高木貞治『解析概論』にもある)。それはそれで味があって楽しいのですが、かなり煩雑な上に「どうしてスターリングの公式が成立するか」がわかりにくいと思う。

タグ：数楽

posted at 11:31:41

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽 Stirlingの公式をWallisの公式に帰着する話は私の解説ノート www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/... の第4.3節にもあります。Wallisの公式に帰着する所までは煩雑ではないと思う。

タグ：数楽

posted at 11:34:34

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽 Wallisの公式とは

((2n)!/(n!n!))2^{-2n}〜1/√(πn)

という公式のこと。左辺はコインを2n回投げたとき表と裏がちょうどぴったり半分半分になる確率です。この形のWallisの公式は明らかに確率論と関係あるはずだと思うはず。それは正しい！続く

タグ：数楽

posted at 11:40:53

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽その形のWallisの公式は確率論における逆正弦則と関係があります。長時間の公平なギャンブルにおいて、浮いている時間の割合の確率分布は逆正弦分布になり、密度函数は両端の0と1で発散し、1/2で最小になります。勝ちっ放しまたは負けっ放しになる場合が多いことの数学的な証明！

タグ：数楽

posted at 11:46:23

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽 Wallisの公式と逆正弦分布の関係については先のノート www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/... の第10.3節で簡単に解説しておきました。そこではWallisの公式をTauber型定理を用いて証明しています。確率論とのからみではその方法が適していると思う。

タグ：数楽

posted at 11:49:31

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽個人的にWallisの公式に触れるなら、逆正弦法則にも触れた方が面白いと思うのですが、そういう解説にアクセスし難いように感じたので、解説してノートでそのことに簡単に触れることにしました。逆正弦法則の証明は結構煩雑です。Wallisの公式から逆正弦法則を出すことは自明。

タグ：数楽

posted at 11:52:01

黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki

16年9月11日

#数楽単純ランダムウォークの場合の逆正弦法則の証明の本質的部分は、Wallisの公式の左辺の形で評価するべき確率が書けることの証明(煩雑だが面白い)です。一般の場合の逆正弦法則の証明では確率がWallisの公式の右辺に等しい漸近挙動を持つことを直接に示す必要があります。

タグ：数楽

posted at 11:56:27